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      從一到無窮大
      
                    
                    
                    
                    
      
                         good
                        
                        
                        2019-04-05
                        
                            
                        
                    
      
                    
      
                        
                        
      
                    
      
                    
                    
      
                        
      
                            
                        
      
                        
      
                            
                                
      
                                    
                                        
      

                                        
                                        

                                        
      這是我童年時代最喜歡的一本書，書的名字叫《從一到無窮大》，作者是著名的美國天文學家　喬治.蓋莫夫。　
      雖然這本書的出版時至今日已經(jīng)有二十多年的時間了，但這本書的內(nèi)容也許在今天看來仍然不算落伍，事實上，其中的部分內(nèi)容我至到今天也沒有完全弄懂。正如當年的譯者所說的－－這是一本很值得一讀乃至于一讀再讀的書。
      由于原書已經(jīng)過于破舊，出于保留的目的我進行了掃校。但其中的部分附圖由于空間的原因，很難在網(wǎng)上發(fā)出來，不能不說是一個遺憾。如果可能，我將陸續(xù)將這本書的內(nèi)容一一貼上來，希望能找到志趣相同的愛好
      者。
      　　第一部分 做做數(shù)字游戲
      　　第一章 大 數(shù)
      　１。你能數(shù)到多少？
      　有這么一個故事，說的是兩個貴族決定做計數(shù)游戲－－誰說出的數(shù)字大誰贏。
      　“好，”一個貴族說，“你先說吧！”
      　另一個絞盡腦汁想了好幾分鐘，最后說出了他所想到的最大數(shù)字：“三”。
      　現(xiàn)在輪到第一個動腦筋了?？嗨稼は肓艘豢嚏娨院?，他表示棄權說：“你贏啦.”
      　　這兩個貴族的智力當然是不很發(fā)達的。再說，這很可能只是一個挖苦人的故事
      而已。然而，如果上述對話是發(fā)生在原始部落中，這個故事大概就完全可信了。有
      不少探險家證實，在某些原始部族里，不存在比三大的數(shù)詞。如果問他們當中的一
      個人有幾個兒子，或殺死過多少敵人，那么，要是這個數(shù)字大于三，他就會回答說
      ：“許多個?！币虼耍陀嫈?shù)這項技術來說，這些部族的勇士們可要敗在我們幼兒
      園里的娃娃們的手下了，因為這些娃娃們竟有一直數(shù)到十的本領呢！
      　　現(xiàn)在，我們都習慣地認為,我們想把某個數(shù)字寫成多大,就能寫成多大－－戰(zhàn)爭
      的經(jīng)費以分為單位來表示啦，天體間的距離用英寸來表示啦，等等－－只要在某個
      數(shù)字的后面加上一串零就是了。你可以一直這樣寫下去，直到手腕發(fā)酸為止。這樣
      ，盡管目前已知的宇宙1)中所有原子的數(shù)目已經(jīng)很大，等于300,000,000,000,000,
      000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
      000,000,000，但是，你還可以寫出比這更大的數(shù)目來。
      　　上面這個數(shù)可以改寫的短一些，即寫成
      　　 exp(３Ｘ１０,７４)
      　　在這里，10的右上角的小號數(shù)字74表示應該寫出多少個零。換句話說，這個數(shù)
      字意味著3要用10乘上74次。
      　　但是在古代，人們并不知道這種簡單的“算術簡示法”。這種方法是距不到兩
      千年的某個佚名的印度數(shù)字家發(fā)明的。在這個偉大發(fā)明－－這確實是一項偉大的發(fā)
      明，盡管我們一般意識不到這一點－－出現(xiàn)之前，人們對每個數(shù)位上的數(shù)字，是用
      專門的符號反復書寫一定次數(shù)的辦法來表示的。例如，數(shù)字8732在古代埃及人寫來
      是這樣的：(貼不上來：｛　)
      　　而在凱撒（Julius Caesar）*的衙門里，他的辦事員會把這個數(shù)字寫成
      　　 MMMMMMMMDCCXXXII
      　　這后一種表示法你一定比較熟悉，因為這種羅馬數(shù)字直到現(xiàn)在還有些用場－－
      表示書籍的卷數(shù)或章數(shù)啦，各種表格的欄次啦，等等。不過，古代的計數(shù)很難得超
      過幾千，因此，也就沒有發(fā)明比一千更高的數(shù)位表示符號。一個古羅馬人，無論他
      在數(shù)學上是何等訓練有素，如果讓他寫一下“一百萬”，他也一定會不知所措。他
      所能用的最好的辦法，只不過是接連不斷地寫上一千個M，這可要花費幾個鐘點的艱
      苦勞動?。▓D１）。
      　　在古代人的心目中，那些很大的數(shù)目字，如天上的星星的顆數(shù)，海里游魚的條
      數(shù)，岸邊砂子的粒數(shù)等等，都是“不計其數(shù)”，就像“５”這個數(shù)字對原始部族來
      說也是“不計其數(shù)”，只能說成“許多”一樣。
      　　阿其米德（Archimedes），公元前三世紀大名鼎鼎的大科學家，曾經(jīng)開動他那
      出色的大腦，想出了書寫巨大數(shù)字的方法。在他的論文〖計砂法〗中這樣寫著：
      　　有人認為，無論是在敘拉古*，還是在整個西西里島，或者在世界所有有人煙和
      無人跡之處，砂子的數(shù)目是無窮的。也有人認為，這個數(shù)目不是無窮的，然而想要
      表達出比地球上砂粒數(shù)目還要大的數(shù)字是做不到的。很明顯，持有這種觀點的人會
      更加肯定地說，如果把地球想象成一個大砂堆，并在所有的海洋和洞穴里裝滿砂子
      ，一直裝到與最高的山峰相平，那么，這樣堆起來的砂子的總數(shù)是無法表示出來的
      。但是，我要告訴大家，用我的方法，不但能表示出占地球那么大的砂子的數(shù)目，
      甚至還能表示出占據(jù)整個宇宙空間的砂子的總數(shù)。
      　　阿基米德在這篇著名的論文中所提出的方法，同現(xiàn)代科學中表達大數(shù)目字的方
      法相類似。他從當時古希臘算術中最大的數(shù)“萬”開始，然后引進一個新數(shù)“萬萬
      ”（億）作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位）、“億億億”（第四階
      單位），等等。
      　　寫個大數(shù)字，看來似乎不足掛齒，沒有必要專門用幾頁的篇幅來談論。但在阿
      基米德那個時代，能夠找到寫出大數(shù)字的辦法，確實是一項偉大的發(fā)現(xiàn)，使數(shù)學向
      前邁出了一大步。
      　　為了計算填滿整個宇宙空間所需的砂子總數(shù)，阿基米德首先得知道宇宙的大小
      。按照當時的天文學觀點，宇宙是一個嵌有星星的水晶球。阿基米德的同時代人，
      著名的天文學家，薩摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus）**求得從地球到天球面的
      距離為10,000,000,000斯塔迪姆，即約為1,000,000,000英里1)。
      　　阿基米德把天球和砂粒的大小相比，進行了一系列足以把小學生嚇出夢魘癥來
      的運算，最后他得出結論說：
      　　很明顯，在阿里斯塔克斯所確定的天球內(nèi)所能裝填的砂子粒數(shù)，不會超過一千
      萬的第八階單位2)。
      　　這里要注意，阿斯米德心目中的宇宙的半徑要比現(xiàn)代科學家們所觀察到的小得
      多。十億英里，這只不過剛剛超過從太陽到土星的距離。以后我們將看到，在望遠
      鏡里，宇宙的邊緣是在5,000,000,000,000,000,000,000英里的地方，要填滿這樣一
      個已被觀測到的宇宙，所需要的砂子數(shù)超過
      　　exp(１０,１００)粒（即１的后面有１００個零）
      　　這個數(shù)字顯然比前面提到的宇宙間的原子總數(shù)３Ｘ１０ ７４大多了。這里因為
      宇宙間并非塞滿了原子。實際上，在一立方米的空間內(nèi)，平均才只有一個原子。
      　　要想得到大數(shù)目字，并不一定要把整個宇宙倒?jié)M砂子，或進行諸如此數(shù)的劇烈
      活動。事實上，在很多乍一看來似乎很簡單的問題中，也常會遇到極大的數(shù)字，盡
      管你原先決不會想到，其中會出現(xiàn)大于幾千的數(shù)字。
      　　有一個人曾經(jīng)在大數(shù)目字上吃了虧，那就是印度的舍罕王(Shirham)。根據(jù)古老
      的傳說，舍罕王打算重賞象棋*的發(fā)明人和進貢者、宰相西薩＠班＠達依爾(Sissa 
      ben Dahir)。這位聰明的大臣的胃口看來并不大，他跪在國王面前說：“陛下，請
      您在這張棋盤的第一個小格內(nèi)，賞給我一粒麥子；在第二個小格內(nèi)給兩粒，第三格
      內(nèi)給四粒，照這樣下去，每一小格內(nèi)都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋
      盤上所有６４格的麥粒，都賞給您的仆人罷！”
      　　“愛卿，你所求的并不多啊。”國王說道，心里為自己對這樣一件奇妙的發(fā)明
      所許下的慷慨賞諾不致破費太多而暗喜?！澳惝斎粫缭杆鶅?shù)??！闭f著，他令人
      把一袋麥子拿到了寶座前。
      　　計數(shù)麥粒的工作開始了。第一格內(nèi)放一粒，第二格內(nèi)放兩粒，第三格內(nèi)放四粒
      ，。。。。。。還沒到第二十格，袋子已經(jīng)空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面
      前來。但是，麥粒數(shù)一格接一格地增長得那么迅速，很快就可以看出，即使拿來全
      印度的糧食，國王也兌現(xiàn)不了他對西薩。班許下的諾言了，因為這需要有18,446,7
      44,073,709,551,615顆麥粒1)呀！
      　　這個數(shù)字不象宇宙間的原子總數(shù)那樣大，
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-23 17:49:00  
      　　在世界中心貝拿勒斯**的圣廟里，安放著一個黃銅板，板插著三根寶石針。每
      根針高約一腕尺（1腕尺大約合20英寸），象韭菜葉那樣粗細。梵天***在創(chuàng)造世界
      的時候，在其中的一根針上從下到上放下了由大到小的六十四片金片。這就是所謂
      的梵塔。不論白天黑夜，都有一個值班的僧侶按照梵天不渝的法則，把這些金片在
      三根針上移來移去：一次只有移一片，并且要求不管在哪一根針上，小片永遠在大
      片的上面。當所有六十四片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針移到另外一根針上時
      ，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。
      　　圖３是按照故事的情節(jié)所作的畫，只是金片少畫了一些。你不妨用紙板代表金
      片，拿長釘代替寶石針，自己搞這么一個玩具。不難發(fā)現(xiàn)，按上述規(guī)則移動金片的
      規(guī)律是：不管把哪一片移到另一根針上，移動的次數(shù)總要比移動上面一片增加一倍
      。第一片只需要一次，下一片就按幾何級數(shù)加倍。這樣，當把第六十四片也移走后
      ，總的移動次數(shù)便和西薩。班。達依爾所要求的麥粒數(shù)一樣多了１）！
      　　把這座梵塔全部六十四片金片都移到另一根針上，需要多長時間呢？一年有31
      ,558,000秒。假如僧侶們每一秒鐘移動一次，日夜不停，節(jié)假日照常干，也需要將
      近58萬億年才能完成。
      　　把這個純屬傳說的寓言和按現(xiàn)代科學得出的推測對比一下倒是很意思的。按照
      現(xiàn)代的宇宙進化論，恒星、太陽、行星（包括地球）是在大約三十億年前由不定形
      物質形成的。我們還知道，給恒星，特別是給太陽提供能星的“原子燃料”還能維
      持100--150億年（見“創(chuàng)世的年代”一章）。因此，我們太陽系的整個壽命無疑要
      短于二百億年，而不象這個印度傳說中所宣揚的那樣長！不過，傳說畢竟只是傳說
      ??！
      　　在文學作品中所提及的最大數(shù)字，大概就是那個有名的“印刷行數(shù)問題”了。
      　　假設有一臺印刷機器可以連續(xù)印出一行行文字，并且每一行都能自動換一個字
      母或其它印刷符號，從而變成與其它行不同的字母組合。這樣一架機器包括一組圓
      盤，盤與盤之間像汽車里程表那樣裝配，盤緣刻有全部字母和符號。這樣，每一片
      輪盤轉動一周，就會帶動下一個輪盤轉動一個符號。紙卷通過滾筒自動送入盤下。
      這樣的機器制造起來沒有的困難，圖4是這種機器的示意圖。
      　　現(xiàn)在，讓我們開始這架印刷機，并檢查印出的那些沒完沒了的東西吧。在印出
      的一行行字母組合當中，大多數(shù)根本沒有什么意思，如：
      　　 aaaaaaaaaa...
      　　或者
      　　 booboobooboo...
      　　或者
      　　 zawkporpkossscilm...
      　　但是，既然這臺機器能印出所有可能的字母及符號的組合，我們就能從這堆玩
      藝中找出有點意思的句子。當然，其中又有許多是胡說八道，如：
      　　horse has six legs and...（馬有六條腿，并且....)
      　　或者
      　　I like apples cooked in terpentin...（我喜歡吃松節(jié)油炒蘋果......)
      　　不過，只要找下去，一定會發(fā)現(xiàn)莎士比亞（William Shakespear）*的每一行著
      作，甚至包括被他扔進廢紙簍里去的句子！
      　　實際上，這臺機器會印出人類自從能夠寫字以來所寫出的一切句子：每一句散
      文，每一行詩歌，每一篇社論，每一則廣告，每一卷厚厚的學術論文，每一封書信
      ，每一份訂奶單.....
      　　不僅如此，這架機器還將印出今后各個世紀所要印出的東西。從滾筒下的紙卷
      中，我們可以讀到三十世紀的詩章，未來的科學發(fā)現(xiàn)，2344年星際交通事故的統(tǒng)計
      ，還有一篇篇尚未被作家創(chuàng)作出來的長、短篇小說。出版商們只要搞出這么一臺機
      器，把它安裝在地下室里，然后從印出的紙卷里尋找好句子來出版就是了－－他們
      現(xiàn)在所干的也差不多就是這樣嘛！
      　　為什么人們沒有這樣干呢？
      　　來，讓我們算算看，為了得到所有字母和印刷符號的組合，該印出多少行來。
      　　英語中有二十六個字母、十個數(shù)碼（0,1,2....,9)、還有十四個常用符號（空
      白、句號、逗號、冒號、分號、問號、驚嘆號、破折號、連字符、引號、省字號、
      小括號、中括號、大括號），共五十個字符。再假設這臺機器有六十五個輪盤，以
      對應每一印刷行的平均字數(shù)。印出的每一行中，排頭的那個字符可以是五十個字符
      當中的每一種，第二個字符又有五十種可能性，因此共有５０Ｘ５０＝２５００種
      。對于這前兩個字符的每一種可能性，第三個字符仍有五十種選擇。這樣下去，整
      行進行安排的可能性的總數(shù)等于
      　　或者５０65，即等于１０110。
      　　要想知道這個數(shù)字有多么巨大，你可以設想宇宙間的每個原子都變成一臺獨立
      的印刷機，這樣就有3X１０74部機器同時工作，再假定所有這些機器從地球誕生以
      來就一直在工作，即它已經(jīng)工作了三十億年或１０17秒。你還可以假定這些機器都
      以原子振動的頻率進行工作，也就是說，一秒鐘可以印出 １０15行。那么，到目前
      為止，這些機器印出的總行數(shù)大約是 
      　　這只不過是上述可能性總數(shù)的三千分之一左右而已。
      　　看來，想要在這些自動印出的東西里面挑選點什么，那確實得花費非常非常長
      的時間了。
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-23 17:52:00  
      　　不過也已經(jīng)夠可觀了。蒲式爾*小麥約有5,000,000顆，照這個數(shù)，那就得給西
      薩。班拿來四萬億蒲式爾才行。這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所生產(chǎn)
      的全部小麥。
      　　 這么一來，舍罕王發(fā)覺自己欠了宰相好大一筆債。要嘛是忍受西薩。班沒完沒
      了的討債，要嘛是干脆砍掉他的腦袋。據(jù)我猜想，國王大概選擇了后面這個辦法。
       另一個由大數(shù)目字當主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的問題有關的。
      偏愛數(shù)學的歷史學家鮑爾(Ball)是這樣講述這段故事的２）：
      　　上邊的跟貼丟了一段內(nèi)容，這里補上
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-23 17:55:00  
      　　上一節(jié)我們談了一些數(shù)字，其中有不少是毫不含糊的大數(shù)。但是這些巨大的數(shù)
      字，例如西薩、班所要求的麥子粒數(shù)，雖然大得難以令人置信，但畢竟還是有限的
      ，也就是說，只要有足夠的時間，人們總能把它們從頭到尾寫出來。
      　　然而，確實存在著一些無窮大的數(shù)，它們比我們所能寫出的無論多長的數(shù)都還
      要大。例如，“所有整數(shù)的個數(shù)”和“一條線上所有幾何點的個數(shù)”顯然都是無窮
      大的。關于這類數(shù)字，除了說它們是無窮大之外，我們還能說什么呢？難產(chǎn)我們能
      夠比較一下上面那兩個無窮大的數(shù)，看看哪個“更大些”嗎？
      　　“所有整數(shù)的個數(shù)和一條線上所有幾何點的個數(shù)，究竟哪個更大些？”－－這
      個問題有意義嗎？乍一看，提這個問題可真是頭腦發(fā)昏，但是，著名數(shù)學家康托爾
      （Georg Cantor）首先思考了這個問題。因此，他確實可被稱為“無窮大數(shù)算術”
      的奠基人。
      　　當我們要比較幾個無窮大的數(shù)的大小時，就會面臨這樣的一個問題：這些數(shù)既
      不能讀出來，也無法寫出來，該怎樣比較呢？這下子，我們自己可有點像一個想要
      弄清自己的財物中，究竟是玻璃珠子多，還是銅幣多的原始部族人了。你大概還記
      得，那些人只能數(shù)到三。難道他會因為數(shù)不清大數(shù)而放棄比較珠子和銅幣數(shù)目的打
      算？根本不會如此。如果他足夠聰明，他一定會通過把珠子和銅幣逐個相比的辦法
      來得出答案。他可以把一粒珠子和一枚銅幣放在一起，另一粒珠子和另一枚銅幣放
      在一起，并且一直這樣做下去。如果珠子用光了，而還剩下些銅幣，他就知道，銅
      幣多于珠子；如果銅幣先用光了，珠子卻還有多余，他就明白，珠子多于銅幣；如
      果兩者同時用光，他就曉得，珠子和銅幣數(shù)目相等。
      　　康托爾所提出的比較兩個無窮大數(shù)的方法正好與此相同：我們可以給兩組無窮
      大數(shù)列中的各個數(shù)一一配對。如果最后這兩組都一個不剩，這兩組無窮大就是相等
      的；如果有一組還有些沒有配出去，這一組就比另一組大些，或者說強些。
      　　這顯然是合理的、并且實際上也是唯一可行的比較兩個無窮大數(shù)的方法。但是
      ，當你把這個方法討諸實用時，你還得準備再吃一驚。舉例來說，所有偶數(shù)和所有
      奇數(shù)這兩個無窮大數(shù)列，你當然會直覺地感到它們的數(shù)目相等。應用上述法則也完
      全符合，因為這兩組數(shù)間可建立如下的一一對應的關系。
      　　在這個表中，每一個偶數(shù)都與一個奇數(shù)相對應。看，這確實再簡單，再自然不
      過了！
      　　但是，且慢。你再想一想：所有整數(shù)（奇偶數(shù)都在內(nèi)）的數(shù)目和單單偶數(shù)的數(shù)
      目，哪個大呢？當然，你會說前者大一些，因為所有的整數(shù)不但包含了所有的偶數(shù)
      ，還要加上所有的奇數(shù)啊。但這不過是你的印象而已。只有應用上述比較兩個無窮
      大數(shù)的法則，才能得出正確的結果。如果你應用了這個法則，你就會吃驚地發(fā)現(xiàn)，
      你的印象是錯誤的。事實上，下面就是所有整數(shù)和偶數(shù)的一一對應表：
      　　按照上述比較無窮大數(shù)的規(guī)則，我們得承認，偶數(shù)的數(shù)目正好和所有整數(shù)的數(shù)
      目一樣大。當然，這個結論看來是十分荒謬的，因為偶數(shù)只是所有整數(shù)的一部分。
      但是不要忘了，我們是在與無窮大數(shù)打交道，因而就必須做好遇到異常的性質的思
      想準備。
      　　在無窮大的世界里，部分可能等于全部！關于這一點，著名德國數(shù)學家希爾伯
      特（David Hilbert）有一則故事說明的再好不過了。據(jù)說在他的一篇討論無窮大的
      演講中，他曾用下面的話來敘述無窮大的似非而是的性質：
      　　我們設想有一家旅店，內(nèi)設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了位
      新客，想訂個房間?！皩Σ黄?，”旅店主說，“所有的房間都住滿了?！爆F(xiàn)在再設
      想另一家旅店，內(nèi)設無限個房間，所有的房間也都客滿了這時也有一位新客來臨，
      想訂個房間。
      　　“不成問題！”旅店主說。接著，他就把一號房間里的旅客移至二號房間，二
      號房間的旅客移到三號房間，三號房間的旅客移到四號房間，等等，這一來，新客
      就住進了已被騰空的一號房間。
      　　我們再設想一座有無限個房間的旅店，各個房間也都住滿了。這時，又來了無
      窮多位要求訂房間的客人。
      　　“好的，先生們，請等一會兒?！甭玫曛髡f。
      　　他把一號房間的旅客移到二號房間，把二號房間的旅客移到四號房間，三號房
      間的旅客移到六號房間，等等，等等。
      　　現(xiàn)在，所有的單號房間都騰出來了。新來的無窮多位客人可以住進去了。
      　　由于希爾伯特講這段故事時正值世界大戰(zhàn)期間，所以，即使在華盛頓，這段話
      也不容易被人們所理解。但這個例子卻確實舉到了點子上，它使我們明白了：無窮
      大數(shù)的性質與我們在普通算術中所遇到的一般數(shù)字大不一樣。
      　　按照比較兩個無窮大數(shù)的康托爾法則，我們還能證明，所有的普通分數(shù)（如等
      ）的數(shù)目和所有的整數(shù)相同。把所有的分數(shù)按照下述規(guī)則排列起來：先寫下分子與
      分母之和為2的分數(shù)，這樣的分數(shù)只有一個，即；然后寫下兩者之和為3的分數(shù)，即
      和；再往下是兩者之和為4的，即，，。這樣做下去，我們可以得到一個無窮的分數(shù)
      數(shù)列，它包括了所有的分數(shù)（圖5)?，F(xiàn)在，在這個數(shù)列旁邊寫上整數(shù)數(shù)列，就得到
      了無窮分數(shù)與無窮整數(shù)的一一對應?？梢?，它們的數(shù)目又是相等的！
      　　你可能會說：“是啊，這一切都很妙，不過，這是不是就意味著，所有的無窮
      大數(shù)都是相等的呢？如果是這樣，那還有什么可比的呢？”
      　　不，事情并不是這樣。人們可以很容易地找出比所有整數(shù)和所有分數(shù)所構成的
      無窮大數(shù)還要大的無窮大數(shù)來。
      　　如果研究一下前面出現(xiàn)過的那個比較一條線段上的點數(shù)和整數(shù)的個數(shù)的多少的
      問題，我們就會發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)目是不一樣大的。線段上的點數(shù)要比整數(shù)的個數(shù)多
      得多。為了證明這一點，我們先來建立一段線段（比如說1寸長）和整數(shù)數(shù)列的一一
      對應關系。
      　　這條線段上的每一點都可用這一點到這條線的一端的距離來表示，而這個距離
      可以寫成無窮小數(shù)的形式，如
      　　 0.7350624780056......
      　　或者
      　　 0.38250375632......
      　　現(xiàn)在我們所要做的，就是比較一下所有整數(shù)的數(shù)目和所有可能存在的無窮小數(shù)
      的數(shù)目。那么，上面寫出的無窮小數(shù)和，，這類分數(shù)有什么不同呢？
      　　大家一定還記得在算術課上學過的這樣一條規(guī)則：每一個普通分數(shù)都可以分成
      無窮循環(huán)小數(shù)。如。我們已經(jīng)證明過，所有分數(shù)的數(shù)目和所有整數(shù)的數(shù)目相等，所
      以，所有循環(huán)小數(shù)的數(shù)目必定與所有整數(shù)的數(shù)目相等。但是，一條線段上的點可不
      能完全由循環(huán)小數(shù)表示出來，絕大多數(shù)的點是由不循環(huán)的小數(shù)表示的。因此就很容
      易證明，在這種情況下，一一對應的關系是無法建立的。
      　　假定有人聲稱他已經(jīng)建立了這種對應關系，并且，對應關系具有如下形式：
      　　當然，由于不可能把無窮多個整數(shù)和無窮多個小數(shù)一個不漏地寫光，因此，上
      述聲稱只不過意味著此人發(fā)現(xiàn)了某種普遍規(guī)律（類似于我們用來排列分數(shù)的規(guī)律）
      ，在這種規(guī)律的指導下，他制定了上表，而且任何一個小數(shù)或遲或早都會在這張表
      上出現(xiàn)。
      　　不過，我們很容易證明，任何一個這類的聲稱都是站不住腳的，因為我們一定
      還能寫出沒有包括在這張無窮表格之中的無窮多個小數(shù)。怎么寫呢？再簡單不過了
      。讓這個小數(shù)的第一小數(shù)位（十分位）不同于表中第一號小數(shù)的第一小數(shù)位，第二
      小數(shù)位（百分位）不同于表中第二號小數(shù)的第二小數(shù)位，等等。這個數(shù)可能就是這
      個樣子（還可能是別的樣子）：
      　　這個數(shù)無論如何在上表中是找不到的。如果此表的作者對你說，你的這個數(shù)在
      他那個表上排在第一百三十七號（或其他任何一號），你就可以立即回答說：“不
      ，我
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-23 17:56:00  
      　　這個數(shù)不是你的那個數(shù)，因為這個數(shù)的第一百三十七小數(shù)位和你那個數(shù)的第一
      百三十七小數(shù)位不同?！?/p>
      　　這么一來，線上的點和整數(shù)之間的一一對應關系就建立不起來了。也就是說，
      線上的點數(shù)所構成的無窮大數(shù)大于（或強于）所有整數(shù)或分數(shù)所構成的無窮大數(shù)。
      　　剛才所討論的線段是“1寸長”。不過很容易證明，按照“無窮大數(shù)算術”的規(guī)
      則，不管多長的線段都是一樣。事實上，1寸長的線段也好，1尺長的線段也好，1里
      長的線段也好，上面的點數(shù)都是相同的。只要看看圖6即可明了，AB和AC為不同長度
      的兩條線段，現(xiàn)在要比較它們的點數(shù)。過AB的每一個點做BC的平行線，都會與AC相
      交，這樣就形成了一組點。如D與D，E與E，F(xiàn)與F等。對AB上的任意一點，AC上都有
      一個點和它相應，反之亦然。這樣，就建立了一一對應的關系?？梢?，按照我們的
      規(guī)則，這兩個無窮大數(shù)是相等的。
      　　通過這種對無窮大數(shù)的分析，還能得到一個更加令人驚異的結論：平面上所有
      的點數(shù)和線段上所有的點數(shù)相等。為了證明這一點，我們來考慮一條長1寸的線段A
      B上的點數(shù)和邊長1寸的正方形CDEF上的點數(shù)（圖7）。
      　　假定線段上某點的位置是0.7512036......。我們可以把這個數(shù)按奇分位和偶分
      位分開，組成兩個不同的小數(shù)：
      　　0.7108......
      　　和
      　　0.5236......
      　　以這兩個數(shù)分別量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一個點，這個點就叫
      做原來線段上那個點的“對偶點”。反過來，對于正方形內(nèi)的任意一點，比如說由
      0.4835，0.9907這兩個數(shù)描述的點，我們把這兩個數(shù)摻到一起，就得到了線段上的
      相應的“對偶點”0.49893057。
      　　很清楚，這種做法可以建立那兩組點的一一對應關系。線段上的每一個點在平
      面上都有一個對應的點，平面上的每一個點在線段上也有一個對應點，沒有剩下來
      的點。因此，按照康托爾的標準，正方形內(nèi)所有點數(shù)所構成的無窮大數(shù)與線段上點
      數(shù)的無窮大數(shù)相等。
      　　用同樣的方法，我們也容易證明，立方體內(nèi)所有的點數(shù)和正方形或線段上的所
      有點數(shù)相等，只要把代表線段上一個點的無窮小數(shù)分作三部分，并用這三個新小數(shù)
      在立方體內(nèi)找“對偶點”就行了。和兩條不同長度線段的情況一樣，正方形和立方
      體內(nèi)點數(shù)的多少與它們的大小無關。
      　　盡管幾何點的個數(shù)要比整數(shù)和分數(shù)的數(shù)目大，但數(shù)學家們還知道比它更大的數(shù)
      。事實上，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，各種曲線，包括任何一種奇形怪狀的樣式在內(nèi)，它們的
      樣式的數(shù)目比所有幾何點的數(shù)目還要大。因此，應該把它看作是第三級無窮數(shù)列。
      　　按照“無窮算術”的奠基者康托爾的意見，無窮大數(shù)是用希伯來字母（讀作阿
      萊夫）表示的，在字母的右下角，再用一個小號數(shù)字表示這個無窮大數(shù)的級別。這
      樣一來，數(shù)目字（包括無窮大數(shù)）的數(shù)列就成為
      　　我們說“一條線段上有個點”或曲線的樣子有種“，就和我們平常說“世界有
      七大洲”或“一付撲克牌有五十四張”一樣。
      　　在結束關于無窮大數(shù)的討論時，我們要指出，無窮大數(shù)的級只要有幾個，就足
      夠把人們所能想象出的任何無窮大數(shù)都包括進去了。大家知道，表示所有整數(shù)的數(shù)
      目，表示所有幾何點的數(shù)目，表示所有曲線的數(shù)目，但到目前為止，還沒有人想得
      出一種能用來表示的無窮大數(shù)來?？磥?，頭三級無窮大數(shù)就足以包括我們所能想到
      的一切無窮大數(shù)了。因此，我們現(xiàn)在的處境，正好跟我們前面的原始部族人相反：
      他有許多個兒子，可卻數(shù)不過三；我們什么都數(shù)得清，卻又沒有那么多東西讓我們
      來數(shù)！
      第二章 自然數(shù)和人工數(shù)
      　　１．最純粹的數(shù)學
      　　數(shù)學往往被人們，特別是被數(shù)學家們奉為科學的皇后。貴為皇后，它當然不能屈尊俯就其它學科。因此，在一次“純粹數(shù)學和應用數(shù)學聯(lián)席會議上”，當有人邀請希爾伯特作一次公開演講，以求消除在于這兩種數(shù)學家之間的敵對情緒時，他這樣說：
      　　☆經(jīng)常聽到有人說，純粹數(shù)學和應用數(shù)學是互相對立的。這是不符合事實的，純粹數(shù)學和應用數(shù)學不是互相對立的。它們過去不曾對立過，將來也不會對立。它們是對立不起來的，因為在事實上它們兩者毫無共同之處?！?/p>
      　　然而，盡管數(shù)學喜歡保持自己的純粹性，并盡力遠離其它學科，其他學科卻一直打算盡量同數(shù)學“親善”，特別是物理學。事實上，純粹數(shù)學的幾乎每一個分支，包括諸如抽象群、不可逆代數(shù)、非歐幾何等一向被認為是純而又純、決不能派任何用場的數(shù)學理論，現(xiàn)在也都被用來解釋物質世界的這個性質或那個性質了。
      　　但是，迄今為止，數(shù)學還有一個大分支沒找到什么用途（除了起智力體操的作用以外），它真可以戴上“純粹之王冠”哩。這就是所謂“數(shù)論”（這里的數(shù)指整數(shù)），它是最古老的一門數(shù)學分支，也是純粹數(shù)學思維的最錯綜復雜的產(chǎn)物。（錄入者，在計算機加密方面已經(jīng)有所應用）
      　　說來也怪，這門最純粹的科學，從某種意義上說，又可以稱為經(jīng)驗科學，甚至可稱為實驗科學。事實上，它的絕大多數(shù)定理都是靠用數(shù)學試著干某些事情而建立起來的，正如物理學定律是靠用物體試著干某些事情而建立起來一樣。并且，數(shù)論的一些定理已“從數(shù)學上”得到了證明，而另一些卻還停留在經(jīng)驗的階段，至今仍在使最卓越的數(shù)學家絞盡腦汁，這一點也和物理學一樣。
      　　我們可以用質數(shù)問題作為例子。所謂質數(shù)，就是不能用兩個或兩個以上（１除外）較小的整數(shù)的乘積來表示的數(shù)，如１，２，３，５，７，１１，１３，１７，等等。而１２可以寫成2×2×3，所以就不是質數(shù)。
      　　質數(shù)是沒有終極的呢，還是存在一個最大的質數(shù)，即凡是比這個最大質數(shù)還大的數(shù)都可以表為幾個質數(shù)的乘積呢？這個問題是歐幾里得（Euclid）最先想到的，他自己還作了一個簡單而優(yōu)美的證明，證明沒有“最大的質數(shù)”，質數(shù)的展延是不受任何限制的。
      　　☆為了研究這個問題，不妨暫時假設已知質數(shù)的個數(shù)是有限的，最大的一個用Ｎ來表示。現(xiàn)在讓我們把所有質數(shù)都乘起來，再加上１。這寫成數(shù)學式是：
      　?。?×2×3×5×7×11×13×……×N）＋1
      　　這個數(shù)當然比我們所假設的“最大質數(shù)”N大得多。但是，十分明顯，這個數(shù)不能被到N為止（包括N在內(nèi)）的任何一個質數(shù)除盡的，因為從這個數(shù)的產(chǎn)生方式就可以看出，拿任何質數(shù)來除它，都會剩下1。
      　　因此，這個數(shù)要嘛本身也是個質數(shù)，要嘛就是能被比Ｎ還大的質數(shù)整除。而這兩種可能性都和原先關于N為最大質數(shù)的假設相矛盾?！?/p>
      　　這種證明方式叫做反證法，是數(shù)學家們愛用的工具之一。
      　　我們既然知道質數(shù)的數(shù)目是無限的，自然就會想問一問，是否有什么簡單方法可以把它們一個不漏地挨個寫出來。古希臘的哲學家兼數(shù)學家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一種名叫“過篩”的方法。這就是把整個自然數(shù)列１，２，３，４......統(tǒng)統(tǒng)寫下來，然后去掉所有２的倍數(shù)、３的倍數(shù)、５的倍數(shù)等等。前１００個數(shù)“過篩”后的情況如圖９所示，共剩下二十六個質數(shù)。用這種簡單的過篩方法，我們已經(jīng)得到了十億以內(nèi)的質數(shù)表。
      　　如果能導出一個公式，從而能迅速而自動地推算出所有的質數(shù)（并且僅僅是質數(shù)），那該多簡便啊，１６４０年，著名的法國數(shù)學家費馬（Pierre Fermat）認為自己找到了一個這樣的公式。這個公式是
      　　exp(2,exp(2,n))+1，n取自然數(shù)的各個值１，２，３，４等等。從這個公式我們得到：
      　　exp(2,exp(2,1))+1=5
      　　exp(2,exp(2,2))+1=17
      　　exp(2,exp(2,3))+1=257
      　　exp(2,exp(2,4))+1=65,537
      　　這幾個數(shù)都是質數(shù)。但在費馬宣稱他取得這個成就以后一個世紀，德國數(shù)學家歐拉（Leonard Euler）指出，費馬的第五個數(shù)不是個質數(shù)，而是6,700,417和641的乘積。因此，費馬這個推算質數(shù)的經(jīng)驗公式被證明是錯的。
      　　還有一個值得一提的公式，用這個公式可以得到許多質數(shù)，這個公式是：
      　　exp(n,2)-n+41
      　　n也取自然數(shù)各個值１，２，３等等。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在n為１到40的情況下，用這個公式都能得出質數(shù)。但不幸得很，到了第四十一步，這個公式也不得了。
      　　事實上，
      　　exp(41,2)-41+41
      　　這是一個平方數(shù)，而不是質數(shù)。
      　　人們還試驗過另一個公式，它是：
      　　exp(n,2)-79n+1601
      　　這個公式在n從１到79時都能得到質數(shù)，但當n=80時，它又不成立了！
      　　因此，尋找只給出質數(shù)的普遍公式的問題至今還沒有解決。
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-23 21:01:00  
      　　數(shù)論定理另一個有趣的例子，是1742年提出的所謂“哥德巴赫（Goldbach）猜想”
      　　這是一個迄今既沒有被證明也沒有被推翻的定理，內(nèi)容是：任何一個大于2的偶數(shù)都能表示為兩個質數(shù)之和。
      　　從一些簡單的例子，你很容易看出這句話是對的。例如,12=7+5,24=17+7,32=29+3，但是數(shù)學家們在這方面做了大量工作，卻仍然既不能做出肯定的斷語，也不能找出一個反證。1931年，蘇聯(lián)數(shù)學家史尼雷爾曼（Schnirelman）朝著問題的最終解決邁出了建設性的第一步。他證明了，每個偶數(shù)都能表示為不多于300,000個質數(shù)的和。“300,000個質數(shù)之和”和“2個質數(shù)之和”之間的距離，后來又被另一個蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫（Vinogradoff）大大縮短了。他把史尼雷爾曼那個結論改成了“四個質數(shù)之和”。但是，從維諾拉多夫的“四個質數(shù)”到哥德巴赫的“2個質數(shù)”，這最后兩步大概是最難走的。誰也不能告訴你，到底是需要幾年還是需要幾個世紀。(※我國青年數(shù)學工作者陳景潤又把這個結果推進了一步。他的結論是：任何一個大于2的偶數(shù)都可以表示為一個質數(shù)和不多于兩個質數(shù)的乘積之和※)
      　　可見，談到推導能自動給出直到任意大的所有質數(shù)的公式的問題，從現(xiàn)在來看，我們離這一步還遠得很哩！目前我們甚至連到底存在不存大這樣的公式，也都還沒有把握呢！
      　　現(xiàn)在，讓我們換個小一點的問題看一看－－在給定的范圍內(nèi)質數(shù)所能占的百分比有多大。這個比值是隨著數(shù)的增長加大還是減小，或者是近似為常數(shù)呢？我們可以用經(jīng)驗的方法，即通過查找各種不同數(shù)值范圍內(nèi)質數(shù)數(shù)目的方法，來解決這個問題。這樣，我們查出，100之內(nèi)有26個質數(shù)，在1,000之內(nèi)有168個，在1,000,000之內(nèi)有78,498個，在1,000,000,000之內(nèi)有50,847,478個。把質數(shù)個數(shù)除以相應范圍內(nèi)的整數(shù)個數(shù)，得出下表：
      　　數(shù)值范圍　　　質數(shù)數(shù)目　　 比率　　　　1/ln(n) 偏差（
      　　%）
      　　1－100　　　　　　26　　　　　　0.260　　　0.217　　　20
      　　1－1000　　　　　168　　　　　　0.168　　　0.145　　　16
      　　1－exp(10,6)　　78,498　　　　　0.078498　　0.072382　　8
      　　1－exp(10,9)　　50，847，478　　0.050847478　　5
      　　從這張表上首先可以看出，隨著數(shù)值范圍的擴大，質數(shù)的數(shù)目相對減少了。但是，并不存在質數(shù)的終止點。
      　　有沒有一個簡單方法可以用數(shù)學形式表示這種質數(shù)比值隨范圍的擴大而減小的現(xiàn)象呢？有的。并且，這個有關質數(shù)平均頒的規(guī)律已經(jīng)成為數(shù)學上最值得稱道的發(fā)現(xiàn)之一。這條規(guī)律很簡單。就是：從1到任何自然數(shù)Ｎ之間所含質數(shù)的百分比，近似由Ｎ的自然對數(shù)的倒數(shù)所表示。Ｎ越大，這個規(guī)律就越精確。
      　　從上表的第四欄，可以看到Ｎ的自然對數(shù)的倒數(shù)。把它們和前一欄對比一下，就會看出兩者是很相近的，并且，Ｎ越大，它們也就越相近。
      　　有許多數(shù)論上的定理，開始時都是憑經(jīng)驗作為假設提出，而在很長一段時間內(nèi)得不到嚴格的證明的。上面這個質數(shù)定理也是如此。直到上世紀末，法國數(shù)學家阿達馬(Jacques Solomon Hadamard）和比利時數(shù)學家布散（deLa Vallee Poussin）才終于證明了它。由于證明的方法太繁難，我們這里就不介紹了。
      　　既然談到整數(shù)，就不能不提一提著名的費馬大數(shù)定理，盡管這個定理和質數(shù)沒有必然的聯(lián)系。要研究這個問題，先要回溯到古埃及。古埃及的每一個好木匠都知道，一個邊長為3:4:5的三角形中，必定有一個角是直角。現(xiàn)在有人把這樣的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作為自己的三角尺的。
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-23 21:06:00  
      　　公元三世紀，亞歷山大里亞城的刁番都（Diophante）開始考慮這樣一個問題：從兩個整數(shù)的平方和等于另一整數(shù)的平方這一點來說，具有這種性質的是否只有3和4這兩個整數(shù)？他證明了還有其他具有同樣的整數(shù)（實際上有無窮多組）并給出了求這些數(shù)的一般規(guī)則。這類三個邊都是整數(shù)的直角三角形稱為畢達哥拉斯三角形。簡單說來，求這種三角形的三邊就是解方程
      　　 exp(x,2)+exp(y,2)=exp(z,2)
      　　式中的x，y，z必須是整數(shù)。
      　　1621年，費馬在巴黎買了一本刁番都所著〖算術學〗的法文譯本，里面提到了畢達哥拉斯三角形。當費馬讀這本書的時候，他在書的空白處作了一些簡短的筆記，并且指出，
      　　 exp(x,2)+exp(y,2)=exp(z,2)
      　　有無窮多組整數(shù)解，而形如
      　　　exp(x,n)+exp(y,n)=exp(z,n)
      　　的方程，當n大于2時，永遠沒有整數(shù)解。
      　　他后來說：“我當時想出了一個絕妙的證明方法，但是書上的空白太窄了，寫不完?！?/p>
      　　費馬死后，人們在他的圖書室里找到了刁番都的那本書，里面的筆記也公諸于世了。那是在三個世紀以前。從那時候以來，各國最優(yōu)秀的數(shù)學家們都嘗試重新作出費馬寫筆記時所想到的證明，但至今都沒有成功。當然，在這方面已有相當大的進展，一門全新的數(shù)學分支－－“理想數(shù)論”－－在這個過程中創(chuàng)建起來了。歐拉證明了，方程
      　　exp(x,3)+exp(y,3)=exp(z,3)
      　　和
      　　exp(x,4)+exp(y,4)=exp(z,4)
      　　不可能有整數(shù)解。狄里克萊（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）證明了exp(x,5)+exp(y,5)=exp(z,5)也是這樣。依靠其它一些數(shù)學家的共同努力，現(xiàn)在已經(jīng)證明，在N小于269的情況下，費馬的這個方程都沒有整數(shù)解。不過，對于指數(shù)N在任何值下都成立的普遍證明，卻一直沒能作出。人們越來越傾向于認為，費馬不是根本沒有進行證明，就是在證明過程中有什么地方搞錯了。為征求這個問題的解答，曾經(jīng)懸賞過十萬馬克。那時，研究這個問題的人真是不少，不過，這些拜金的業(yè)余數(shù)學家都一事無成。
      　　這個定理仍然有可能是錯誤的，只要能找到一個實例，證實兩個整數(shù)的某一次冪的和等于另一個整數(shù)的同一次冪的和就行了。不過，這個冪次一定要在比269大的數(shù)目中去找，這可不是一件容易事啊。
      　?。ㄤ浫胝撸哼@個定理于1995年？我記不清了，已經(jīng)有數(shù)學家給出了證明，現(xiàn)在可以肯定地說，費馬大定理是正確的了
      神秘的sqrt(-1)（根號負一）
      　　現(xiàn)在，讓我們來搞點高級算術。二二得四，三三見九，四四一十六，五五二十五，因此，四的平方根為二，九的平方根為三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。
      　　然而，負數(shù)的平方根是什么樣呢？sqrt(-5)和sqrt(-1)之類的表達式有什么意義呢？
      　　如果從有理數(shù)的角度來揣想這樣的數(shù)，你一定會得出結論說，這樣的式子沒有任何意義，這是可以引用十二世紀的一位數(shù)學家拜斯.迦羅(Brahmin Bhaskara)的話：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方也是正數(shù)。因此，一個正數(shù)的平方根是兩重的：一個正數(shù)和一個負數(shù)。負數(shù)沒有平方根，因為負數(shù)并不是平方數(shù)?！?/p>
      　　可是數(shù)學家的脾氣倔強得很。如果有些看起來沒有意義的東西不斷在數(shù)學公式中冒頭，他們就會盡可能造出一些意義來。負數(shù)的平方根就在很多地方冒過頭，既在古老而簡單的算術問題上出現(xiàn)，也在二十世紀相對論的時空結合問題上露面。
      　　第一個將負數(shù)的平方根這個“顯然”沒有意義的東西寫到公式里的勇士，是十六世紀的意大利數(shù)學家卡爾丹(Cardan)。在討論是否有可能將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40時，他指出，盡管這個問題沒有有理解，然而，如果把答案寫成5＋sqrt(-15)和5-sqrt(-15)這樣兩個怪模怪樣的表達式，就可以滿足要求了。
      　　盡管卡爾丹認為這兩個表達式?jīng)]有意義，是虛構的、想象的，但是，他畢竟把它們寫下來了。
      　　既然有人敢把負數(shù)的平方根寫下來，并且，盡管這有點想入非非，卻把10分成兩個乘起來等于40的事辦成了；這樣，有人開了頭，負數(shù)的平方根－－卡爾丹給它起了個大號叫“虛數(shù)”－－就越來越經(jīng)常地被科學家們所使用了，雖則總是伴有很大保留，并且要提出種種借口。在著名瑞士科學家歐拉1770年發(fā)表的代數(shù)著作中，有許多地方用到了虛數(shù)。然而，對這種數(shù)，他又加上了這樣一個掣肘的評語：“一切如sqrt(-1)的數(shù)學式，都是不可能有的、想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都是不是少些什么。它們純屬虛幻?！?/p>
      　　但是，盡管有這些非難和遁辭，虛數(shù)還是迅速成為分數(shù)和根式中無法避免的東西。沒有它們，簡直可以說寸步難行。
      　　不妨說，虛數(shù)構成了實數(shù)在鏡子里的幻象。而且，正象我們從基數(shù)1可以得到所有實數(shù)一樣，我們可以把sqrt(-1)作為虛數(shù)的基數(shù)，從而得到所有的虛數(shù)。通常寫作i。
      　　不難看出
      　　sqrt(-9)=sqrt(9)×sqrt(-1)=3i
      　　sqrt(-7)=sqrt(7)×sqrt(-1)=2.646…..i
      　　…..
      　　這么一來，每一個實數(shù)都有自己的虛數(shù)搭檔。此外，實數(shù)和虛數(shù)結合起來，形成單一的表達式，例如5+sqrt(-15)=5+sqrt(15)i。這種表示方法是卡爾丹發(fā)明的，而這種混成的表達式通常稱做復數(shù)。
      　　虛數(shù)闖進數(shù)學的領地之后，足足有兩個世紀的時間，一直披著一張神秘的、不可思議的面紗。直到兩個業(yè)余數(shù)學家給虛數(shù)作出了簡單的幾何解釋后，這張面紗才被揭去，這兩個人是：測繪員威塞爾(Wessel)，挪威人；會計師阿爾剛(Robert Argand)，法國巴黎人。
      　　按照他們的解釋，一個復數(shù)，例如3＋4i，可以象圖10(錄入者，就是一個復平面，這個大家應該都知道了)那樣表示出來，其中3是水平方向的座標，4是垂直方向的座標。
      　　所有的實數(shù)（正數(shù)和負數(shù)）都對應于橫軸上的點，而純虛數(shù)則對應于縱軸上的點。當我們把位于橫軸上的實數(shù)3乘以虛數(shù)單位i時，就得到位于縱軸上的純虛數(shù)。因此，一個數(shù)乘以i，在幾何上相當于逆時針旋轉90（見圖10）
      　　如果把再乘以i，則又須再逆轉90，這一下又回到橫軸上，不過卻位于負數(shù)那一邊了。因為3i×I=3×exp(i,2)=-3
      　　或exp(i,2)=-1
      　　“i的平方等于-1”這個說法，比“兩次旋轉90(都旋時針進行)便變成反向”更容易理解。
      　　這個規(guī)則同樣適用于復數(shù)。把3+4i乘以i，得到
      　　(3+4i)I=3i+4exp(i,2)=3i-4=-4+3i
      　　從圖10可立即看出，正好相當于這個點繞原點逆時針旋轉了90。同樣的道理，一個數(shù)乘上-i就是它繞原點順時針旋轉90。這一點從圖10也能看出.
      　　如果你現(xiàn)在仍然覺得虛數(shù)帶有一張神秘的面紗，那么，讓我們通過一個簡單的，包含有虛數(shù)的實際應用的習題來把這張面紗揭去吧。
      　　（錄入者：喬治先生在下邊給出的這個例子中的故事非常有意思，有興趣的話大家可以自己做一下試驗，這非常有助于你對復數(shù)的威力的理解）
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-25 12:06:00  
      　　☆☆☆☆☆☆☆☆☆
      　　從前，有個富于冒險精神的年輕人，在他曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙，上面指出了一項寶藏。它是這樣寫著的：
      　　乘船到北緯（＿）、西經(jīng)（＿），即可找到一座荒島，島的北岸有一大片草地。草地上有一株橡樹和一株松樹。還有一座絞架，那是我們過去用來吊死叛變者的。從絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡樹向右拐個直角再走這么多步，在這里打個樁。然后回到絞架那里，朝松樹走去，同時記住所走的步數(shù)，到松樹向左拐個直角再走這么多步。在這里也打個樁。在兩個樁的正當中挖掘，就可找到寶藏。
      　　☆☆☆☆☆☆☆☆☆
      　　這道指示很清楚、明白。所以，這位年輕人就租了一條船開往目的地。他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹。但使他大失所望的是，絞架不見了。經(jīng)過長時間的風吹日曬，絞架已糟爛成土，一點痕跡與看不出了
      　　我們這位年輕的冒險家陷入了絕望。在狂亂中，他在地上亂掘起來。但是，地方太大了。一切只是白費力氣。他只好兩手空空，啟帆回程。因此，那項寶藏恐怕還在那島上埋著呢！
      　　這是一個令人傷心的故事。然而，更令人傷心的是：如果這個小伙子懂得點數(shù)學。特別是虛數(shù)，他本來是有可能找到這項寶藏的?，F(xiàn)在我們來為他找找看，盡管已經(jīng)為時太晚，于他無補了。
      　　我們把這個島看成一個復數(shù)平面，過兩棵樹干畫一軸線（實軸），過兩樹中點與實軸垂直作虛軸（見圖11)，并以兩樹距離的一半作為長度單位。這樣，橡樹位于實軸上的-1點上，松樹則位于+1點上。我們不曉得絞架在何處，不妨用大寫的希臘字母Γ（這個字母的樣子倒象個絞架?。┍硎舅募僭O位置。這個位置不一定在兩根軸上，因此，應該是個復數(shù)，即
      　　Γ=a+bi
      　　現(xiàn)在來搞點小計算，同時別忘記了我們以前講過的虛數(shù)的乘法。既然絞架在Γ，橡樹在-1，兩者的距離和方位便為-1-Γ。同理，絞架與松樹相距1-Γ。將這兩段距離分別順時針和逆時針旋轉90，也就是按上述規(guī)則把兩個距離分別乘以-i和i。這樣便得出兩根樁的位置為：
      　　第一根：(-i)[-(1+Γ)]+1=i(Γ+1)+1
      　　第二根：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1
      　　(這一部分作者使用了向量減法，大家最好在紙上畫一畫，就明白這兩個算式的意義了)
      　　寶藏在兩根樁的正中間，因此，我們應該求出上述兩個復數(shù)之和的一半，即
      　　(1/2)[i(Γ+1)+1+I(1-Γ)-1]=(1/2)[iΓ+i+1+i-IΓ-1]=(1/2)(2i)=i
      　　現(xiàn)在可以看出，所表示的未知絞架的位置Γ已經(jīng)在運算過程中消失了。不管這絞架在何處，寶藏都在i這個點上。
      　　瞧，如果我們這位年輕的探險家能做這么一點點數(shù)學運算，他就無須在整個島上挖來挖去，他只要在圖11中打處×一挖，就可以把寶貝弄到手了。
      　　如果你還是不相信要找到寶藏，可以完全不知道絞架的位置，你不妨拿一張紙，畫上兩棵樹的位置。再在不同的地方假設幾次絞架的位置。然后按羊皮紙文件上的方法去做。不管做多少次，你一定總是得到復數(shù)平面中那個位置。
      　　依靠-1的平方根這個虛數(shù)，人們還找到了另一個寶藏，這就是發(fā)現(xiàn)普通的三維空間可以和時間結合，從而形成遵從四維幾何學規(guī)律的四維空間。下一章在介紹愛因斯坦的思維和他的相對論時，我們將再討論這一發(fā)現(xiàn)。
      第二部分 空間、時間與愛因斯坦
      　　第三章 　　空間的不尋常的性質
      　　大家都知道什么叫空間，不過，如果要摳這個詞的準確意義，恐怕又會說不出個所以然來。你大概會這樣說：空間乃包含萬物，可供萬物在其中上下、前后、左右運動者也。三個互相垂直的獨立方向的存在，描述了我們所處的物理空間的最基本的性質之一；我們說，這個空間是三個方向的，即三維的?？臻g的任何位置都可利用這三個方向來確定。如果我們到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商號的辦事處，旅店服務員就會告訴你：“向南走過五條街，往右拐，再過兩條馬路，上第七層樓?！边@三個數(shù)一般稱為座標。在這個例子里，坐標確定了大街、樓的層數(shù)和出發(fā)點（旅店前廳）的關系。顯然，從其他任何地方來判別同一目標的方位時，只要采用一套能正確表達新出發(fā)點和目標之間的關系的坐標就行了。并且，只要知道新、老坐標系統(tǒng)的相對位置，就可以通過簡單的數(shù)學運算，用老坐標來表示出新坐標。這個過程叫做坐標變換。這里得說明一句，三個坐標不一定非得是表示距離的數(shù)不可，在某些情況下，用角度當坐標要方便得多。
      　　舉例來說，在紐約，位置往往用街和馬路來表示，這是直角坐標；在莫斯科則要換成極坐標。從城堡輻射出若干街道，環(huán)城堡又有若干條同心的干路。這時，如果說某座房子位于克里姆林宮正東北方向第二十條馬路上，當然會很便當。
      　　圖12給出了幾種用三個坐標表示空間中某一點的位置的方法，其中有的坐標是距離，有的坐標是角度。但不論什么系統(tǒng)，都需要三個數(shù)。因為我們所研究的是三維空間。
      　?。ㄤ浫胝撸@個圖中給出了三種坐標，一種是直角坐標，一種極坐標，還有一種是雙極坐標――似乎不很常見，據(jù)說在航海中很有用，這種坐標用某點與已知兩點所成的角度來表示點的位置的，故坐標值是兩個角度，很明顯。它無法表示與已知的兩點共線的所有點）
      　　對于我們這些具有三維空間概念的人來說，要想象比三維多的多維空間是困難的，而想象比三維少的低維空間則是容易的。一個平面，一個球面，或不管什么面，都是二維空間，因為對于面上的任意一點，只要用兩個數(shù)就可以描述。同理，線（直線或曲線）是一維的，因為只需要一個數(shù)便可以描述線上的各點的位置。我們還可以說，點是零維的，因為在一個點上沒有第二個不同的位置。可是話說回來，誰對點感興趣呢！
      　　作為一種三維的生物，我們覺得很容易理解線和面的幾何性質，這是因為我們能“從外面”觀察它們。但是，對三維空間的幾何性質，就不那么容易了，因為我們是這個空間的一部分。這個原因解釋了為什么我們不費什么事就理解了曲線和曲面的概念，而一聽說有彎曲的三維空間就大吃一驚。
      　　不過，在討論彎曲的三維空間之前，還是先來做幾節(jié)有關一維曲線、二維曲面和普通三維空間的腦力操吧。
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-25 12:22:00  
      　?。?、不量尺寸的幾何學
      　　你在學校里早就與幾何學搞得很熟了。在你的記憶中，這是一門量度的科學，它的大部分內(nèi)容，是一大堆敘述長度和角度的各種數(shù)值關系的定理（例如，畢達哥拉斯定理就是敘述直角三角形三邊長度的關系的）。然而，空間的許多最基本的性質，卻根本用不著測量長度和角度。幾何學中有關這一類內(nèi)容的分支叫拓樸學。
      　　現(xiàn)在舉一個簡單的典型拓撲學的例子，設想有一個封閉的幾何面，比如說一個球面，它被一些線分成許多區(qū)域。我們可以這樣做：在球面上任選一些點，用不相交的線把它們連接起來。那么，這些點的數(shù)目、連線的數(shù)目和區(qū)域的數(shù)目之間有什么關系呢。
      　　首先，十分明顯的一點是：如果把這個圓球擠成南瓜樣的扁球，或拉成黃瓜那樣的長條，那么，點、線、塊的數(shù)目顯然還和圓球時的數(shù)目一樣。事實上，我們可以取任何形狀的閉曲面，就象隨意拉擠壓扭一個氣球時所能得到的那么曲面（但不能把氣球撕裂或割破）一樣。這時，上述問題的提法和結論都沒有絲毫改變。而在一般幾何學中，如果把一個正方體變成平行六面體，或把球形壓成餅形，各種數(shù)值（如線的長度、面積、體積等）都會發(fā)生很大變化。這一點是兩種幾何學的很大不同之處。
      　　我們現(xiàn)在可以將這個劃分好的球的每一區(qū)域都展平，這樣，球就變成了多面體（圖13），相鄰區(qū)域的界線變成了棱，原先挑選的點就成了頂點。
      　　這樣一來，我們剛才那個問題就變成（本質上沒有任何改變）：一個任意形狀的多面體的面、棱和頂點的數(shù)目之間有什么關系？
      　　圖14示出了五種正多面體（即所有各個面都有同樣多邊和頂點）和一個隨意畫出的不規(guī)則多面體。
      　　我們可以數(shù)一數(shù)這些幾何體各自擁有的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，看看它們之間有沒有什么關系。
      　　數(shù)一數(shù)以后，我們得到下面的表。 
      　　━━━━━━━┯━━━━━┯━━━━━┯━━━━┯━━━━━┯━━━━
      　　 多面體名稱 │ 頂點數(shù)Ｖ│ 棱數(shù)Ｅ │ 面數(shù)Ｆ│ Ｖ＋Ｆ │Ｅ＋２ 
      　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
      　　 四面體 │ ４ │ ６ │ ４ │ ８ │ ８ 
      　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
      　　 六面體 │ ８ │ １２ │ ６ │ １４ │ １４ 
      　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
      　　 八面體 │ ６ │ １２ │ ８ │ １４ │ １４ 
      　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
      　　 二十面體 │ １２ │ ３０ │ ２０ │ ３２ │ ３２ 
      　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
      　　 十二面體 │ ２０ │ ３０ │ １２ │ ３２ │ ３２ 
      　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
      　　 古怪體 │ ２１ │ ４５ │ ２６ │ ４７ │ ４７ 
      　　━━━━━━━┷━━━━━┷━━━━━┷━━━━┷━━━━━┷━━━━
      　　前面三欄的數(shù)據(jù)，乍一看來好象沒有什么相互關系。但仔細研究一下，就會發(fā)現(xiàn)，頂點數(shù)和面數(shù)之和總是比棱數(shù)大2。因此，我們可以寫出這樣一個關系式：
      　　Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２
      　　這個是適用于任何多面體呢，還是只適用于圖14上這幾個特殊的多面體？你不妨再畫幾個其它樣子的多面體，數(shù)數(shù)它們的頂點、棱和面。你會發(fā)現(xiàn)，結果還是一樣?？梢?，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓撲學的一個普遍適用的數(shù)學定理，因為這個關系式并不涉及到棱的長短或面的大小，它只牽涉到各種幾何學單位（頂點、面、棱）的數(shù)目。
      　　這個關系是十七世紀法國的大數(shù)學家笛卡爾（Rene descartes）最先注意到的，它的嚴格證明則由另一位數(shù)學家歐拉作出。這個定理現(xiàn)在被稱為歐拉定理。
      　　下面就是歐拉定理的證明，引自古朗特（R.Courant）和羅賓斯（H.Robbins）的著作〖數(shù)學是什么？〗。我們可以看一看，這一類型的定理是如何證明的。
      　　為了證明歐拉的公式，我們可以把給定的簡單多面體想象成用橡皮薄膜作成的中空體（圖15a）。如果我們割去它的一個面，然后使它變形，把它攤成一個平面（圖15b）。當然，這么一來，面積和棱間的角度都會有所改變。然而這個平面網(wǎng)絡的頂點數(shù)和邊數(shù)都與原多面體一樣，而多邊形的數(shù)目則比原來多面體的面數(shù)少了一個（因為割去了一個面）。下面我們將證明，對于這個平面網(wǎng)絡，V’-E+F=1。這樣，在加上割去的那個面以后，結果就成為：對于原多面體，V-E+F=2。
      　　首先，我們把這個平面網(wǎng)絡“三角形化”，即給網(wǎng)絡中不是三角形的多邊形加上對角線。這樣，Ｅ和Ｆ的數(shù)目都會增加。但由于每加一條對角線，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V-E+F仍保持不變。這樣添加下去，最后，所有的多邊形都會變成三角形（圖15C）。在這個三角形化了的網(wǎng)絡中，V-E+F仍和三角形化以前的數(shù)值一樣，因為添加對角線并不改變這個數(shù)值。
      　　有一些三角形位于網(wǎng)絡邊緣，其中有的（如）只有一條邊位于邊緣，有的則可能有兩條邊。我們依次把這些邊緣三角形的那些不屬于其它三角形的邊、頂點和面拿掉（圖）。這樣，從，我們拿去了邊和這個三角形的面，只留下頂點和兩條邊，從，我們拿去了平面、兩條邊和頂點。
      　　在式的去法中，Ｅ和Ｆ都減少１，但Ｖ不變，因而V-E+F不變。在式的去法中，Ｖ減少１，Ｅ減少２，Ｆ減少１。因而V-E+F仍不變。以適當方式逐個減少這些邊緣三角形。直到最后只剩下一個三角形。一個三角形有三條邊、三個頂點和一個面。對于這個簡單的網(wǎng)絡，V-E+F＝3-3+1=1。我們已經(jīng)知道，V-E+F并不隨三角形的減少而改變，因此，在開始的那個網(wǎng)絡中，V-E+F也應該等于1。但是，這個網(wǎng)絡又比原來那個多面體少一個面，因此，對于完整的多面體，V-E+F=2。這就證明了歐拉的公式。
      　　歐拉公式的一條有趣的推論就是：只可能有五種正多面體存在，就是圖14中那五種。
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-25 12:23:00  
      　　如果把前面幾頁的討論仔細推敲一下，你可能就會注意到，在畫出圖14上所示的“各種不同”的多面體，以及在用數(shù)學推理證明歐位定理時，我們都作了一個內(nèi)在的假設，它使我們在選擇多面體時受了相當?shù)南拗啤＿@個內(nèi)在假設就是：多面體必須沒有任何透眼。所謂透眼，不是氣球上撕去一塊后所形成的形狀。而是象面包圈或橡皮輪胎正中的那個窟窿的模樣。
      　　這只要看圖16就清楚了。這兒有兩種不同的幾何體，它們和圖14所示的一樣，也都是多面體。
      　　現(xiàn)在我們來看看，歐拉定理對這兩個新的多面體適用不適用。
      　　在第一個幾何體上，可數(shù)出16個頂點、32條棱和16個面；這樣，V+F=32，而E+2=34，不對了。第二個有28個頂點、54條棱和30個面;V+F=58,E+2=56，這就更不對了。
      　　為什么會這樣呢？我們對歐位定理作一般證明時的推理對于這兩個例子錯在哪里呢？
      　　錯就錯在；我們以前所考慮到的多面體可以看成一個球膽或氣球，而現(xiàn)在這種新型多面體卻應看成橡皮輪胎或更為復雜的橡膠制品。對于這類多面體，無法進行上述證明過程所必需的步驟－－“割去它的一個面，然后使它變形，把它攤成一個平面。”
      　　如果是一個球膽，那么，用剪刀剪去一塊之后，就很容易完成這個步驟。對于一個輪胎，卻無論如何也不會成功。要是圖16還不能使你相信這一點，你找條舊輪胎動手試一試也可以！
      　　但是不要認為對于這類較為復雜的多面體，Ｖ，Ｅ和Ｆ之間就沒有關系了。關系是有的，說得科學一點，即對于環(huán)狀圓紋曲面型的多面體，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而對于那種蜜麻花型的，則Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般說來，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的個數(shù)。
      　　另一個典型的拓撲學問題與歐拉定理密切有關，它是所謂“四色問題”。假設有一個球面劃分成若干區(qū)域；把這球面涂上顏色，要求任何兩個相鄰的區(qū)域（即有共同邊界的區(qū)域）不能涂上同一種顏色。問完成這項工作，最少需要幾種顏色？很容易看出，兩種顏色一般來說是不夠用的。因為當三條邊界交于一點時（比如美國的弗吉尼亞、西弗吉尼亞和馬里蘭三州的地圖，見圖17），就需要三種顏色。
      　　要找到需要四種顏色的例子也不難（圖17）。這是過去德國吞并奧地利時的瑞士地圖。
      　　但是，隨你怎么畫，也得不到一張非得用四種以上顏色不可的地圖，無論在球面上還是在平面上都是如此。看來，不管是多么復雜的地圖，四種顏色就足以避免邊界兩邊的區(qū)域相混了。
      　　不過，如果這種說法是正確的，就應該能夠從數(shù)學上加以證明。然而，這個問題雖經(jīng)幾代數(shù)學家的努力，至今仍未成功。這是那種實際上已無人懷疑。但也無人能證明的數(shù)學問題的又一個典型實例、現(xiàn)在，我們只能從數(shù)學上證明有五種顏色就足夠了。這個證明是將歐拉關系應用于國家數(shù)、邊界數(shù)和數(shù)個國家碰到一塊的三重、四重等等交點數(shù)而得出的。
      　　這個證明過程太復雜，寫出來會離題太遠，在這里就不贅述了。讀者可以在各種拓撲學的書中找到它，并借以渡過一個愉快的晚上（說不定還得一夜不眠）。如果有誰能夠證明無需五種、而只用四種顏色就足以給任何地圖上色，或研究出一幅四種顏色還不夠用的地圖，那么，不論哪一種成功了，他的大名就會在純粹數(shù)學的年鑒上出現(xiàn)一百年之久。
      　　說來好笑，這個上色問題，在球面和平面的簡單情況下怎么也證不出來；而在復雜的曲面，如面包圈形和蜜麻花型中，卻比較順利地得到了證明。比如，在硯面包圈型中已經(jīng)得出結論說，不管它怎樣分劃，要使相鄰區(qū)域的顏色不至相同，至少需要七種顏色。這樣的也做出來了。
      　　讀者不妨在費點腦筋，找一個充氣輪胎，再弄到七種顏色的油漆，給輪胎上漆，使每一色漆塊都和另外六種顏色漆塊相鄰。如果做到這一點，他就可以聲稱他對面包圈型曲面確實心里“有譜”了。
      　　注：四色問題已經(jīng)于八十年代初借助于計算機的幫助解決了。
      ３、把空間翻過來
      　　到目前為止，我們所討論的都是各種曲面，也就是二維空間的拓撲學性質。我們同樣也可以對我們生存在內(nèi)的這個三維空間提出類似的問題。這么一來，地圖著色問題在三維情況下就變成了：用不同的物質制成不同形狀的鑲嵌體，并把它們拼成一塊，使得沒有兩塊同一種物質制成的子塊有共同的接觸面，那么，需要用多少種物質？
      　　什么樣的三維空間對應于二維的球面或環(huán)狀圓紋曲面呢？能不能設想出一些特殊空間，它們與一般空間的關系正好同球面或環(huán)狀面與一般平面的關系一樣？乍一看，這個問題似乎提得很沒有道理，因為盡管我們能很容易地想出許多式樣的曲面來，但卻一直傾向于認為只有一種三維空間，即我們所熟悉并在其中生活的物理空間。然而，這種觀念是危險的，有欺騙性的。只要發(fā)動一下想象力，我們就能想出一些與歐幾里得幾何教科書中所進述的空間大不相同的三維空間來。
      　　要想象這樣一些古怪的空間，主要的困難在于，我們本身也是三維空間中的生物，我們只能“從內(nèi)部”來觀察這個空間，而不能像在觀察各種曲面時那樣“從外部”去觀察。不過，我們可以通過做幾節(jié)腦筋操，使自己在征服這些怪空間時不致過于困難。
      　　首先讓我們建立一種性質與球面相類似的三維空間模型。球面的主要性質是：它沒有邊界，但卻具有確定的面積；它是彎曲的，自我封閉的。能不能設想一種同樣自我封閉，從而具有確定體積而無明顯界面的三維空間呢？
      　　設想有兩個球體，各自限定在自己的球形表面內(nèi)，如同兩個未削皮的蘋果一樣?，F(xiàn)在，設想這兩個球體“互相穿過”，沿外表面粘在一起。當然，這并不是說，兩個物理學上的物體如蘋果，能被擠得互相穿過并把外皮粘連在一起。蘋果就是被擠成碎塊，也不會互相穿過的。
      　　或者，我們不如設想有個蘋果，被蟲子吃出彎曲盤結的隧道。要設想有兩種蟲子，比如說一種黑的和一種白的；它們互相憎惡，因此，蘋果內(nèi)蟲蛀的隧道并不相通，盡管在蘋果的皮上它們可以從緊挨著的兩點蛀食進去。這樣一個蘋果，被兩條蟲子蛀來蛀去，就會像圖18那樣，出現(xiàn)互相緊緊纏結、布滿整個蘋果內(nèi)部的雙股通道。但是，盡管黑蟲和白蟲的隧道可以很接近，要想從這兩座迷宮中的任一座跑到另一座去，卻必須先走到表面才行。如果設想隧道越來越細，數(shù)目越來越多，最后就會在蘋果內(nèi)得到互相交錯的兩個獨立空間，它們僅僅在公共的表面上相連。
      　　如果你不喜歡用蟲子作例子，不妨設想一種類似紐約的世界博覽會大廈這座巨大球形建筑里的那種雙過道雙樓梯系統(tǒng)。設想每一套樓道系統(tǒng)都盤過整個球體，但要從其中一套的一個地點到達鄰近一套的一個地點，只能先走到球面上兩套樓道會合處，再往里走。我們說這兩個球體互相交錯而不相妨礙。你和你的朋友可能離得很近，但要見見面、握握手，卻非得兜一個好大的圈子不可！必須注意，兩套樓道系統(tǒng)的連接點實際上與球內(nèi)的各點沒有什么不同之處，因為你總是可以把整個結構變變形，把連接點弄到里面去，把原先在里面的點弄到外面來。還要注意，在這個模型中，盡管兩套隧道的總長度是確定的，確沒有“死胡同”。你可以在樓道中走來走去，決不會被墻壁或柵欄擋??；只要你走得足夠遠，你一定會在某個時候重新走到你的出發(fā)點。如果從外面觀察整個結構，你可以說，在這迷宮里行走的人總會回到出發(fā)點，只不過是由于樓道逐漸彎曲成球形。但對于處在內(nèi)部、而且不知“外面”為何物的人來說，這個空間就表現(xiàn)為具有確定大小而無明確邊界的東西。我們在下一章將會看到，這種沒有明顯邊界、然而并非無限的“自我封閉的三維空間”在一般地討論宇宙的性質時是非常有用的。事實上，過去用最強大的望遠鏡所進行的觀察似乎表明了，在我們視線的邊緣這樣遠的距離上，宇宙好象開始彎曲了，這顯示它有折回來自我封閉的明顯趨勢，就象那個被蛀食出隧道的蘋果的例子一樣。不過，在研究這些令人興奮的問題之前，我們還得再知道空間的其它性質。
      　　我們跟蘋果和蟲子的交道還沒有打完。下一個總是是能否把一只被蟲子蛀過的蘋果變成一個面包圈。當然，這不是說把蘋果變成面包圈的味道。而只是說樣子變得一樣；我們所研究的是幾何學，而不是烹飪法。讓我們?nèi)∫恢磺懊嬷v過的“雙蘋果”，也就是兩個“互相穿過”并且表皮“粘連在一起”的蘋果。假設有一只蟲子在其中一只蘋果里蛀出了一條環(huán)形隧道，如圖19所示。記住，是在一只蘋果里蛀的。所以，在隧道外的每一點都是屬于兩個蘋果的雙重點，而在隧道內(nèi)則只有那個未被蛀過的蘋果的物質。這個“雙蘋果”現(xiàn)在有了一個由隧道內(nèi)壁構成的自由表面（圖19a）。
      　　如果假設蘋果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么變形。在要求蘋果不發(fā)生裂口的條件下，能否把這個被蟲子蛀過的蘋果變成面包圈呢？為了便于操作，可以把蘋果切開，不過在進行過必要的變形后，還應把原切口粘起來。
      　　首先，我們把粘住這“雙蘋果”的果皮的膠質去除，將兩個蘋果分開（圖19b）。用Ｉ和Ｉ‘這兩個數(shù)字表示這兩張表皮，以便在下面各步驟中盯住它們，并在最后重新把它們粘起來。然后，把那個被蛀出一條隧道的蘋果沿隧道切開（圖19c）。這一下又切出兩個新面來，記之以和，，將來，還是要把它們粘回去的?，F(xiàn)在，隧道的自由面顯示出來了，它應該成為面包圈的自由面。好，現(xiàn)在就按圖19d的樣子來擺弄這幾塊零碎兒?，F(xiàn)在這個自由面被拉伸成了老大一塊了（不過，按照我們的假定，這種物質是可以任意伸縮的?。６虚_的面，，，的尺寸都變小了。與此同時，我們也對第二個蘋果進行手術，把它縮成櫻桃那么大?，F(xiàn)在開始往回粘。第一步先把，，粘上，這很容易做到，粘成后如圖19c。第二步把被縮小的蘋果放在第一個蘋果所形成的兩個夾口中間。收攏兩夾口，球面就和重新粘在一起，被切開的面和也再結合。這一來，我們就得到了一個面包圈，溜溜的，多么精致！
      　　搞這些有什么用呢？
      　　沒有什么用，只不過讓你作作腦筋操，體會一下什么是想象的幾何學。這有助于理解彎曲空間和自我封閉空間這類不尋常的東西。
      　　你大概還沒有意識到過，你的身體也具有面包圈的形狀吧。事實上，任何有生命的物體，在其發(fā)育的最初階段（胚胎階段）都經(jīng)歷過“胚囊”這一過程。在這個階段，它呈球形，當中橫貫著一條寬闊的通道。食物從通道的一端進入，被生命體攝取了有用成分以后。剩下的物質從另一端排出。到了發(fā)育成熟階段，這條內(nèi)部通道就變得越來越細。越來越復雜，但最主要的性質依然如故，面包圈型體的所有幾何性質也沒有改變。
      　　好啦，既然你自己也是一個面包圈，那么，現(xiàn)在試試按照圖１９Ａ的逆過程把它翻回去－－把你的身體（在思維中）變成內(nèi)部有一條通道的雙蘋果。你會發(fā)現(xiàn)，你身體中各個彼此有些交錯的部分組成了這個“雙蘋果”的果體，而整個宇宙，包括地球、月亮、太陽和星辰，都被擠進了內(nèi)部的圓形隧道！
      　　你還可以試畫畫看，看畫成什么樣子。如果你的成績不錯，那就連達利（SalvadoDali）本人也要承認你是超現(xiàn)實派的繪畫權威了?。▓D20）
       作者：wyhsillypig  回復日期：2004-12-27 17:36:00  
      　　這一節(jié)已經(jīng)夠長了，但我們還不能就此結束，還得討論一下左手系和右手系物體，以及它們寫窨的一般性質的關系。這個問題從一副手套起最為便當。一副手套有兩只。把它們比較一下就會發(fā)現(xiàn)（圖21）它們的所有尺寸都相同，然而，兩只手套卻有極大的不同：你決不能把左手那只手套戴到右手上，也不能把右手那只套在左手上。你盡管把它們扭來扭去，但左手套永遠是左手套，右手套永遠是右手套。另外，在鞋子的形狀上，在汽車的操縱系統(tǒng)（美國的和英國的）上和在許多其他物體上，都可以看到左手系和右手系的區(qū)別。
      　　另一方面，有些東西，如禮帽，網(wǎng)球拍等許多物體，就不存在這種差別。沒有人會蠢到想去商店里買幾只左手用的茶杯；如果有人叫你找鄰居去借一把左手用的活動扳手，這也純粹是在捉弄人。那么，這兩類物體有什么區(qū)別呢？你想一想就會發(fā)現(xiàn)，在禮帽和茶杯等一類物體上都存在一個對稱面，沿著這個面可將物體切成兩個相等的部分。手套和鞋子就不存在這種對稱面。你不妨試一試，無論怎么切，你都不能把一只手套割成兩個相同的部分。如果某一類物體不具有對稱面，我們就說它們是非對稱的，而且就能把它們分成兩類－－左手系的與右手系的。這兩系的差別不僅在手套這些人造的物體上表現(xiàn)出來，在自然界中也經(jīng)常存在。例如，存在著兩種蝸牛，它們在其它各個方面都一樣，唯獨給自己蓋房子的方式不同：一種蝸牛的殼呈順時針螺旋形，另一種呈逆時針螺旋形。就是在分子這種組成一切物質的微粒中，也象在左、右手手套和蝸牛殼的情況中一樣，往往有左旋和右旋兩種形態(tài)。當然，分子是肉眼看不見的，但是，這類分子所構成的物質的結晶形狀和光學性質，都顯示出這種不對稱性。例如，糖就有兩類，左旋糖和右旋糖；還有兩類吃糖的細菌，每一類只吞吃與自己同類的糖，信不信由你。
      　　從上述內(nèi)容看來，要想把一個右手系物體（比如說一只手套）變成左手系物體，似乎是完全不可能的。真的是這樣嗎？能不能想象出某種可以實現(xiàn)這種變化的奇妙空間呢？我們從生活在平面上的扁片人的角度來解答這個問題，因為這樣做，我們能站在較為優(yōu)越的三維的地位上來考察各個方面。請看圖22，圖上描繪了扁片國－－即僅有兩維的空間－－的幾個可能的代表。那個手里提著一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”因為他只有“正面”而沒有“側身”。他旁邊的動物則是一頭“側身驢”，說得更嚴格一點，是一頭“右側身驢”。當然，我們也可以畫出一頭“左側身驢”來。這時，由于這兩頭驢都局限在這個面上，從兩維的觀點來看，它們的不同正如在三維空間中的左、右手手套一樣。你不能使左、右兩頭驢頭并頭地疊在一起，因為如果要它們鼻子挨著鼻子、尾巴挨著尾巴，其中就得有一頭翻個肚皮朝天才行，這樣，它可就四腳朝天，無法立足嘍。
      　　圖22 生活在曲面上的二維“扁片生物”就是這個樣子的。不過，這類生物很不“現(xiàn)實”。那個人有正面而無側面，他不能把手里的葡萄放進自己的嘴里。那頭驢子吃起葡萄來倒是挺便當，但它只能朝右走，如果它要向左去，就只好退著走。驢子倒是常往后退的，不過這畢竟不那么象樣。
      　　不過，如果把一頭驢子從面上取下來，在空間中掉轉一下，再放回面上來，兩頭驢子就都一樣了。與此相似，我們也可以說，如果把一只右手手套從我們這個空間中拿到四維空間中，用適當?shù)姆绞叫D一下再放回來，它就會變成一只左手手套。但是，我們這個物理空間并沒有第四維存在，所以必須認為上述方法是不可能實現(xiàn)的。那么，有沒有別的方法呢？
      　　讓我們還回到二維世界上來。不過，我們要把圖22那樣的一般平面，換成所謂的梅比烏斯（Mobius）面。這種曲面是以一個世紀以前第一個對這種面進行研究的德國數(shù)學家來命名的。它很容易得到：拿一長條普通紙，把一端擰一個彎后，將兩端對粘成一個環(huán)。從圖23上可看出這個環(huán)該如何做。這種面有許多特殊的性質，其中有一點是很容易發(fā)現(xiàn)的：拿一把剪刀平行于邊緣的中線剪一圈（沿圖23上的箭頭），你一定會預言，這一來會把這個環(huán)剪成兩個獨立的環(huán)；但做一下看看，你就會發(fā)現(xiàn)你想錯了：得到的不是兩個環(huán)，而是一個環(huán)，它比原來那個長一倍，窄一半！
      　　讓我們看看，一頭扁片驢沿莫比烏斯面走一圈會發(fā)生什么。假定它從位置1（圖23）開始，這時看來它是頭“左側身驢”。從圖上可以清楚地看出，它走啊走，越過了位置2，位置3，最后又接近了出發(fā)點。但是，不單是你覺得奇怪，連它自己也覺得不對勁，它竟然處在蹄子朝上的古怪位置。當然，它能在面內(nèi)轉一下，蹄子又落了地，但這樣一來，頭的方向又不對了。
      　　總之，當沿梅比烏斯面走一圈后，我們的“左側面驢”變成了“右側面驢”。要記住，這是在驢子一直處在面上而從未取出來在空間旋轉的情況下發(fā)生的。于是我們發(fā)現(xiàn)，在一個扭曲的面上，左、右手系物體都可在通過扭曲處時發(fā)生轉換。圖23所示的梅比烏斯面是被稱作“克萊茵瓶”的更有一般性的曲面的一部分（克萊茵瓶如圖23所示）。這種“瓶”有一個面，它自我封閉而沒有明顯的邊界。如果這種面在四維空間內(nèi)是可能的，那么，同樣的情況也能在三維空間發(fā)生，當然，這要求空間有一個適當?shù)呐で?。要想象空間中的梅比烏斯扭曲自然決非易事。我們不能象看扁片驢那樣從外部來看我們自己的這個空間，而從內(nèi)部看又往往是看不清的。但是，天文空間并非不可能自我封閉，并有一個梅比烏斯式扭曲的。
      　　如果情況確實如此，那么，環(huán)游宇宙的旅行家將會帶著一顆位于右胸腔的心臟回到地球上來。手套和鞋子制造商興許能由簡化生產(chǎn)過程而獲得一些好處。因為他們只需制造清一式的鞋子和手套，然后把一半產(chǎn)品裝入飛船，讓它們繞行宇宙一周，這樣它們就能套進另一邊的手腳了。
      　　我們就用這個奇想來結束有關不尋?？臻g的不尋常性質的討論吧。
      第四章 四維世界
      　?。薄r間是第四維
      　　關于第四維的概念經(jīng)常被認為是很神秘、很值得懷疑的。我們這些只有寬度、厚度和高度的生物，怎么竟敢奢談什么四維空間呢？從我們?nèi)S的頭腦里能想象出四維情景嗎？一個四維的正方體或四維的球體該是什么樣子呢？當我們說的是“想象”一頭鼻里噴火、尾上披鱗的巨龍、或一架翼上設有游泳池和兩個網(wǎng)球場的超級客機時，實際上只不過是在頭腦中描繪這些東西果真出現(xiàn)在我們面前時的樣子。我們描繪這種圖象的背景，仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物體－－連同我們本身在內(nèi)－－的三維空間。如果說這就是“想象”這個詞的念義，那我們就想象不了出現(xiàn)在三維空間背景上的四維物體是什么樣子了，正如同我們不可能將一個三維物體壓進一個平面那樣。不過且慢，我們「確實」可以在平面上畫出三物體來，因而在某種意義，可以說是將一個三維物體壓進了平面。然而，這種壓法可不是用水壓機或諸如此類的物理力來實現(xiàn)，而是用“幾何投影”的方法進行的。用這兩種方法將物體（以馬為例）壓進平面的差別，可以立即從圖２４上看出來。
      　　用類比的方法，現(xiàn)在我們可以說，盡管不能把一個四維物體完完全全“壓進”三維空間，但我們能夠討論各種四維物體在三維空間中的“投影”。不過要記住，四維物體在三維空間中的投影是立體圖形，如同三維物體在平面上的投影圖形一樣。
      　　為了更好地了解這個問題，讓我們先考慮一下，生活在平面上的二維扁片人是如何領悟三維立方體的概念的。不難想象，作為三維空間的生物，我們有一個優(yōu)越之處，即可以從二維空間的上方、即第三個方向上來觀察平面上的世界。將它“投影”到平面上。旋轉這個立方體，可以得到各式各樣的投影。觀察這些投影，我們那些二維的扁片朋友就多少能對這個叫做“三維立方體”的神秘圖形的性質形成某些概念。他們僅是觀看投影，他們也會說出這個東西有八個頂點、十二條邊等等。現(xiàn)在請看圖１６，你將發(fā)現(xiàn)，你和那些只能從平面上琢磨立方體投影的扁片人一樣處于困難的境地了。事實上，圖中那一家人如此驚愕地研究的那個古怪復雜的玩藝，正是一個四維超正方體在我們這個普通三維空間中的投影。
      　　仔細端詳這個形體,你很容易發(fā)現(xiàn),它與圖25中令扁片人驚訝不止的圖形具有相同的特征:普通立方體在平面上的投影是兩個正方形,一個套在另一個里面(錄入者:想象一下,使用點光源,我們把這個立方體想象成用鐵絲做成的立方體框架,點光源在這個框架的一個面的正上方,投影面在正下方),并且頂點和頂點都相連;超正方體在一般窨中的投影則由兩個立方體構成,一個套在另一個里面,頂點也相連.數(shù)一數(shù)就知道,這個超正方體共有16個頂點,32條棱和24個面.好一個正方體啊,是吧?
      　　讓我們再來看看四維球體是什么樣的。為此，我們最好還是先看一個較為熟悉的例子，即一個普通圓球在平面上的投影。不妨設想將一個標出陸地和海洋的透明球投射到一堵白墻上（圖２７）。在這個投影上，兩個半球當然重疊在一起，而且，從投影上看，美國的紐約和中國的北京離得很近。但這只是個表面印象，實際上，投影上的每一個點都代表球上兩個相對的點，而一架從紐約飛到北京的收音機其投影則先移動到球體投影的邊緣，然后再一直退回來。盡管從圖上看來，兩架收音機的航線相重合，但如果它們“確實”分別在兩 個半球上飛行，那是不會相撞的。
      　　這就是普通球體平面投影的性質。再發(fā)揮一下想象力，我們就不難判斷出四維超球體的三維投影的形狀。普通圓球的平面投影是兩個相疊（點對點）、只在外面的圓周上連接的圓盤一樣，超球體的三維投影一定是兩個互相貫穿并且外表面相連接的球體。這種特殊結構，我們早在上一章討論過了，不過那時是作為與封閉球面相類似的三維封閉空間的例子提出的。因此，這里只需再補充一句：四維球體的三維投影就是上一節(jié)講到的兩個沿整個外表皮長在一起的蘋果（雙蘋果）。
      　　同樣地，用這種的方法，我們能夠解答許多有關形體其他性質的問題。不過，無論如何，我們也決不能夠在我們這個物理空間內(nèi)“想象”出第四個獨立的方向來。
      　　但是，只要再多思考一下，你就會意識到，把第四個方向看得太神秘是毫無必要的。事實上，有一個我們幾乎每天都要用的字眼，可以用來表示、并且也的確就是物理世界的第四個獨立的方向，這個字眼就是“時間”。時間經(jīng)常和空間一起被描繪我們周圍發(fā)生的事件。當我們說到宇宙間發(fā)生的任何事情時，無論是說在街上與老朋友邂逅，還是說遙遠星體的爆炸，一般都不只說它發(fā)生在何處，還要說出發(fā)生在何時。因此，除表示空間位置的三個方向要素之外，又增添了第四個要素－－時間。
      　　再進一步考慮考慮，你還會很容易地意識到，所有的實際物體都是四維的：三維屬于空間，一維屬于時間。你所住的房屋就是在長度上、寬度上、高度上和時間上伸展的。時間的伸展從蓋房時算起，到它最后被燒毀，或被某個拆遷公司拆掉，或因年久而坍塌為止。
      　　不錯，時間這個方向要素與其他三維很不相同。時間的間隔是用鐘表量度的：嘀嗒聲表示秒，當當聲表示小時。而空間的間隔則是用尺子量度的。再說，你能用一把尺子來量度長、寬、高，卻不能把這把尺變成一座鐘來量度時間；還有，在空間里，你能向前、向后、向上走，然后再返回來；而在時間上卻只能從過去到將來，是退不回來的。不過，即使有上述區(qū)別，我們?nèi)匀豢梢詫r間作為物理世界的第四個方向要素，不過，要注意別忘記它與空間不太一樣。
      　　在選擇時間作為第四維時，采用本章開頭所提到的四維形體的方法較為便當。還記得四維形體，比如那個超正方體的投影是多么古怪吧？它居然有１６個頂點、３２條棱和２４個面！難怪圖２６上的那些人會那么瞠目結舌地瞪著這個幾何怪物了。不過，從這個新觀點出來，一個四維正方體就只是一個存在了一段時間的普通立方體。如果你在５月１日用１２根鐵絲做成一個立方體，一個月后把它拆掉。那么，這個立方體的每個頂點都應看做沿時間方向有一個月那么長的一條線。你可以在每個頂點上掛一本小日歷，每天翻過一頁以表示時間的進程。
      　　現(xiàn)在要數(shù)出四維形體的棱數(shù)就容易了。在它開始存在時有１２條空間棱，結束時還有這樣１２條，另外又有描述各個頂點存在時間的８條“時間棱”。用同樣方法可以數(shù)出它有１６個頂點：５月１日有８個空間頂點，６月１日也有８個。用同樣方法還能數(shù)出面的數(shù)目，請讀者自己練習數(shù)一數(shù)。不過要記住，其中有一些面是這個普通立方體的普通正方形面，而其他的面則是由于原立方體由５月１日伸展到６月１日而形成的“半空間半時間”面。
      　　這里所講的有關四維立方體的原則，當然可以應用到任何其他幾何體或物體上去，無論它們是活的還是死的。
      　　具體地說，你可以把你自己想象成一個四維空間體，這很象一根長長的橡膠棒，由你出生之日 延續(xù)到你生命結束之時。遺憾的是，在紙上無法畫出四維的物體來，所以 我們在圖２９上用一個二維扁片人為例來表現(xiàn)這種想法。這里，我們所采取的時間方向是和扁片人所居住的二維平面垂直的。這幅圖只表示出這個扁扁片人整個生命中一個很短暫的部分。至于整個過程則要用一根長得多的橡膠棒來表示：以嬰兒開始的那一端很細，在很多年里一直變動著，直到死時才有固定不變的形狀（因為死人是不動的），然后開始分解。
      　　如果想要更準確一些，我們應該說，這個四維棒是由為數(shù)眾多的一束纖維組成的，每一根是一個單獨的原子。在生命過程中，大多數(shù)纖維聚在一起成為一群，只有少數(shù)在理性剪指甲時離去。因為原子是不滅的，人死后，尸體的分解也應考慮為各個纖維絲向各個方向飛去（構成骨骼的原子纖維除外）。
      　　在四維時空幾何學的詞匯中，這樣一根表示每一個單獨物質微粒歷史的線叫做“時空線”。同樣，組成一個物體的一束時空線叫做“時空束”。
      　　圖３０是一個表示太陽、地球和彗星的時空線的天文學例子（這里把星體看成是點，否則應該認為是時空束）。如同前面所舉的例子一樣，我們讓時間軸與二維平面（地球軌道平面）垂直。太陽的時空線在圖中用與時間軸平行的直線來表示，因為我們這里假定太陽是不動的。地球繞太陽運動的軌道近似于圓形，它的時空線是一條圍繞著太陽時空線的螺旋線。彗星的時空線先靠近太陽的時空線，然后又遠離而去。
      　　我們看到，從四維時空幾何學的角度著眼，宇宙的歷史和拓撲圖形融洽地結合成了一體；要研究單個原子、動物或恒星的運動，都只需考慮一束糾結的時空線就行了。
      ２、時空當量
      　　要把時間看作和空間的三維多少有些等效的第四維，會碰到一個相當困難的問題。在量度長、寬、高時，我們可以使用同一個單位，如１英寸、一英尺等。但時間既不能用英寸，也不能用英尺來量度。這時必須使用完全不同的單位。如分鐘或小時。那么，它們怎樣進行比較呢？如果面臨一個四維正方體，它的三個空間尺寸都是１英尺，那么，應該取多長的時間間隔，才能使四個維相等呢？是１秒，還是１小時，還是一個月？１小時比１英尺長還是短？
      　　乍一看，這個問題似乎毫無意義。不過，深入想一下，你就會找到一個比較長度和時間間隔的合理辦法。你常聽人說，某人的住處“搭汽車只需要二十分鐘”某某地方“乘火車五個小時便可到達”。這里，我們把距離表示成某種交通工具走過這段距離所需要的時間。
      　　因此，如果大家同意采用某種「標準速度」，就能用長度單位來表示時間間隔，反之亦然。很清楚，我們選用來作為時空的基本交換因子的標準速度，必須具備不受人類主觀意志和主觀物理環(huán)境的影響、在各種情況下都保持不變這樣一個基本的和普遍的本質。物理學中已知的唯一能滿足這種要求的速度是光在真空中傳播的速度。盡管人們通常把這種速度叫“光速”，但不如說“物質作用的傳播速度”更恰當些，因為『任何物體之間的作用力，無論是電的吸引力還是重力，在真空中的傳播速度都是相同的』。除此之外，我們以后還會看到，『光是一切物質所能具有的速度的上限』，沒有什么物體能以大于光速的速度在空間運動。（錄入者：怎樣理解“快子”？）
      　　第一次測定光速的嘗試是著名的意大利物理學家伽利略（Galileo Galilei）在十七世紀進行的。他和他的助手在一個黑沉沉的夜晚到了佛羅倫薩郊外的原野，隨身帶著兩盞有遮光板的燈，彼此離開幾英里站定。伽利略在某個時刻打開遮光板，讓一束光向助手的方向射去。助手已得到指示，一見到從伽利略那里射來的光，就馬上打開自己那塊遮光板。既然光線從伽利略那里到達助手，再從助手那里折回來都需要一定的時間，那么，從伽利略打開遮光板時起，到看到助手發(fā)回的光線，也應有一個時間間隔。實際上，他也確實觀察到一個小間隔，但是，當伽利略讓助手站到遠一倍的地方再做這個實驗時，間隔卻沒有增大。顯然，光線走得太快了，走幾路簡直用不了多少時間。至于觀察到的那個間隔，事實上是由于伽利略的助手不能在見到光線時立即打開遮光板造成的－－這在今天被稱為反應遲誤。
      　　盡管伽利略的這項實驗沒有導致任何有意義的成果，但他的另一發(fā)現(xiàn)，即木星有衛(wèi)星，卻為后來首次真正測定光速的實驗提供了基礎。1675年，丹麥天文學家雷默（Olaus Roemer）在觀察木星衛(wèi)星的蝕時，注意到木星衛(wèi)星消失在木星陰影里的時間間隔逐次有所不同，它隨木星和地球之間的距離在各次衛(wèi)星蝕時的不同而變長或變短。雷默當即意識到（你在研究圖31B后也會看出），這種效應不是由于木星運動得不規(guī)則，而是由于當木星和地球距離不同時，所看到的衛(wèi)星蝕在路上傳播所需要的時間不同。從他的觀測得出，光速大約為每秒鐘十八萬五千英里。難怪當初伽利略用他那套設備測不出來了，因為光線從他的燈傳到助手那里再傳回來，只需要十萬分之幾秒的時間??！
      　　不過，用伽利略這套粗糙的遮光燈所做不到的，后來用更精密的物理儀器做到了。在圖31C上，我們看到的是法國物理學家斐索（Fizeau）首先彩的短距離測定光速的設備。它的主要部件是安在同一根軸兩端上的兩個齒輪，兩個齒輪的安裝正好使我們在沿軸的方向從一頭看去時，第一個齒輪的齒對著第二個齒輪的齒縫。這樣，一束很細的光沿平行于軸的方向射出時，無論這套齒輪處在哪個位置上，都不能穿過這套齒輪。現(xiàn)在讓這套齒輪系統(tǒng)以高速轉動。從第一個齒輪的齒縫射入的光線，總是需要一些時間才能達到第二個齒輪的。如果在這段時間內(nèi)，這套系統(tǒng)恰好轉過半個齒，那么，這束光線就能通過第二個齒輪了。這種情況與汽車以適當速度沿裝有定時紅綠燈的街道行駛的情況很類似。如果這套齒輪的轉速提高一倍，那么，光線在到達第二個齒輪時，正好射到轉來的齒上，光線就又被遮住了。但轉速再提高時，這個齒又將在光束到達之前轉過去。因此，注意光線出現(xiàn)和消失（或從消失到出現(xiàn)）所相應的轉速，就能算出光線在兩齒間傳播的速度。為減低所需的轉速，可讓光在兩齒輪間多走些路程，這可以借助圖31c所示的幾面鏡子來實現(xiàn)。在這個實驗中，當齒輪的轉速達到每秒一千轉時，斐索從靠近自己的那個齒輪的齒縫間看到了光線。這說明在這種轉速下，光線從這個齒輪的齒縫到達另一個齒輪時，齒輪的每個齒剛好轉過了半個齒距。因為每個齒輪上有五十個完全一樣的齒。所以齒距的一半正好是圓周的百分之一，這樣，光線走過這段距離的時間也就是齒輪轉一圈所用時間的百分之一。再把光線在兩齒間走的路程也考慮進來進行計算，斐索得到了光速為每秒300,000公里或186,000英里。這個結果與雷默考查木星的衛(wèi)星所得到的結果差不多。
      　　接著，人們又用了各種天文學方法和物理學方法，繼兩位先驅之后做了一系列獨立的測量。目前，光在真空中的速度（常用字母c來表示)的最令人滿意的數(shù)值是
      　　c=299,776km/s
      　　或
      　　c=186,300英里/秒
      　　在量度天文學上的距離時，數(shù)字一般都是非常大的，如果用英里或公里來表示，可能要寫滿一頁紙，這時，用速度極高的光速作為標準就很便當了。因此，天文學家說某顆星離我們５“光年”遠，就象我們說某地乘火車需要５小時一樣。由于一年合31558000（錄入者：應為31556926）秒，一光年就等于31558000X299776=9,460,000,000,000公里或5,879,000,000,000英里。采用“光年”這個詞表示距離，實際上已把時間看作一種尺度，并用時間單位來量度空間了。同樣，我們也可以把這種表示法反過來，得到“光英里”這個名稱，意思是指光線走過１英里路所需要的時間。把上述數(shù)值代入，得出1光英里等于0.0000054秒。同理，１光英尺等于0.0000000011秒。這就回答了我們在上一節(jié)提出的那個四維正方體的問題。如果這個正方體的三個空間尺度都是１英尺，那么時間間隔就應該是0.0000000011秒。如果這個正方體存在了一個月的時間，那就應把它看作一根在時間方向上比其它方向長得非常多的四維棒了。
      3、四維空間的距離
      　　　　在解決了空間軸和時間軸上的單位如何進行比較的問題之后，我們現(xiàn)在可以問 : 在四維時空世界中兩點間的距離應該如何理解?要記住，現(xiàn)在每一個點都是空間和時間的結合，它對應于通常所說的“一個事件”。為了弄清這一點，讓我們看看下面的兩個事件。
      　　　　事件I:1945年7月28日上午9點21分，紐約市五馬路和第五十街交叉處一層樓的一家銀行被劫。
      　　　　事件II: 同一天上午9點36分，一架軍用飛機在霧中撞在紐約第三十四街和五、六馬路之間的帝國大廈第七十九層樓的墻上。
      　　　　這兩個事件，在空間上南北相隔十六條街，東西相隔半條街，上下相隔七十八層樓 ; 在時間上相隔十五分鐘。很明顯，表達這兩個事件的空間間隔不一定要注意街道的號數(shù)和樓的層數(shù)，因為我們可用大家熟知的畢達哥拉斯定理，把兩個空間點的坐標距離的平方和開方，變成一個直接的距離。為此，必須先把各個數(shù)據(jù)化成相同的單位，比如說用英尺表達出來。如果相鄰兩街南北相距200 英尺，東西相距800英尺，每層樓平均高12英尺，這樣，三個坐標距離是南北3200英尺，東西400英尺，上下936英尺，用畢達哥拉斯定理可得出兩個出事地點之間的直接距離為
      　　　　　　sqrt(3200^2+400^2+936^2)=3360英尺
      　　　　如果把時間自作第四個坐標的概念確實有實際意義，我們就能把空間距離3360英尺和時間距離15分鐘結合起來，得出一個表示兩事件的四維距離的數(shù)來。
      　　　　按照愛因斯坦（Aibert Einstm）原來的想法，四維空間的距離，實際上只要把畢達哥拉斯定埋進行簡單推廣便可得到，這個距離在各個事件的物理關系中所起的作用 ， 比單獨空間距離和時間間隔所起的作用更為基本。
      　　　　要把空間和時間結合起來，當然要把各個數(shù)據(jù)用同一種單位表達出來，正如街道間隔和樓房高度都用英尺表示一樣，前面我們已經(jīng)看到，只要用光速作為變換因子 ，這一點就很容易辦到了。這樣，5分鐘的時間間隔就變成800，000，000，OO－－“ 光英尺 “ 。如果對畢達哥拉斯定理作簡單的推廣， 即定義四維距離是四個坐標距離（三個空間的和一個時間的）的平方和的平方根，我們實際上就取消了空間和時間的一切區(qū)別，承認了空間和時間可以互相轉換。
      　　　　然而，任何人－－包括了不起的愛因斯坦在內(nèi)－－也不能把一根尺子用布遮上，揮動一下魔棒，再念念“時間來，空間去，變”的咒語，就變出一只亮閃閃的新牌子鬧鐘來!
      　　　　因此，我們在使用畢達哥拉斯公式將時空結合成一體時，應該采用某種不尋常的辦法，以便保留它們的某些本質區(qū)別。
      　　按照愛因斯坦的看法，在推廣的畢達哥拉斯定理的數(shù)字表式中，空間距離與時間間隔的物理區(qū)別可以用時間坐標的平方項前的負號來加以強調。這樣，兩個事件的四維距離可以表示為三個空間坐標的平方和減去時間坐標的平方，然后開平方。當然 ，首先得將時間坐標化成空間單位。
      　　　　因此，銀行搶劫案和飛機失事案之間的四維距離應該這樣計算:
      　　　　　　sqrt(3200^2+400^2+936^2-800000000000000^2) 。
      　　　　第四項與前三項相比是非常大的，這是因為這個例子取自“日常生活”， 而用日常生活的標準來衡量時，時間的合理單位真是太小了。如果我們所考慮的不是紐約市內(nèi)發(fā)生的兩個事件，而用一個發(fā)生在宇宙中的事件作為例子，就能得到大小相當?shù)臄?shù)字了 ， 例如，第一個事件是1946年7月1日上午9分整在比基尼島（太平洋西部的一個珊瑚島）上有一顆原子彈爆炸，第三個事件是在同一天上午9點10 分有一塊隕石落到火星表面;這樣，時間間隔為540000000000光英尺，而空間距離為650，000000000英尺，兩者大小相當。
      　　　　在這個例子中，兩個事件的四維距離是:
      　　　　　　sqrt((65×1O^10)^2-(54×10^10)^2)英尺=36×10^10英尺，在數(shù)上與純空間距離和純時間間隔都很不相同了。
      　　　　當然，大概有人會反對這種似乎不太合理的幾何學。為什么對其中的一個坐標不象對其他三個那樣一視同仁呢?千萬不要忘記，任何人為的描繪物理世界的數(shù)學系統(tǒng)都必須符合實際情況；如果空間和時間在它們的四維結合里的表現(xiàn)確實有所不同 ，那么，四維幾何學的定律當然也要按它們的本來面目去塑造。而且，還有一個簡單的辦法，可以使愛因斯坦時空幾何公式看來跟學校里所教的古老的歐幾里得幾何一樣美好。這個方子是德國數(shù)學家閔科夫斯基(Hermann Minkovskij)提出的，做法是將第四個坐標看作純虛數(shù)。你大概還記得在本書第二章講述，一個普通的數(shù)字乘以sqrt(-1)就成一個虛數(shù);我們還講過，應用虛數(shù)來解幾何問題是很方便的。
      　　　　根據(jù)閔科夫斯基的提法，時間這第四個坐標不但要用空間單位表示，并且還要乘以sqrt(-1)。這樣，原來那個例子中的四坐標就成了:
      　　　　第一坐標:3200 英尺，　　　　　　　第二坐標:400 英尺，
      　　　　第三坐標:936 英尺 ，　　　　　　　第四坐標:8×10＾11光英尺。
      　　　　現(xiàn)在，我們可以定義四維距離是所有四個坐標距離的平方和的平方根了，因為虛數(shù)的平方總是負數(shù)，所以采用閔科夫斯基坐標的普通畢達哥拉斯表式在數(shù)學上是和采用愛因斯坦坐標時似乎不太合理的表達式等價的。
      　　　　有一個故事，說的是一個患關節(jié)炎的老人，他問自己的朋友是怎樣避免這種病的。
      　　　　回答是：“我這一輩子每天早上都來個冷水浴。”
      　　　　“噢，前者喊道，“那你是改患了冷水浴病嘍!”
      　　　　如果你不喜歡前面那個似乎患了關節(jié)炎的畢達哥拉斯定理，那么，你不妨把它改成虛時間坐標這種冷水浴病。
      　　　　由于在時空世界里第四個坐標是虛數(shù)，就必然會出現(xiàn)兩種在物理上有所不同的四維距離。
      　　　　在上面那個紐約事件的例子中，兩個事件之間的空間距離比時間間隔小 （用同樣的單位），畢達哥拉斯定理中根號內(nèi)數(shù)是負的，因此，我們所得到的是虛的四維距離；在后一個例子中，時間間隔比空間距離小，這樣，根號內(nèi)得到的是正數(shù)，自然意味著兩個事件之間存在著實的四維距離。
      　　　　如上所述，既然空間距離被看作實數(shù)，而時間間隔被看作虛數(shù)，我們就可以說：實四維距離同普通空間距離的關系比較密切;而虛四維距離則比較接近于時間間隔。在采用閔科夫斯基的術語時，前一種四維距離稱為空距，后一種稱為時距。
      　　　　在下一章里，我們將看到空距可以轉變?yōu)檎?guī)的空間距離，時距也可以轉變?yōu)檎?guī)的時間間隔。然而，這兩者一個是實數(shù)，一個是虛數(shù)，這個事實就給時空互變造成了不可逾越的障礙，因此，一根尺子不能變成一座時鐘，一座時鐘也不能變一根尺子。
      1. 時空的相互轉變
      　　盡管數(shù)學在把時間和空間在四維世界中結合起來的時候，并沒有完全消除這兩者的差別，但可以看出，這兩個概念確實極其相似。對于這一點，愛因斯坦以前的物理學是不甚了解的。事實上，各個事件之間的空間距離和時間間隔，應該認為僅僅是這些事件之間的基本四維距離在空間軸和時間軸上的投影（大家注意這句話，我覺得這話包含的意義非常深――笨豬），因此，旋轉四維坐標系，便可以使距離部分地轉變?yōu)闀r間，或使時間轉變?yōu)榫嚯x。不過，四維時空坐標系的旋轉又是什么意思呢 ？
      　　我們先來看看圖34a中由兩個空間坐標所組成的坐標系。假設有兩個相距為L的固定點。把這段距離投影在坐軸上，這兩個點沿第一根軸的方向相距a英尺，沿第二根軸的方向相距b英尺。如果把坐標系旋轉一個角度(圖34)時，同一個距離在兩根新坐標軸上的投影就與剛才不同，成為a’和b’了。不過，根據(jù)畢達哥拉斯定理，兩個投影的平方和的平方根在這種情況下的值是一樣的，因為這個數(shù)所表示的是那兩個點間的真實距離，當然不會因坐標系的旋轉而改變，也就是說
      　　sqrt(a^2+b^2)=sqrt(a’^2+b’^2)
      　　所以我們說，盡管坐標的數(shù)值是不定的，它們?nèi)Q于所選擇的坐標系，然而它們的平方和的平方根則與坐標系的選擇無關。
      　　現(xiàn)在再來考慮有一根距離軸和一根時間軸的坐標系。這時，兩個固定點變成了兩個事件，而兩根軸上的投影則分別表示空間距離和時間間隔。如果這兩個事件就是上一節(jié)所講到銀行搶劫案和飛機失事案，我們可以把這個例子畫成一張圖(圖35a)，它很類似于圖34a，不過圖34a上是兩根空間距離軸 。那么，怎樣才能旋轉坐標軸呢？答案是頗出乎意料、甚至令人愕然的：你要想旋轉時空坐標系，那就請上汽車吧。
      　　好，假定我們真的在9月28日的那個多事之晨坐上了一輛沿五馬路行駛的汽車。如果我們能否看到這些事件僅取決于距離，那么，從功利主義的觀點出發(fā)，我們最關心的就是被劫的銀行和飛機失事的地點離汽車有多遠。
      　　現(xiàn)在看看圖35a，汽車的時空線和兩個事件都畫在在上面，你立刻會注意到，從汽車上觀裝到的距離，與從其他地方（比如站在街口的警察）所觀察到的不相同。因為汽車是沿著馬路行駛的，速度比方說為每三分鐘過一個路口（這在繁忙的紐約交通中是司空見慣的），所以從汽車上看，兩個事件的空間距離就變短了。事實上，由于在上午9點21分汽車正穿過第五十二街，這時離發(fā)生搶劫案的地點有兩個路口之遠；在飛機失事時（上午9點36分），汽車在第四十七街口，距出事地點有十四個路口之遠。因此，在測量對汽車而言的距離時，我們就會斷言說，搶劫案和失事案兩地相距14－2=12個路口 而不是對城市建筑而言的 50－34＝16個路口。再看一下圖35a，我們就會看出，從汽車上記錄到的距離不能象過去一樣從縱軸（警察的時空線）來計量，而應當從那根表示汽車時空線的斜線上來計量。因此，這后一根線就起到了新時間軸的作用。
      　　把剛才說過的這些 “零七八碎 ”歸納一下，就是：從運動著的物體上觀看發(fā)生的事件時，時空圖上的時間軸應該旋轉一個角度（角度的大小取決于運動物體的速度），而空間軸保持不動。
      　　這種說法，從古典物理學和所謂“常識”的觀點來看，盡可奉為不渝的真理，然而卻和四維時空世界的新觀念直接沖突，因為既然認為時間是第四個獨立的坐標，時間軸就應該和與三個空間軸垂直，不管你是坐在汽車上，電車上，還是坐在人行道上!
      　　在這個緊要關頭，對這兩種思想方法，我們只能遵循某一?；蛘弑Ａ裟莻€舊有的時間與空間的概念，不再對統(tǒng)一的時空幾何學作任何考慮；或者打破“常識”的老框也認定時間軸和空間軸一起旋轉，從而使二者永遠保持垂直（圖35b）。
      　　但是，旋轉空間軸就意味著，從運動物體上觀察到的兩個事件的時間間隔 ，不同于從地面站上觀察到的時間間隔，這就如同旋轉時間軸在物理上意味著，兩個事件的空間距離當從運動物體上觀察時會具有不同的值（在上面例子中為12個路口和16 個路口）一樣。因此，如果按照市政大樓的鐘，銀行搶劫案與飛機失事案相隔15分鐘，那么，汽車上的乘客在他的手表上看到的就不是這樣一個數(shù)字一一這可不是由于手表的機械裝置不完善造成了手表走時不準，而是由于在以不同速度運動的物體上，時間本身流逝的快慢就是不同的，因此，記錄時間的機械系統(tǒng)也相應地變慢了。不過在象汽車這樣一低的速度下，時間變慢是微乎其微，簡直是覺察不出來的。（這個現(xiàn)象在本章后面還要詳細討論。）
      　　再舉一個例子。設想一個人在一列行進的火車餐車上用飯，餐車上的侍者認為他是在同一個地方（第三張 桌子靠窗的位置）喝開胃酒和吃甜食的。但對于兩個站在地面上從外向內(nèi)張望的道岔工來說，一個正看到他喝開胃酒 ，另一個正看到他在吃甜食（西方人在就餐時往往先喝一點剌激食欲的開胃酒，最后一道食品是甜食，所以，這里的意思是說，整餐飯從頭到尾都是在同一個地方吃的――譯者）
      　?。┮灰粊碚f，這兩個事件的發(fā)生地點則相距好幾英里遠。因此，我們可以說，一個觀察者認為在同一地點和不同時間發(fā)生的兩個事件，在處于不同運動狀態(tài)的另一個觀察者看來，卻可以認為是在不同地點發(fā)生的。
      　　從時空等效的觀點出發(fā)，把上面話中的“地點”和“時間 ”兩個詞互換，就變成了：一個觀察者認為在同一時間和不同地點發(fā)生的兩個事件正在處于不同運動狀態(tài)的另一個觀察者看來，卻可以認為是在不同時間發(fā)生的。把這些話用到餐車的例子時，那位侍者可以發(fā)誓說，餐車兩頭的兩位乘客正好同時點燃了“飯后一枝煙”，而在地面上從車外向里看的道岔工卻會堅持說，兩人點煙的時間一先一后。
      　　因此，一種觀察認為同時發(fā)生的兩個事件，在另一個觀察者看來，則可認為它們相隔一段時間。
      　　這就是把時間和空間看作僅僅是恒定不變的四維距離在相應軸上的投影的四維幾何學，所必然要得出的結論。
      2、以太風和天狼星之行
      　　現(xiàn)在 , 我們自己來問問自己:我們使用這種四維幾何學的語言,是否僅僅為了證明在我們的舊的、相當不錯的時空觀念中引入革命性變化的正確性 ?
      　　如果回答是肯定的,那我們就向整個古典物理學體系提出了挑戰(zhàn),因為古典物理學的基礎,是牛頓在兩個半世紀以前對空間和時間所下的定義，即“絕對的空間,就其本質而言或與任何外界事物無關的,它從不運動, 并且永遠不變”；“絕對的、真實的數(shù)學時間，就其本質而論,是自行均勻地流逝的,與任何外界的事物無關?！辈挥谜f,牛頓在寫這幾句話的時候，自己并不認為他是在敘述什么新的東西, 更沒想到它會引起爭論；他只不過把正常人的頭腦認為顯然如此的時空概念用準確的語言表達出來罷了。事實上,人們對古典的時空概念的正確性是如此深信無疑,因此,這種概念經(jīng)常被哲學家們當作是先驗的東西；沒有一個科學家 ( 更不用說門外漢了)曾認為過它們可能是錯誤的,需要重新審查,重新說明。既然如此,為什么現(xiàn)在又提出了這個問題呢 ?
      　　答案是 : 人們之所以放棄古典的時空概念,并把時間和空間結合成單一的四維體系,這并不是出自審美觀的要求 ,也不是某位數(shù)學大師堅持的結果，而是因為在科學實驗中不斷發(fā)現(xiàn)了許多不能用獨立的時間和空間這種古典概念來解釋的事實。
      　　古典物理學這座漂亮的似乎是永久性的城堡所受到的第一次震撼基礎的沖擊——一次松動了這精巧建筑物的每一塊磚石 , 撼倒了每一堵墻的沖擊一一是美國物理學家邁克耳遜 (Albut Abratum Michdon ) 1887 年所做的一個實驗引起的。這個實驗看起來并不起眼,但所起的作用不啻約書亞的號角對于耶利哥的城墻的作用。邁克耳遜實驗的設想很簡單 : 光在通過所謂 “ 光媒質以太——一種假設的、充滿宇宙空間和一切物質的原子之間的均勻物質——時 , 會表現(xiàn)出一定的波動性來。
      　　向池塘里丟進一塊石子,水波就向各個方向傳播；振動的音叉所發(fā)出的聲音也以波的方式向四方傳送 , 任何發(fā)亮的物體所發(fā)射出的光也是這樣。水面上的波紋清楚地表明水的微粒在運動。聲波則是空氣或其他被聲音穿過的物質在振動。但我們卻找不出什么負責傳遞光波的物質媒介來。事實上,光的在空間中的傳播顯得如此輕易（與聲音相比）, 以致使人覺得空間真是完全空虛的
      　　不過，如果空間真是一無所有的話，硬說在本來無物可振之處有什么東西在振動 , 豈不是太不合乎邏輯了嗎 ? 因此 , 物理學家只好引用一個新概念“光媒質以太” , 以便在解釋光的傳播時 , 在“振動”這個動詞前面有一個實體作主語。從純語法角度來說 , 任何動詞都需要有一個主語 , 但是——這個 “也是”可要使勁說出來——語法規(guī)則沒有也不能告訴我們 , 這個為了正確造句而引進的主語具有計么樣的物理性質 !
      　　如果我們把“光以太”定義為傳播光波的東西,那么, 我們說光波是在光以太中傳播的,這倒是一句無懈可擊的話,不過,這只是無謂的重復而已。光以太究竟是什么東西和光以太具有什么物理性質,這才是實質的問題。在這方面,任何語法也幫不了我們的忙。答案只能從物理學中去找。
      　　在后面的討論中,我們會看到,十九世紀的物理學所犯的最大錯誤,就在于人們假設這種光以太具有類似我們所熟知的一般物體的性質。人們總是提到光以太的流動性、剛度和各種彈性性質,甚至還提到內(nèi)摩擦。這一來,光以太就有了這樣的性質:一方面,它在傳遞光波時,是一個振動的固體；另一方面,它對天體的運動卻沒有絲毫阻力,顯示出極完美的流動性。于是,光以太就被比作類似于火漆的物質?；鹌崾怯驳? 在機械力的迅速沖擊下易碎；但如果靜置足夠長的時間,它又會因自己的重量而象蜂蜜那樣流動。過去的物理學設想光以太與火漆相似,并充滿整個星際空間。它對于光的傳播這樣的高速擾動,表現(xiàn)得象堅硬的固體；而對于速度只有光速的幾千分之一的恒星和行星來說,它又象液體一樣被它們從前進的路上推開。
      　　這種我們可稱之為模擬的觀點,當用于一種除名稱以外一無所知的物質上,以試圖判斷它具有那些我們所熟悉的普通物質的性質時,從一開始就遭到巨大的失敗。盡管人們作了種種努力,仍找不出對這種神秘的光波傳播媒介的合理力學解釋?，F(xiàn)在,以我們所具有的知識,是容易看出所有這一類嘗試錯在何處的。事實上,我們知道,一般物質的所有機械性質都可追溯到構成物質的微粒之間的作用力。例如,水的良好流動性,是由于水分子間可作幾乎沒有摩擦的滑動；橡膠的彈性是由于它的分子很容易變形；金剛石的堅硬是由于構成金剛石晶體的碳原子被緊緊地束縛在剛性結構上。因此,各種物質所共有的一切機械性質都是出自它們的原子結構,但這一條結論在用于光以太這樣絕對連續(xù)的物質上時,就沒有任何 意義了。
      　　光以太是一種特殊的物質,它的組成和我們一般稱為實物的各種較為熟悉的原子嵌鑲結構毫無共同之處。我們可以把光以太稱為“物質”(這僅僅因為它是動詞“振動”的語法主語) , 但也可以把它叫做“空間”。不過我們要記住，我們前面已經(jīng)看到,以后還會看到, 空間具有某種形態(tài)上或者說結構上的內(nèi)容,因而它比歐幾里得幾何學上的空間概念復雜得多。實際上,在現(xiàn)代物理學中,“以太”這個名稱（撇開它那些所謂的力學性質不談的話）和“物理空間”是同義語。
      　　但是,我們扯得太遠了,竟談起對“以太”這個詞的哲學分析來了,現(xiàn)在還是回到邁克耳遜的實驗上來吧。我們在前面說過,這個實驗的原理是很簡單的:如果光是通過以太的波,那么,安在地面上的儀器所記錄到的光速將受到地球在星際空間中運動的影響。站在地球上正好與地球繞日的軌道方向一致之處,就會置身于“以太風”之中,如同站在高速行駛的航船甲板上,可感覺有股風撲面而來一樣, 盡管此時空氣是完全寧靜的。當然,你是感覺不出“以太風”的,因為我們已經(jīng)假設它能毫不費力地穿入我們身體的各個原子之間。不過,如果測量與地球行進方向成不同角度的光的速度,我們就可以察知它的存在。誰都知道，順風前進的聲音速度比逆風時大,因 此,光順以太風和逆以太風傳播的速度看來自然也會不同。
      　　邁克耳遜想到了這一點,于是便著手設計出一套儀器,它能夠記錄下各個不同方向的光速的差別。當然, 最簡單的方法是采用以前提過的斐索實驗的儀器（圖 31c）,把它轉向各個不同的方向,以進行一系列測量。但這種做法的實際效果并不理想,因為這要求每次測量都有很高的精確度。事實上,由于我們所預期的速度差( 等于地球的運動速度)只有光速的萬分之一左右,所以,每次測量都必須有極高的準確度才行。
      　　如果你有兩根長度相差不多的棒,并且想準確地知道它們相差多少的話,那么,你只要把兩根棒的一頭對齊,量出另一頭的長度差就行了。這就是所謂“零點法”。
      　　邁克耳遜實驗的原理圖如圖 36 所示,它就是應用零點法來比較光在相互垂直的兩個方向上的速度差的。
      　　這套儀器的中心部件是一塊玻璃片B,上面鑲著薄薄的一層銀,成半透明狀,可以讓入射光線通過一半, 而反射回其余的一半。因此,從光源A射來的光束在B處分成相互垂直的兩部分,它們分別被與中心部件等距離的平面鏡C和D所反射。從D折回的光線有一部分穿過銀膜,從C折回的光線有一部分被銀膜反射；這兩束光線在進入觀察者的眼睛時又結合起來。根據(jù)大家所知道的光學原理,這兩束光會互相干涉,形成肉眼可見的明暗條紋。如果BC與BD相等,兩束光會同時返回中心部件,明亮部分就會位于正當中；如果距離稍有不同 , 就會有一束光晚到達,于是,明亮部分就會向左或向右偏移。
      　　儀器是安裝在地球表面的，而地球則在空間中迅速移動,因此,我們必然要預料到
       作者：wyhsillypig  回復日期：2005-1-16 13:02:00  
      　　用同樣的方法 , 我們也能算出來回橫渡所耽擱的時間。這個耽擱是由于從壹號碼頭駛到貳號碼頭時，船一定得稍稍斜駛,以補償水流所造成的漂移。這一回耽擱的時間少一些,減少的倍數(shù)是
      　　Sqrt(1/(1-(v/V)^2))
      　　對于上面那個例子，時間只增長了千分之五。要證明這個公式是很簡單的,用功的讀者不妨自己試一試?，F(xiàn)在,把河流換成流動的以太,把船改成行進的光波, 那就是邁克耳遜的實驗了。光束從B 到C再折回B,時間延長了
      　　1/(1-(V/c)^2)
      　　倍,c是光在以太中傳播的速度。光束從B到D再折回來,時間增加了
      　　Sqrt(1/(1-(V/c)^2))
      　　倍。以太風的速度（等于地球運動的速度）為每秒30公里，光的速度為每秒30萬公里,因此,兩束光延長的時間各為萬分之一和十萬分之五。對于這樣的差異，使用邁克耳遜的裝置,是很容易觀察到的。
      　　可是,在進行這項實驗時,邁克耳遜竟未觀察到干涉條紋有絲毫移動,可以想象,他當時是何等驚異??！
      　　顯然，無論光在以太風中怎樣傳播，以太風對光速都沒有影響。
      　　這個事實太令人驚訝了,因此,邁克耳遜在開始時簡直不相信自己所得到的結果。但是,一次又一次精心的實驗不容置辯地說明,這個結論雖然令人驚訝,卻是正確的。
      　　對這個出乎意料的結果,看來唯一合適的解釋是大膽假設,邁克耳遜那張架設鏡子的石制臺面沿地球在空間運動的方向上有微小的收縮（即所謂斐茲杰惹收縮）。事實上,如果BC收縮了一個因子
      　　Sqrt(1-(V/c)^2)
      　　而 BD不變,那么,這兩束光耽擱的時間便相同,因而就不會產(chǎn)生干涉條紋移動的現(xiàn)象了。
      　　不過,邁克耳遜那張臺子會收縮這句話說起來容易、懂起來難。物體在有阻力的介質中運動時會收縮, 這種實例我們確實遇到過,例如汽船在湖水中行駛時, 由于尾部推進器的驅動力和船頭水的阻力兩者的作用, 船體會被壓縮一點點。這種機械力所造成的壓縮與船殼材料有關,鋼制的船體就會比木制的少壓縮一些。但在邁克耳遜實驗中,這種導致意外結果的收縮,其大小只與運動速度有關，而與材料本身的強度根本無關。如果安裝鏡子的那張臺子不是用大理石材料制成,而是用鑄鐵、木頭或其他任何物質制的,收縮程度還是一樣。因此,很清楚,我們遇到的是一種普適效應,它使一切物體都以完全相同的程度收縮。按照愛因斯坦1904 年在描述這種現(xiàn)象時所提出的看法,我們這里所碰到的是空間本身的收縮。一切物體在以相同速度運動時都收縮同樣的程度,其原因完全在于它們都被限制在同一個收縮的空間內(nèi)。
      　　關于空間的性質,我們在前面第三、四兩章已經(jīng)談了不少,所以,現(xiàn)在提出上述說法就顯得很合理了。為了把情況說得更清楚些,可以想象空間有某些類似于彈性膠凍(其中留有各種物體的邊界的痕跡)的性質；在空間受擠壓、拉伸、扭轉而變形時,所有包容在其中的物體的形狀就自動地以同樣的方式改變了。這種變形是由于空間變形造成的,它和物體受到外力時在內(nèi)部產(chǎn)生應力并發(fā)生變形的情況要加以區(qū)別。圖 37中所示二維空間的情況,對于區(qū)別這兩種不同的變形可能有所幫助。
      　　盡管空間收縮效應對于理解物理學的各種基本原理是很重要的，但在日常生活中卻沒有人注意到它。這是因為,我們平素所能碰到的最高速度。比起光速來是微不足道的。例如,每小時行駛50英里的汽車 ,它的長度只變?yōu)樵瓉淼?/p>
      　　Sqrt(1-(10^-7)^2)=0.99999999999999
      　　倍,這相當于汽車全長只減少了一個原子核的主徑那么長!時速超過600 英里的噴氣式飛機,長度只不過減小一個原子的直徑那么大；就是每小時飛行259000 英里的100 米長的星際火箭,長度也只不過縮短了百分之一毫米。
      　　不過,如果物體以光速的50%,90%和99%運動,它們的長度就會分別縮短為靜止長度的86%,45%和14%了。
      　　有一首無名作家寫的打油詩 , 描寫了這種高速運動物體的相對論性收縮效應 :
      　　斐克小伙劍術精,
      　　出剌迅捷如流星,
      　　由于空間收縮性,
      　　長劍變成小鐵釘。
       作者：wyhsillypig  回復日期：2005-1-16 13:03:00  
      　　當然,這位斐克先生的出劍一定得有閃電的速度才能行!
      　　從四維幾何學的觀點出發(fā),一切運動物體的這樣普遍收縮是很容易解釋的:這是由于時空坐標系的旋轉使物體的四維長度在空間坐標上的投影發(fā)生了改變。你一定還記得上一節(jié)所討論過的內(nèi)容吧,從運動著的系統(tǒng)上觀察事件時,一定要用空間和時間軸部旋轉一定角度的坐標系來描述；角度的大小取決于運動速度。因此,如果說在靜止系統(tǒng)中，四維距離是百分之百地投影在空間軸上的( 圖38A), 那么,在新的坐標軸上, 空間投影就總是要變短一些(圖38B)。
      　　需要記住的一個要點是:長度的縮短僅僅和兩個系統(tǒng)的相對運動有關。如果有一個物體相對于第二個系統(tǒng)是靜止的,那么，它在這個新空間軸上的投影是用長度不變的平行線表示的,而它在原空間軸上的投影則縮短同樣的倍數(shù)。
      　　因此,判定兩個坐標系中哪一個是“真正”在運動的想法,非但是不必要的，也是沒有物理意義的。起作用的僅僅是它們在相對運動這一點。所以，如果有兩艘屬于某“星際交通公司”的載人飛船,以高速在地球和木星間的往返途中相遇,每一艘船上的乘客透過舷窗都會看到另一條飛船的長度顯著變短了；而對他們自己乘坐的這一艘,卻發(fā)覺不出有什么變化。因此,爭論哪一艘船“真正”縮短是沒有用的,事實上，無論哪一艘，在另一般飛船上的乘客們看來都是縮短了的,而從它自己的角度看來卻是不變的。（這只是從理論上描繪的情景。如果真有這樣兩艘飛船以高速相遇,無論哪一艘船上的乘客都根本看不見另一艘，你能看到從槍膛里射出的子彈嗎?它的速度只有飛船的若干分之一呢 ！）
      　　四維時空的理論還能使我們明白,為什么運動物體的長度在速度接近光速時才有顯著改變。這是因為: 時空坐標旋轉角度的大小是由運動系統(tǒng)所通過的距離與相應的時間的比值決定的。如果距離用米表示,時間用秒表示，這個比值恰恰就是常用的速度,單位為米/秒。在四維系統(tǒng)中,時間間隔是用常見的時間單位乘以光速,而決定旋轉角度大小的比值又是運動速度(米/秒)除以光速( 同樣的單位)，因此，只有當兩個系統(tǒng)相對運動的速度接近光速時,旋轉角度的變化以及這種變化對距離測量結果的影響才會變得顯著。
      　　時空坐標系的旋轉,不僅影響了長度,也改變了時間間隔。可以證明:由于第四個坐標具有特殊的虛數(shù)本質，當空間距離變短的時候,時間間隔會增大。如果在一輛高速行駛的汽車里安放一只鐘,它會比安放在地面上的同樣一只鐘走得慢些，嘀嗒聲的間隔會加長。時鐘的走慢如向長度的縮短一樣,也是一個普遍的效應,只與運動速度有關。因此,最新式的手表也好,你祖父的老式大座鐘也好,砂漏也好,只要運動速度相同，它們走慢的程度就會一樣。這種效應當然并不只限于我們稱之為 “鐘”和“表”的專門機械,實際上, 一切物理的、化學的、生理的過程都以同樣的程度放慢下來。因此,如 果你在快速飛行的飛船上吃早飯,可用不著擔心因腕上戴的手表走得太慢而把雞蛋煮老了, 因為雞蛋內(nèi)部的變花也相應地變慢了。所以,如果平時你總是吃“五分鐘煮蛋”, 那么,現(xiàn)在你仍然可以看著表把它煮上五分鐘。這里我們有意用火箭、而不是用火車餐車作為例子,這是因為時間的伸長也如同空間的收縮一樣,只有當運動接近光速時才變得較為明顯。時間伸長的倍數(shù)也是
      　　Sqrt(1-(v/c)^2)
      　　即同空間收縮時的情況一樣。不過有一點不同,這個倍數(shù)在時間伸長時是乘數(shù),在空間收縮時是除數(shù)。如果一個物體運動得非常之快,其長度減小一半,那么,時間間隔卻會延長一倍。
      　　運動系統(tǒng)中時間變慢這個情況,為星際旅行提供了一個有趣的現(xiàn)象。假定你打算到天狠星一一距離我們九光年的行星上去,于是,你坐上了幾乎有光速那么快的飛船。你大概會認為，往返一趟至少要十八年, 因此打算攜帶大量食物。不過,如果你乘坐的飛船確實有近于光速的速度,那么,這種小心就是完全多余的了。事實上,如果飛船的速度達到光速的99.99999999%,你的手表、心臟、呼吸、消化和思維都將減慢七萬倍, 因此從地球到天狠星往返一趟所花費的十八年（從留在地球上的人看來）,在你看來只不過是幾小時而已。如果你吃過早飯便從地球出發(fā),那么,當降落在天狼星某一行星的表面上時,正好可以吃中飯。要是你的時間很緊，吃過午飯后馬上返航,就可以趕回地球上吃晚飯。不過，如果你忘了相對論原理，那你到家時準得大吃一驚：因為你的親友會認為你一定還在宇宙空間中的什么地方,因而已經(jīng)自顧自地吃過六千五百七十頓晚飯了!地球上的十八年,對你這個近于光速的旅客來說,只不過是一天而已。
      　　那么,如果運動得比光還快呢?這里又有一首有關相對論的打油詩:
      　　年輕女郎名伯蕾,
      　　神行有術光難追；
      　　愛因斯坦來指點,
      　　今日出游昨夜歸。
      　　說真的,如果速度接近光速可使時間變慢,超過光速可不就能把時間倒轉了嗎!還有,由于畢達哥拉斯根式中代數(shù)符號的改變,時間坐標會變?yōu)閷崝?shù),這就變成了空間距離；同時,在超光速的系統(tǒng)中,所有長度都通過零而變?yōu)樘摂?shù),這就變成 了時間間隔。
      　　如果這些是可能的,那么，圖 33 中所面的那個愛因斯坦變尺為鐘的戲法就變成可能發(fā)生的事情了,只要他能想法獲得超光速,就可以變這種戲法了。
      　　不過，我們的這個物理世界,雖然是夠顛三倒四的,卻還不是這種顛倒法。這種魔術式的變化是完全不可能實現(xiàn)的。這可以用一句話簡單地加以概括 ,這就是：沒有任何物體能以光速或超光速運動。
      　　這一條基本自然律的物理學基礎在于：有大量的直接實驗證明,運動物休反抗它本身進一步加速的慣性質量,在運動速度接近光速時會無限增加。因此,如果一顆左輪手槍子彈的速度達到光速的99.99999999 % , 它對于進一步加速的阻力( 即慣姓質量)相當于一枚十二英寸的炮彈；如果達到99.99999999999999%，這顆小子彈的慣性質量就等于一輛滿載的卡車。無論再給這顆子彈施加多大的力,也不能征服最后一位小數(shù), 使它的速度正好等于光速。光速是宇宙中一切運動速度的上限!
      3. 彎曲空間和重力之謎
      　　讀者們讀過剛才這幾十頁有關四維坐標系的討論,大概會有頭昏腦脹之感；對此,我不勝抱歉之至?，F(xiàn)在,我邀請諸位一起到彎曲空間去散散步。大家都知道曲線和曲面是怎么一回事,可是,“彎曲空間”又意味著什么呢?這種現(xiàn)象之所以難以想象,主要不在于這個概念的古怪,而在于我們不能象觀察曲線和曲面時那樣從外部來觀察空間。我們本身生活在三維空間之內(nèi),因此,對于三維空間的彎曲,只能從內(nèi)部來觀測。為了理解在三維空間里生活的人如何體會空間的曲率,我們先來考慮假想的二維扁片人在平面和曲面上生活的情況。在圖39A和 39b上,可以看到一些扁片科學家,他們在“平面世界”和“曲面世界”上研究自己的二維空間幾何學?？晒┭芯坑玫淖詈唵蔚膱D形,當然是連接三個點的三條直線所構成的三角形了。大家在中學里都學過,任何平面三角形的三個內(nèi)角之和都是 180° 。但是，如果三角形是在球面上，就很容易看出上述定理是不成立的。例如，由兩條經(jīng)線和一條緯線（這里借用了地理學上的概念）相交而成的三角形中，就有兩個直角（底角），同時還有一個數(shù)值可在從0°到 360°之間的頂角。拿圖 39b上那兩個扁片科學家所研究的三角形來說，三個角的總和就是210°。所以，我們可以看出，扁片科學家們通過測量他那個三維空間中的幾何圖形，就可以發(fā)現(xiàn)他自己那個世界的曲率，而無須從外面進行觀測。
      　　將上述觀察用到又多了一維的世界，自然能得出結論說，生活在三維空間的人類，只需要測量連接這個空間中三個點所成三條直線之間的夾角，就可以確定空間的曲率，而無須站在第四維上去。如果三個角的和為 180°就是平坦的，否則就是彎曲的。
      　　不過，在作進一步探討之前，我們先得把直線這個詞的意思弄明白。讀者們看過圖39a和圖39b上的兩個三角形，大概會認為平面三角形（圖39A）的各邊是真正的直線，而曲面上出現(xiàn)的線條（圖39B）只是球面上大圓的弧，所以是彎曲的。
      　　這種出自日常幾何概念的提法，會使二維空間的扁片科學家們根本無法發(fā)展他們自己的幾何學。對直線的概念需要一個更普遍的數(shù)學定義，使它不僅能在歐幾里得幾何中站穩(wěn)，還能在曲面和更復雜的空間中立足。這個定義可以這樣下 :“直線”就是在給定的曲面或空間內(nèi)兩點之間的最短距離。在平面幾何中，上述定義和我們印象中的直線概念當然是相符的；在曲面這種較為復雜的情況下，我們會得到一族符合定義的線，它們在曲面上所起的作用與歐幾里得幾何中普通“直線”所起的作用相同。為了避免產(chǎn)生誤解，我們常常把表示曲面上兩點之間最短距離的線叫做短程線或測地線，這是因為這兩個名詞是首先在測地學一一測量地球表面的學問——中使用的。實際上，當我們說到紐約和舊金山之間的直線距離時，我們的意思是指“ 一直走，不拐彎”，也就是順著球表面的曲率走，而不是用假想的巨大鉆機把地球筆直地鉆透。
      　　這種把“廣義直線”或“短程線”看作兩點間最短距離的定義，向我們展示了作這種線的物理方法：我們可以在兩點間拉緊一根繩。如果這是在平面上做的，那將得到一般的直線；如果在球面上做，你就會發(fā)現(xiàn)，這根繩沿著大圓的弧張緊，這就球面上的短程線。
      　　用同樣的方法，還可以搞清楚我們在其內(nèi)部生活的這個三維空間是平坦的還是彎曲的，我們所需要做的，只不過是在空間內(nèi)取三個點，然后扯緊繩子，看看三個夾角之和是否等于180°。不過在做這個實驗時，要注意兩點。一是實驗必須在大范圍內(nèi)進行，因為曲面或彎曲空間的一小部分可能顯得很平坦。顯然，我們不能靠在哪一家后院里測出的結果來確定地球表面的曲率！二是空間或曲面可能有某些部分是平坦，而在另一些地方是彎曲的，因此需要作普遍的測量。
      　　愛因斯坦在創(chuàng)立他的廣義彎曲空間理論時，他的想法包含了這樣一項假設：物理空間是在巨大質量的附近變彎曲的；質量越大，曲率也越大。為了從實驗上證明這個假設，我們不妨找座大山，環(huán)山釘上三個木樁，在木樁之間拉上繩子，然后測量三個木樁上繩子的夾角。盡管你挑選了最大的大山一一哪怕到喜馬拉雅山脈去找一一結論也只有一個:在測量誤差允許的范圍內(nèi)，三個角的和正好是180°。但是，這個結果并不一定意味著愛因斯坦是錯的，并不表明大質量存在不能使周圍的空間彎曲，因為即便是喜馬拉雅山，也可能不足以使周圍空間彎曲到能用最精密的儀器測量出來的程度呢!大家應該還記得伽利略想用遮光燈來測定光速的那次失敗吧!（圖31）
      　　因此，不要灰心，重新來一次好了。這次找個更大的質量，比如說太陽。
      　　如果你在地球上找一個點，拴上一根繩，扯到一顆恒星上去，再從這顆恒星拉到另外一顆恒星上，最后再盤回到地球上的那個點，并且要注意讓太陽正好位于繩子所圍成的三角形之內(nèi)。嘿!這下子可成功了。你會發(fā)現(xiàn)，這三個角度的和與180°之間有了可以察覺出來的差異。如果你沒有足夠長的繩子來進行這項實驗，把繩子換成一束光線也行，因為光學告訴我們，光線總是走最短的路線的。
      　　這一項測量光線夾角的實驗原理如圖40B所示。在進行觀測時，位于太陽兩側的恒星S1和S2射來的光線進入經(jīng)緯儀，從而測出了它們的夾角。然后，在太陽離開后再來測量。兩次測量的結果加以比較，如果有所不同，就證明太陽的質量改變了它周圍空間的曲率，從而使光線偏離原路。這個實驗是愛因斯坦為驗證他的理論而提出的。讀者們可參照圖41所繪的類似的二維圖景，獲得更好的理解。
      　　在正常情況下進行愛因斯坦的這項實驗，有一個明顯的障礙:由于太陽的強烈光芒，我們看不到它周圍的星辰。想在白天清楚地看見它們，只有在日全食的情況下才能實現(xiàn)。1919年，一支英國天文學遠征隊到達了正好發(fā)生日全食的普林西比群島(西非)，進行實際觀測,結果發(fā)現(xiàn), 兩顆恒星的角距離在有太陽和沒有太陽的情況下相差1.61“ ±0.30“,而根據(jù)愛因斯坦的理論計算值為 1.75“。此后又做了各種觀測,都得到了相近的結果。
      　　誠然,15角秒這個角度并不算大,但這已足以證明:太陽的質量確實迫使周圍的空間發(fā)生彎曲。
      　　如果我們能用其他質量更大的星體來代替太陽,歐幾可得的三角形內(nèi)角和定理就會出現(xiàn)若干分、甚至若干度的錯誤。
      　　對一個內(nèi)部觀察者來說,要想習慣于三維彎曲空間的概念,是需要一定時間和相當豐富的想象力的；不過一旦走對了路，它就會和任何一個古典幾何學概念一樣明確。
      　　為了完全理解愛因斯坦的彎曲空間理論及其與萬有引力這個根本問題之間的關系,還要向前再走一步才行。我們叫必須記得,剛才一直在討論的三維空間,只是四維時空世界這個一切物理現(xiàn)象發(fā)生場所的一部分，因此,三維空間的彎曲，只不過反映了更普遍的四維時空世界的彎曲,而表述光線和物體運動的四維時空線，應看作是超空間中的曲線。
      　　從這個觀點進行考慮,愛因斯坦得出了一個重要的結論:重力現(xiàn)象僅僅是四維時空世界的彎曲所產(chǎn)生的效應。因此,關于行星直接受太陽的作用力而圍繞它在圓形軌道上運動這個古老的觀點,現(xiàn)在可以視為不合時宜而加以摒棄,代之以更準確的說法,那就是:太陽的質量彎曲了周圍的時空世界,而圖30所示的行星的時空線正是通過彎曲空間的短程線。
      　　因此,重力作為獨立力的概念就從我們的頭腦中徹底消失了。代之而來的是這樣的新概念:在純粹的幾何空間中,所有的物體都在由其他巨大質量所造成的彎曲空間中沿“最直的路線”(即短程線)運動。
      　　4．閉空間和開空間
      　　在這一章結束之前,我們還得簡單講一下愛因斯坦時空幾何學中的另一個重要問
       作者：wyhsillypig  回復日期：2005-1-20 19:48:00  
      　　4．閉空間和開空間
      　　在這一章結束之前,我們還得簡單講一下愛因斯坦時空幾何學中的另一個重要問題,即宇宙是否有限的問題。
      　　到目前為止,我們一直在討論空間在大質量周圍的局部彎曲。這種情況好象是宇宙這張其大無比的臉上生著許多“空間粉刺”。那么,除了這些局部變化而外,整個宇宙是平坦的呢,還是彎曲的? 如果是彎曲的, 又是怎樣彎曲的呢?圖42給出了三個長“粉刺”的二維空間。第一個是平坦的；第二個是所謂“正曲率”, 即球面或其他封閉的幾何面，這種面不管朝哪個方向伸展,彎曲的“方式”都是一樣的；第三個與第二個相反,在一個方向上朝上彎,在另一個方向上朝下彎,象個馬鞍面,這叫做“負曲率”。這后兩種彎曲的區(qū)別是很容易弄清楚的。從足球上割下一塊皮子，再從馬鞍上割下一塊皮子,把它們放在桌面上，試試將它們展平。你會注意到,如果既不抻長又不起皺,那么無論哪一塊都展不成平面。足球皮需被抻長，馬鞍面將會出褶；足球皮在邊緣部分顯得皮子太少,不夠攤平之用，而馬鞍皮又顯得多了些，不管怎么弄總要疊出褶來。
      　　對這個問題還能換個說法。假如我們（沿著曲面）從某一點起, 數(shù)一數(shù)在周圍一寸、兩寸、三寸等范圍內(nèi) “粉刺”的個數(shù),我們會發(fā)現(xiàn):在平面上,“粉刺”個數(shù)是象距離的平方那樣增長的,即1，4，9，等等；在球面上,“粉刺”數(shù)目的增長要比平面上慢一些；而在鞍形面上則比平面上快一些。因此,生活在二維空間內(nèi)的扁片科學家,雖然根本不可能從外面看一看自己這個世界的情況,卻照樣能通過計算不同半徑的圓內(nèi)所包含 的粉刺數(shù),來了解它的彎曲狀況。在這里,我們還能看出,正負兩種曲面上三角形的內(nèi)角和是不同的。前一節(jié)我們學過,球面三角形的三內(nèi)角和總是大于 180°。如果你在馬鞍面上畫畫看,就會發(fā)現(xiàn)三個角的和總是小于180°。
      　　上述由考察曲面得來的結果可以推廣到三維空間的情況上去,并得到下表。
      　　空間類型 遠距離狀況 三角形內(nèi)角和 體積增長情況
      　　正曲率（類似球面） 自行封閉 ＞180° 慢于半徑立方
      　　平面 無窮伸展 ＝180° 等于半徑立方
      　　負曲率（類似馬鞍面） 無窮伸展 ＜180° 快于半徑立方
      　　這張表可實際用來探討我們所生存的宇宙空間究竟是有限的還是無限的。這個問題將在研究宇宙大小的第十章中再加以討論。
      第七章 現(xiàn)代煉金術
      　　1. 基本粒子
      　　我們已經(jīng)知道，各種化學元素的原子有相當復雜的力學系統(tǒng)，原子由一個中心核及許多繞核旋轉的電子組成。那么，我們當然還要問下去：這些原子核究竟是物質結構的最基本的單位呢，還是可以繼續(xù)分割成更小、更簡單的部分呢?能不能把這92種不同的原子減少為幾種真正簡單的微粒呢?
      　　早在上一世紀中葉，就有一位英國化學家波路特(William prout) 出自進行簡化的愿望，提出不同元素的原子本質上相同，它們都是以不同程度“集中”起來的氫原子這個假設。他的根據(jù)是：用化學方法所確定的各元素的原子量，幾乎都是氫元素原子量的整倍數(shù)。因此波路特認為，既然氧原子比氫原子重16倍，那它一定是聚集在一起的16個氫原子；原子量為127的腆原子一定是127個氫原子的組合，等等。
      　　但在當時，化學上的發(fā)現(xiàn)并不支持這個大膽的假設。對原子量進行的精確測量表明，大多數(shù)元素的原子量只是接近于整數(shù)，有一些則根本不接近。(例如，氯的原子量為 35.5) 這些看起來同波路特的假設直接相矛盾的事實當時把它否定了。因此，直到他去世，他也不知道自己是何等正確。
      　　直到1919年，這個假設才又靠英國物理學家阿斯頓(Aston)的發(fā)現(xiàn)而重見天日。阿斯頓指出，普通的氯是由兩種氯元素摻雜在一起的，它們的化學性質完全相同，只是原子量 不同，一種為35, 一種為37?；瘜W家所測定的非整數(shù)原子量35.5只是它們摻雜后的平均值。
      　　對各種化學元素的進一步研究揭示了一個令人震驚的事實：大部分元素都是由化學性質完全相同、而重量不同的若干成分組成的混和物。于是，人們給它們起了個名字，叫做同位素，意思是在元素周期表中占據(jù)同一位置的元素。事實證明，各種同位素的質量總是氫原子質量的整倍數(shù)，這就賦與波路特那被遺忘了的假設以新的生命。我們在前面看到過，原子的質量主要集中在原子核上，因此，波路特的假設就能用現(xiàn)代語言改寫成：不同種類的原子核是由不同數(shù)量的主原子核組成的，氫核因在物質結構中起重要的作用而得到一個專名“質子”。
      　　不過，對上面的敘述，還應該作一項重要的修改。以氧原子為例，它在元素的排列中居第八位，它的原子有8個電子，它的原子核也應帶8個正電荷。但是，氧原子的重量是氫原子的16倍。因此，如果我們假設氧原子核由8個質子組成，那么，電荷數(shù)是對的，但質量不符(均為8)；如果假設它有16個質子，那質量是對了，但電荷數(shù)錯了(均為16)。
      　　顯然，要擺脫這個困難，只有假設在這些復雜的原予核的質子中，有一些失去了原有的正電荷，成了中性的粒子。
      　　關于這種我們現(xiàn)在稱之為“中子”的無電荷質子，盧瑟福早在1920年就提到過它的存在，不過到十二年后它才由實驗所證實。這里需要注意，不要把質子和中子看成兩種截然不同的粒子，而要把它們當作處在兩種不同帶電狀態(tài)下的同一種粒子――“核子”。事實上，我們已經(jīng)知道，質子可以失去正電荷而轉化成中子，中子也能獲得正電荷而轉化成質子。
      　　把中子引進原子核里，剛才提到的困難就得到了解決。為了解釋氧原子核重16個單位，但只有8個電荷單位這一事實，可假設它由 8 個質子和8個中子組成。重量為127單位的碘，它的原子序數(shù)為53，所以就應有53 個質子，74 個中子。 重元素鈾（原子量為238，原子序數(shù)為92）的原子核里有92 個質子，146 個中子。
      　　這樣，波路特的大膽假說在提出后歷經(jīng)一個世紀才得到了應得的光榮確認?，F(xiàn)在，我們可以說，無窮無盡的各種物質都不過是兩類基本物質的不同結合罷了。這兩類物質是:(1) 核子，它是物質的基本粒子， 既可帶有一個正電荷，也可不帶電；(2)電子，帶負電的自由電荷（圖57）。
      　　下面有幾張引自《萬物炮制大全》的配方。我們可以從中看到，在宇宙這間大廚房里，每一道菜是如何用核子和電子烹調出來的。
      　　水　把8個中性核子和8個帶電核子聚在一起當作核心，外面再加上8個電子,這就是氧原子。用這樣的方法制備一大批氧原子。把一個帶電核子搭配上一個電子，這就是氫原子。照氧原子數(shù)目的兩倍做出氫原子來。按 2:1 的比例將氫原子和氧原子組合成水分子，把它們置于杯內(nèi)，保持冷卻狀態(tài)。這就是水。
      　　食鹽以12個中性核子和11個帶電核子為中心，外加11個電子，這就是鈉原子。以18個或20個中性核子和17個帶電核子為中心,都外加17個電子,這就是氯原子（同位素）。 照這樣的方法制備同等數(shù)目的鈉、氯原子后，按照國際象棋盤那樣的格式在立體空間中擺開。這就是食鹽的正規(guī)晶體。
      　　TNT　由6個中性核子和6個帶電核子組成核，外添6個電子做成碳原子。由7個中性核子和7個帶電核子組成核,外添 7 個電子做成氮原子。再按照水的自己方制備氧原子和氫原子。把6個碳原子造成一個環(huán)，環(huán)外再接上第七個。在碳環(huán)的三個原子中,每個各連上一個氮原子，而每個氮原子再接上一對氧原子。給那個碳環(huán)外的第七個碳原子加上三個氫原子；碳環(huán)中剩下的兩個碳原子也各連上一個氫原子。把這樣組成的分子有規(guī)則地排列起來，成為小粒晶體。再把晶粒壓在一起。不過要小心操作、因為這種結構不穩(wěn)定，有極大的爆炸性。
      　　盡管我們已經(jīng)看到，中子、質子和帶負電的電子構成了我們所想得到的一切物質的必要組成材料，但是這份基本粒子名單還顯得不那么完全。事實上，如果有帶負電的自由電子，為什么不能有帶正電的自由電子，即正電子呢?
      　　同樣，如果作為物質基本成分的中子可以獲得正電荷而成為質子，難道它就不能獲得負電荷而變成負質子嗎?
      　　回答是：正電子確實存在，它除了帶電符號與一般帶負電的電子相反外，各方面都與負電子一樣。負質子也有可能存在，不過尚未被實驗所證實（已于1956年由實驗所證實）。
      　　正電子和負質子在我們這個世界上的數(shù)量不如負電子和正質子多的原因，在于這兩類粒子是互相“敵對”的。大家知道，一正一負的兩個電荷碰到一起會互相抵消。兩類電子就是正與負兩種電荷。因此，不能指望它們會存在于空間的同一處。事實上，如果正電子與負電子相遇，它們的電荷立即互相抵消，兩個電子也不成其為獨立粒子了。此時，兩個電子一起滅亡一一這在物理學上稱作“湮沒”一一 并在電子相遇點導致強烈電磁輯射(γ射線)的產(chǎn)生,輻射的能量與原電子的能量相等。按照物理學的基本定律,能量既不能創(chuàng)造,又不能消滅,我們這里遇到的現(xiàn)象,只不過是自由電荷的靜電能變成了輻射波的電動能。這種正負電子相遇的現(xiàn)象被玻恩(Max Born)描述為“狂熱的婚姻”，而較為悲觀的布朗(T.B.Brown)則稱之為“雙雙自殺”。圖58a表示了這種相遇。
      　　兩個符號相反的電子的“湮沒”過程有它的逆過程一一 “電子對的產(chǎn)生”，這就是一個正電子和一個負電子由強烈的γ射線產(chǎn)生。我們說“由”,是因為這一對電子是靠消耗了γ射線的能量而產(chǎn)生的。事實上，為形成一對電子所消耗的輻射能量，正好等于一個電子對在湮沒過程中釋放出的能量。電子對的產(chǎn)生是在人射輻射從原子核近旁經(jīng)過時發(fā)生的。圖58b表示了這個過程。我們早就知道，硬橡膠棒和毛皮摩擦時，兩種物體各自帶上相反的電荷，這也是一個說明兩種相反的電荷可以從根本沒有電荷之處產(chǎn)生的例子。不過，這也沒有什么值得大驚小怪的。如果我們有足夠多的能量，我們就能隨意制造出電子來。不過要明白一點，由于湮沒現(xiàn)象，它們很快又會消失，同時把原來耗掉的能量如數(shù)交回。
      　　有一個有趣的產(chǎn)生電子對的例子，叫做“宇宙線簇射”，它是從星際空間射到大氣層來的高能粒子所引發(fā)的。這種在宇宙的廣袤空間里向四面八方飛竄的粒子
      　　有一個有趣的產(chǎn)生電子對的例子，叫做“宇宙線簇射”，它是從星際空間射到大氣層來的高能粒子所引發(fā)的。這種在宇宙的廣袤空間里向四面八方飛竄的粒子流究竟從何而來，至今仍然是科學上的一個未解之謎，不過我們已經(jīng)弄清當電子以極驚人的速度轟擊大氣層上層時發(fā)生了些什么。這種高速的原初電子在大氣層原子的原子核附近穿過時，原有能量逐漸減小，變成γ射線放出（圖 59）。這種輻射導致大量電子對的產(chǎn)生。新生的正、負電子也同原初電子一道前進。這些次級電子的能量也相當高，也會輻射出γ射線，從而產(chǎn)生數(shù)量更多的新電子對。這個連續(xù)的倍增過程在大氣層中重復發(fā)生，所以，當原初電子最終抵達海平面時，是由一群正負各半的電子陪伴著的。不消說，這種高速電子在穿進其他大物體時也會發(fā)生簇射，不過由于物體的密度較高，相應的分支過程要迅速得多（見后面圖版IIA）。
      　　現(xiàn)在讓我們來談談負質子可能存在的問題。可以設想，這種粒子是中子獲得一個負電荷或者失去一個正電荷（兩者的意思是一樣的）而變成的。不難理解，這種負質子也和正電子一樣，是不會在我們這個物質世界中長久存在的。事實上，他們將立即被附近的帶正電原子核所吸引和吸收，大概還會轉化為中子。因此，即使這種負質子確實作為基本粒子的對稱粒子而存在，它也是不容易被發(fā)現(xiàn)的。要知道，正電子的發(fā)現(xiàn)是在普通負電子的概念進入科學后又過了將近半個世紀才發(fā)生的事呢!如果確實有負質子存在，我們就可以設想存在著所謂反原子和反分子。它們的原子核由中子（和一般物質中的一樣）和負質子組成，外面圍繞著正電子。這些“反原子”的性質和普通原子的性質完全相同，所以你根本看不出水與“反水”、奶油與“反奶油”等東西有什么不同一一除非把普通物質和“反物質”湊到一起。如果這兩種相反的物質相遇，兩種相反的電子就會立即發(fā)生湮沒，兩種相反的質子也會立即中和，這兩種物質就會以超過原子彈的程度猛烈爆炸。因此，如果果真的存在著由反物質構成的星系，那么，從我們這個星系扔去一塊普通的石頭，或者從那里飛來一塊石頭，在它們著陸時都會立即成為一顆原子彈。
      　　有關反原子的奇想，到這里就算告一段落吧?，F(xiàn)在我們來考慮另一類基本粒子。這種粒子也是頗不尋常的，而且在各類可進行觀測的物理過程中都有它的份。它叫做“中微子”，是“走后門”進人物理學領域的；盡管各個方面都有人大喊大叫地反對它，它卻在基本粒子家族中占據(jù)了一把牢固的交椅。它是如何被發(fā)現(xiàn)的，以及它是怎樣被認識的，這是現(xiàn)代科學中最為令人振奮的故事之一。
      　　中微子的存在是用數(shù)學家所謂“反證法”發(fā)現(xiàn)的。這個令人振奮的發(fā)現(xiàn)不是始于人們覺察到多了什么東西，而是由于人們發(fā)現(xiàn)少了某種東西。究竟少了什么呢? 答案是：少了一些能量。按照物理學最古老而最穩(wěn)固的定律，能量既不能創(chuàng)造，也不能消滅。那么，如果本應存在的能量找不到了，這就表明，一定有個小偷或一群小偷把能量拐跑了。于是，一伙衷于秩序、喜歡起名字的科學偵探就給這些偷能賊起了個名字，叫做“中微子”，盡管他們還沒有看到它們的影子哩!
      　　這個故事敘述得有點太快了?，F(xiàn)在還是回到這樁大“竊能案”上來。我們已經(jīng)知道，每個原子的原子核約有一半核子帶正電（質子），其余呈中性（中子）。如果給原子核增添一個或數(shù)個中子和質子。從而改變質子和中子間相對的數(shù)量平衡，就會發(fā)生電荷的調整。如果中子過多，就會有一些中子釋放出負電子而變?yōu)橘|子；如果質子過多，就會有一些質子射出正電子而變?yōu)橹凶?。這兩個過程表示在圖60中。這種原子核內(nèi)的電荷調整叫做β衰變，放出的電子叫做β粒子。由于核子的轉變是個確定的過程，就一定會釋放出定量的能量，并由電子帶出來。因此，我們預料，從同一物質放射出來的β粒子，都應該有相同的速度。然而，觀測表明，β衰變的情況與這種觀測直接相矛盾。事實上，我們發(fā)現(xiàn)釋放出來的電子具有從零到某一上限的不同動能。既沒有發(fā)現(xiàn)其他粒子，也沒有其他輻射可以使能量達到平衡。這樣一來，β衰變中的“竊能案”可就嚴重了。曾經(jīng)有人竟一度認為，我們面臨著著名的能量守恒定律不再成立的第一個實驗證據(jù)，這對于整套物理理論的精巧建筑真是極大的災難。不過，還有一種可能：也許丟失的能量是被某種我們的觀測方法無法察覺的新粒子帶走的。泡利(Wolfgang Pauli)提出一種理論。他假設這種偷竊能量的“巴格達竊賊”是不帶電荷、質量不大于電子質量的微粒，叫做中微子。事實上，根據(jù)巳知的高速粒子與物質相互作用的事實，我們可以斷定，這種不帶電的輕粒子不能為現(xiàn)有的一切物理儀器所察覺，它可以不費吹灰之力地在任何物質中穿過極遠的距離。對于可見光來說，只消薄薄一層金屬膜即可把它完全擋?。捍┩噶軓姷腦光和γ射線在穿過幾英寸厚的鉛塊后，強度也會顯著減低；而一束中微子可以悠哉游哉地穿過幾光年厚的鉛!無怪乎用任何方法也觀測不出中微子，只能靠它們所造成的能量赤字來發(fā)現(xiàn)它們!
      　　中微子一旦離開原子核，就再也無法捕捉到它了?？墒牵覀冇修k法間接地觀測到它離開原子核時所引起的效應。當你用步槍射擊時，槍身會向后坐而頂撞你的肩膀；大炮在發(fā)射重型炮彈時，炮身也會向后坐。力學上的這種反沖效應也應該在原子核發(fā)射高速粒子時發(fā)生。事實上，我們確實發(fā)現(xiàn)，原子核在β衰變時，會在與電子運動相反的方向上獲得一定的速度。但是事實證明，它有一個特點：無論電子射出的速度是高是低，原子核的反沖速度總是一樣（圖61）。這可就有點奇怪了，因為我們本來認為，一個快速的拋射體所產(chǎn)生的反沖會比慢速拋射體強烈。這個謎的解答在于，原子核在射出電子時，總是陪送一個中微子，以保持應有的能量平衡。如果電子速度大、帶的能量多，中微子就慢一些、能量小一些，反之亦然。這樣，原子核就會在兩個微位的共同作用下，保持較大的反沖。如果這個效應還不足以證明中微子的存在，恐怕就沒有什么能夠證明它啦!
      　　現(xiàn)在，讓我們把前面講過的內(nèi)容總結一下，提出一個物質結構的基本粒子表，并指出它們之間的關系。
      　　首先要列入的是物質的基本粒子一一核子。目前所知道的核子或者是中性的，或者是帶正電的；但也可能有帶負電的核子存在。
      　　其次是電子。它們是自由電荷，或帶正電，或帶負電。
      　　還有神秘的中微子。它不帶電荷，大概是比電子輕得多的。
      　　最后還有電磁波。它們在空間中傳播電磁力。物理世界的所有這些基本成分是互相依賴，并以各種方式結合的。中子可變成質子并發(fā)射出負電子和中微子（中子一→質子+負電子+中微子）；質子又可發(fā)射出正電子和中微子而回復為中子（質子一→中子+正電子+中微子）。符號相反的兩個電子可轉變?yōu)殡姶泡椛洌ㄕ娮?負電子一→輻射），也可反過來由輻射產(chǎn)生(輻射一→正電子+負電子)。最后，中微子可以與電子相結合，成為不穩(wěn)定的粒子，在宇宙射線中出現(xiàn)。這種微粒稱做介子（中微子+正電子一→正介子）；（中微子+負電子一→負介子）；（中微子+正電子+負電子一→中性介子）。也有人把介子稱為“重電子”，但這種叫法不太恰當。
      　　結合在一起的中微子和電子帶有大量的內(nèi)能，因此，結合體的質量比這兩種粒子各自的質量之和大一百倍左右。
      　　圖62 是組成宇宙中各種物質的基本粒子的概圖。
      　　大家可能會問：“這一回到頭了嗎?!”“憑什么認為核子、電子和中微子真是基本粒子，不能再分成更小的微粒子呢?只不過在半個世紀以前，人們不還是認為原子是不可分的嗎? 而今天的原子表現(xiàn)出多么復雜的結構啊!”對這個問題，我們得這樣回答：現(xiàn)在確實無法預測物質結構科學的發(fā)展前景，不過我們有充足的理由可以相信，這些粒子的確就是物質的不可再分的基本單位。理由是：各種原來被認為是不可分的原子表現(xiàn)出彼此不同的、極為復雜的化學性質、光學性質和其它性質。而現(xiàn)代物理學中的基本粒子的性質是極為簡單的，簡單得可以與幾何點的性質相比。還有，同古典物理學中為數(shù)不少的“不可分原子”相比，我們現(xiàn)在只有三種不同的實體：核子、電子和中微子。而且，無論我們?nèi)绾蜗Ｍ?，怎么把萬物還原為最簡單的形式，總不能把萬物化成一無所有吧！所以，看來我們對物質組成的探討已經(jīng)刨到根，摸到底了。
      　　2. 原子的心臟
      　　我們既然對構成物質的基本粒子的本性和性質已有全面的了解，現(xiàn)在就可以再來仔細研究一下原子的心臟――原子核。原子的外層結構在某種程度上可比作一個縮小的行星系統(tǒng)，但原子核本身卻全然是另一種情景了。首先有一點是很清楚的：使原子核本身保持為一個整體的力不可能是靜電力，因為原子核內(nèi)有一半粒子（中子）不帶電，另一半（質子）帶正電，因而會互相排斥。如果一群粒子間只存在斥力，怎么能存在穩(wěn)定的粒子群呢!
      　　因此，為了理解原子核的各個組成部分保持在一起的原因，必須設想它們之間存在著另一種力，它是一種吸引力，既作用在不帶電的粒子之間，也作用在帶電的粒子之間，與粒子本身的種類無關。這種使它們聚集在一起的力通常被稱為“內(nèi)聚力”。這種力在其他地方也能遇到，例如在一般液體中就存在內(nèi)聚力，這種力阻止各個分子向四面八方分散。
      　　在原子核內(nèi)部，各個核子間就存在這種內(nèi)聚力。這樣，原子核本身非但不致在質子間靜電斥力的作用下分裂開來，而且這許多核子還能象罐頭盒里的沙丁魚一樣緊緊挨在一起，相比之下，處于原子核外各原子殼層上的電子卻有足夠的空間進行運動。作者本人最先提出這樣一種看法：可以認為原子核內(nèi)物質的結構方式是與普通液體相類似的。原子核也象一般液體一樣有表面張力。大家想必還記得，表面張力這一重要現(xiàn)象在液體中是這樣產(chǎn)生的：位于內(nèi)部的粒子被相鄰的粒子向各個方向以相等的力拉牽，而位于表面的粒子只受到指向液體內(nèi)部的拉力（圖 63）。
      　　這種張力使不受外力作用的一切液滴具有保持球形的傾向，因為在體積相同的一切幾何形體當中，球體的表面積最小。因此，可以得出結論說，不同元素的原子核可以簡單地看作由同一類“核液體”組成的大小不同的液滴。不過可不要忘記，雖然定性地說，這種核液體與一般液體很相象，但定量地說，兩者卻大不相同，因為核液體的密度比水的密度大240,000,000,000,000倍，表面張力也比水大1,000,000,000,000,　000,000倍。為了便于理解，可用下面的例子說明。如果有一個用金屬絲彎成的倒U字形框架，大小約二英寸見方，下邊橫搭一根直絲，如圖64畫出的樣子?，F(xiàn)在給框內(nèi)充入一層肥皂膜，這層膜的表面張為會把橫絲向上拉。在絲下懸一小重物，可以把這個張力平衡掉。如果這層膜是普通的肥皂水，它的厚度為0.01毫米時自重1/4克，能支持3/4克的重物。
      　　假如我們有辦法制成一層核液體薄膜，并把它張在這付框架上，這層膜的重量就會有五千萬噸（相當于一千艘海輪），橫絲上則能懸掛一萬億噸的東西，這相當于火星的第二顆衛(wèi)星“火衛(wèi)二”的重量！要在核液體里吹出這樣一個泡來，得有多強壯的肺臟才行??！
      　　在把原子核看成小液滴時，一定不要忽略它們是帶電的這一要點，因為有一半核子是質子。因此，核內(nèi)存在著相反的兩種力：一種是把各個核子約束在一起的表面張力，一種是核內(nèi)各帶電部分間傾向于把原子核分成好幾塊的斥力。這就是原子核不穩(wěn)定的首要原因。如果表面張力占優(yōu)勢，原子核就不會自行分裂，而兩個這樣的原子核在互相接觸時，就會象普通的兩滴液體那樣具有聚合在一起的趨勢。
      　　與此相反，如果排斥的電力搶了上風，原子核就會有自行分裂為兩塊或多塊高速飛離的碎塊的趨勢。這種分裂過程通常稱為“裂變”。
      　　玻爾和威勒(John Archilbald wheeler )在 1939 年對不同原子核的表面張力和靜電斥力的平衡問題進行了精密的計算，他們得出一個極重要的結論說，元素周期表中前一半元素（到銀為止）是表面張力占優(yōu)勢，而重元素則是斥力居上風。因此，所有比銀重的元素在原則上都是不穩(wěn)定的，當受到來自外部的足夠強烈的轟擊時，就會裂開為兩塊或多塊，并釋放出相當多的內(nèi)部核能(圖65b) 。與此相反，當總重量不超過銀原子的兩個輕原子核相接近時，就有自行發(fā)生聚變的希望（圖65a）。不過我們要記住,兩個輕原子核的聚變也好，一個重原子核的裂變也好，除非我們施加影響，一般是不會發(fā)生的。事實上，要使輕原子核發(fā)生聚變，我們就得克服兩個原子核之間的靜電斥力，才能使它們靠近；而要強令一個重原子核進行裂變就必須強烈地轟擊它，使它進行大幅度的振動。
      　　這一類必須有起始的激發(fā)才能導致某一物理過程的狀態(tài)，在科學上叫做亞穩(wěn)態(tài)。立在懸崖頂上的巖石、一盒火柴、炸彈里的TNT火藥，都是物質處于亞穩(wěn)態(tài)的例子。在這每一個例子中，都有大量的能量在等待得到釋放。但是不踢巖石，巖石不會滾下；不劃或不加熱火柴，火柴不會燃著；不用雷管給TNT引爆，炸藥不會爆炸。在我們生活的這個世界上，除了銀塊外都是潛在的核爆炸物質。但是，我們并沒有被炸得粉身碎骨，就是因為核反應的發(fā)生是極端困難的，說得更科學一點，是因為需要用極大的激發(fā)能才能使原子核發(fā)生變化。
      　　在核能的領域內(nèi)，我們所處的地位（更確切地說，是不久前所處的地位）很象這樣一個愛斯基摩人。這個愛斯基摩人生活在零度以下的環(huán)境中，接觸到的唯一固體是冰，唯一液體是酒精。這樣，他不會知道火為何物，因為用兩塊冰進行摩擦是不能生出火來的；他也只把酒精看成令人愉快的飲料，因為他無法把它升溫到燃點。
      　　現(xiàn)在，當人類由最近的發(fā)明，得知原子內(nèi)部蘊藏著極大的能量可供釋放時，他們的驚訝多么象這個不知火為何物的愛斯基摩人第一次看到酒精燈時的心情啊!
      　　一旦克服了使核反應開始進行的困難，所引起的一切麻煩就都大大地得到補償了。例如，數(shù)量相等的氧原子和碳原子在按照
      　　O+C一→CO+能量
      　　這個化學方程化合時，每一克混合好的氧和碳會放出92 卡熱量。如果把這種化學結合( 分子的聚合，圖66a)換成原子核的聚合（圖66b）即
      　　6C+80=14Si+能量,
      　　這時，每克混合物放出的能量達到149000,000,000卡之多，比前者大一千五百萬倍。
      　　同樣，一克復雜的TNT 分子在分解成水分子、一氧化碳分子、二氧化碳分子和氮氣( 分子裂變)時，約釋放1,000卡熱 量；而同樣重量的物質，如水銀，在核裂變時會釋放10,000,000,000 卡熱量。
      　　但是，千萬別忘了，化學反應在幾百度的溫度下就很容易進行，而相應的核轉變卻在往在達到幾百萬度時還未引發(fā)哩! 正是這種引發(fā)核反應的困難，說明了整個宇宙眼下還不會有在一聲巨爆中變成一大塊純銀的危險，因此大家盡管放心好了。
      　　3. 轟擊原子
      　　原子量的整數(shù)值為原子核構造的復雜性提供了有力的論據(jù)，不過這種復雜性只有用能夠把原子核破裂成兩塊或更多幾塊的直接實驗，才能最后加以證實。
      　　第一次表明有可能使原子碎裂的跡象，是五十年前（1896 年）法國科學家貝克勒耳（Edmond Alexandr Becquerel）所發(fā)現(xiàn)的放射性。事實表明，位于周期表盡頭的元素，如鈾和釷，能自行發(fā)出穿透性很強的輻射（與一般X射線相似）的原因，在于這些原子在進行緩慢的自發(fā)衰變。人們對這個發(fā)現(xiàn)做了精細的研究，很快得出這樣的結論：重原子在衰變中自行分裂成兩個大不相同的部分：（1）叫做α粒子的小塊， 它是氦的原子核；（2）原有原子核的剩余部分，它又是子元素的原子核。當鈾原子核碎裂時，放出α粒子，產(chǎn)生的子元素稱為鈾X1，它的內(nèi)部經(jīng)歷重新調整電荷的過程后，放出兩個自由的負電荷（普通電子），變?yōu)楸仍瓉淼拟櫾虞p四個單位的鈾同位素。緊接著又是一系列的α粒子發(fā)射和電荷調整，直到變?yōu)榉€(wěn)定的鉛原子，才不再進行衰變。
      　　這種交替發(fā)射α粒子和電子的嬗變可發(fā)生在另外兩族放射性物質上，它們是以重元素釷為首的釷系和以錒開始的錒系。這三族元素都進行一系列衰變，最后成為三種鉛同位素。
      　　我們在上一節(jié)講過，元素周期在中后一半元素的原子核是不穩(wěn)定的，因為在它們原子核內(nèi)傾向于分離的靜電力超過了把核約束在一起的表面張力。細心的讀者把這一條和自發(fā)放射衰變的情況對比一下，就會覺得詫異：既然所有比銀重的元素都是不穩(wěn)定的，為什么只在最重的幾種元素（如鈾、鐳、釷）上才觀察到自發(fā)衰變呢？這是因為雖然所有比銀重的元素在理論上都可以看作是放射性元素，并且它們也確實都在 漸漸地衰變成輕元素，不過在大多數(shù)情況下，自發(fā)衰變進行得非常綏慢，以致無法發(fā)現(xiàn)這種過程。一些大家熟悉的元素，如碘、金、水銀、鉛等等，它們的原子在一個世紀中說不定只分裂一兩個。這可太慢了，用任何靈敏的物理儀器都無法記錄下來。只有最重的元素，由于它們自發(fā)分裂的趨勢很強，才能產(chǎn)生能夠觀測出的放射性來1)。這種相對的嬗變率還決定了不穩(wěn)定原子核的分裂方式。例如，鈾的原子核就可能以幾種方式裂開：或者是分裂成兩塊相等的部分，或者是三塊相等的部分，或者是許多塊大小不等的部分。不過，最容易發(fā)生的是分成一個α粒子和一個剩余的子核。根據(jù)觀察，鈾原子核自行裂成兩塊相等部分的機會要比放射出一個α粒子的機會低數(shù)百萬倍。所以，在一克鈾中，每一秒內(nèi)部有上萬個原子核進行放射α粒子的分裂，而要觀測到一次分成兩塊相等部分的裂變，卻要等上幾分鐘呢!
      　　放射現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，不容置疑地證明了原子核結構的復雜性，也打開了人工產(chǎn)生（或激發(fā)）核嬗變的道路。它使我們想到，如果重元素，特別是那些不穩(wěn)定的重元素能夠自行衰變，那么，我們能否用足夠強有力的高速粒子去轟擊那些穩(wěn)定的原子核，使它們發(fā)生分裂呢?
      　　盧瑟福就抱著這樣的想法，決定讓各種通常是穩(wěn)定的元素遭受不穩(wěn)定放射性元素在分裂時放出的核碎塊(α粒子)的轟擊。他在1919年為此項實驗首次采用的儀器（圖 67），與當今某幾個物理實驗室中轟擊原子的巨大儀器相比，真是簡單到了極點。它包括一個圓筒形真空容器，一端有一扇窗，上面涂有一薄層熒光物質當作屏幕。α粒子轟擊源是沉積在金屬片上的一薄層放射性物質。待轟擊的靶子（這個實驗用的是鋁）做成箔狀，放在離轟擊源一段距離之處。鋁箔靶被安放得恰好能使所有入射α粒子都會嵌在上面。因此，如果轟擊沒有導致靶子產(chǎn)生次級核碎塊的話，熒光屏是不會發(fā)亮的。
      　　把一切裝置安裝就緒之后，盧瑟福就借助于顯微鏡觀察屏幕。他看到屏上絕不是一片黑暗，整個屏幕上都閃爍著萬萬千千的跳動亮點！每個亮點都是質子撞在屏上所產(chǎn)生的，而每個質子又是入射α粒子從靶子上的鋁原子里撞出的“一塊碎片”。因此，元素的人工嬗變就從理論上的可能性變成了科學上的既成事實。1）
      　　在盧瑟福做了這個經(jīng)典實驗之后的幾十年內(nèi)，元素的人工嬗變已發(fā)展成為物理學中最大和最重要的分支之一，無論是在產(chǎn)生供轟擊用的高速粒子的方法上，還是在對結果的觀測上，都取得了極大進展。
      　　在觀測粒子撞擊原子核所發(fā)生的情況時，最理想的儀器是一種能夠直接用眼睛觀看的云室（因為它是威爾遜發(fā)明的，又稱威爾遜云室）圖68是云室簡圖。它的工作原理基于這樣一個事實：高速運動的帶電粒子，在穿過空氣或其他氣體時，會使沿路的氣體原子發(fā)生一定程度的變形。它們在粒子的強電場作用下，會失去一個或數(shù)個電子而成為離子。這種狀態(tài)不會長久持續(xù)下去。粒子一過，離子很快又重新俘獲電子而恢復原狀。不過，如果在這種發(fā)生了電離的氣體中含有飽和的水蒸汽，它們就會以離子為核心形成微小的水滴一一這是水蒸汽的性質，它能附著在離子、灰塵等東西上一一結果沿粒子的路徑會出現(xiàn)一道細細的霧珠。換句話說，任何帶電粒子在氣體中運動的徑跡就變成了可見的，如同一架拖著尾煙的飛機。
      　　從制作工藝來看，云室是件簡單的儀器，它主要包括一個金屬圓筒（A），筒上蓋有一塊玻璃蓋子（B），內(nèi)裝一個可上下移動的活塞（C）（移動部件圖中未畫出）。玻璃蓋子和活塞工作面之間充有空氣(或視具體需要改充其他氣體)和一定量的水蒸汽。當一些粒子從窗口（E）進入云室時，讓活塞驟然下降，活塞上部的氣體就會冷卻，水蒸汽則會形成細微的水珠，沿粒子徑跡凝結成一縷霧絲。由于受到從邊窗（D）射入的強光照射，以及活塞面黑色背景的襯托，霧跡清晰可見，并可用與活塞連動的照相機（F）自動拍攝下來。這架簡單的裝置，能使我們獲得有關核轟擊的極完美的照片，因此，它已成為現(xiàn)代物理學中最有用的儀器之一。
      　　自然，我們也希望能設計出一種在強電場中加速各種帶電粒子（離子）、以形成強大粒子束的方法。這樣不但能省去稀少而昂貴的放射性物質，還能增加其他類型的粒子（如質子），時，同粒子的能量也比一般放射性衰變中所放出的粒子大。在各種產(chǎn)生強大高速粒子束的儀器中，最重要的有靜電發(fā)生器、回旋加速器和直線加速器。圖69,70和71分別簡述了它們的作用原理。
      　　圖70 迥旋加速器的原理。迥旋加速器主要包括兩個放在強磁場中的半圓形金屬盒（磁場方向和紙面垂直） 。兩個盒與變壓器的兩端分別相連，因此，它們交替帶有正電和負電。從中央的離子源射出的離子在磁場中沿半圓形路徑前進，并在從一個盒體進入另一個盒體的中途受到加速。離子越走越迅速，描繪出一條向外擴展的螺線，最后以極高的速度沖出
      　　圖71 直線加速器原理
      　　這套裝置包指長度逐漸增大的一套圓筒，它們由變壓器交替充以正電和負電。離子在從一個圓筒進入另一個圓筒的途中被這相鄰兩筒間的電勢差加速， 因此能量逐漸增大。由于速度同能量的平方根成正比，所以，如果把筒長按整數(shù)的平方根的比例設計，離子就會保持與交變電場同相。把這套裝置設計得足夠長，就能把離子加速到任意大的速度
      　　使用上述加速器產(chǎn)生的各種強大的粒子束，并引導它們?nèi)マZ擊用各種物質作成的靶子，可以產(chǎn)生一系列核嬗變，并用云室拍攝下來，這樣，研究起來很方便。后面的圖版III、IV 就是幾張核嬗變的照片。
      　　劍橋大學的布萊克特（Patrick Maynard Stuart Blackett）拍攝了若干張這種照片。他拍攝的是一束衰變中產(chǎn)生的α粒子通過充氮的云室。首先可以看出，所有的徑跡都有確定的長度，這是因為粒子在飛過氣體時，逐漸失去自己的動能，最后歸于靜止。粒子徑跡的長度有兩種，這是因為有兩種不同能量的α粒子（粒子源是釷的兩種同位素ThC 和ThC’的混合物）。大家還能注意到，α粒子的徑跡基本上是筆直的，只是在尾部、即粒子快要失去全部初始能量時，才容易由氮原子的非正面碰撞造成明顯的偏拆。但是，在這張星狀的α粒子圖中，有一道徑跡很特殊，它有一個特殊的分叉，分叉的一支細而長，一支粗而短。這表明它是α粒子和氮原子面對面碰撞的結果。細而長的徑跡是被撞出的質子，粗而短的則是被撞到一旁的氮原子。因為看不到其他徑跡，這就說明，肇事的α粒子已經(jīng)附在氮原子核上一起運動了。
      　　在后面圖版IIIB上，我們能看到人工加速的質子與棚核碰撞的效應。高速質子束從加速器出口(照片中央的黑影)射到外面的硼片上，從而使原子核的碎塊沿各個方向穿過空氣飛去。從照片上可看到一個有趣之處，就但碎塊的徑跡是以三個為一組（照片上可看到兩組，其中一組還以箭頭標出），這是由于硼原子被質子擊中時，會裂成三塊相等的部分。
      　　另一張照片III A 攝下的是高速氘核(由一個質子和據(jù)稱一個中子形成的重氫原子核)和靶上的另一個氘核相碰撞的情景。
      　　照片中，較長的徑跡屬于質子(氕核)， 較短的則屬于三倍重的氫核(也稱氚核)。
      　　中子和質子一樣，是構成各種原子核的主要成分。如果沒有中子參與反應的云室照片，那是很不完全的。
      　　但是，不要指望在云室中看到中子的徑跡，因為中子是不帶電的，所以，這匹原子物理學中的“黑馬”在行進途中不會造成電離。不過，當你看到從獵人槍口冒出一股輕煙，又看到從天上栽下一只鴨子，你就曉得有一顆子彈飛出過，盡管你看不到它。同樣，在你觀看圖版IIIC這一云窒照片時，你看到一個氮原子分裂成氦核（向下的一支）和硼核（向上的一支），就一定會意識到這個氮核一定是被一個看不見的粒子從左面狠狠地撞了一下。事實正是如此，我們在云室左邊的壁上放置了鐳和鈹?shù)幕旌衔铮@正是快中子源。
      　　只要把中子源和氮原子分裂的地點這兩個點連接起來，就是表示中子運動路徑的直線了。
      　　圖版IV是鈾核的裂變照片，它是包基爾德（Boggild）、勃勞斯特勞姆（Brostrom）和婁瑞參（Lauritsen）拍攝的。從一張敷有一層鈾的鋁箔上，沿相反方向飛出兩塊裂變產(chǎn)物。當然，在這張照片上是顯示不出引發(fā)這次裂變的中子和裂變所產(chǎn)生的中子的。
      　　使用加速粒子轟擊原子核的方法，我們可以得到無窮無盡的各種核嬗變，不過現(xiàn)在我們應該轉到更重要的問題上來，即看著這種轟擊的效率如何。要知道，圖版III和IV 所示的只是單個原子分裂的情況。如果要把一克硼完全轉變?yōu)楹?，就要把所?5,000,000,000,000,000,000,000個硼原子都擊碎。目前最強大的加速器每秒鐘能產(chǎn)生1.0000000,000,000,000 個粒子。即使每個粒子都擊碎一個硼核，那也得把這臺加速器開動55百萬秒，也就是差不多兩年才行。
      　　然而，實際上的效率要比這低得多。通常在幾千個高速粒子當中，只能指望有一個命中靶上的原子核而造成裂變。這個極低的效率是由于原子核外的電子能夠減慢入射帶電粒子的通過速度的緣故。電子殼層受轟擊的截面積要比原子核受轟擊的截面積大得多，我們又顯然不能把每個粒子都瞄準原子核，因此，粒子要在穿過許多原子的電子殼層后，才有直接命中某一個原子核的機會。圖72 說明了這種局面。在圖上，原子核用黑色小圈點表示，電子殼層用陰影線表示。原子與原子核的直徑之比約為10,000:1，因此它們受轟擊面積的比值為 100,000,000:1。我們還知道，帶電粒子在穿過一個原子的電子殼層后，能量要減少萬分之一左右。這樣，它在穿過一萬個電子殼層后就會停下來。由這些數(shù)據(jù)不難看出，在一萬個粒子中，只有一個有可能在能量消耗光之前撞到某個原子核上?？紤]到帶電粒子給靶子上的原子以摧垮性打擊的效率是如此之低，要使一克硼完全嬗變，恐怕至少也得把一臺最先進的加速器開動兩萬年!
      　　4. 核子學
      　　往往有這么一些詞，看起來似乎不那么恰當，但卻頗有實用價值?！昂俗訉W”就是這樣的一個。因此，我們不妨采用這個詞。正如“電子學”講的是自由電子束的廣泛實際應用一樣 ,“核子學”也應理解成對核能量的大規(guī)模釋放進行實際應用的科學。上一節(jié)中我們已經(jīng)看到，各種化學元素(除去銀以外)的原子核內(nèi)部蘊藏著巨大的內(nèi)能；對輕元素來講，內(nèi)能可在聚變時放出；對重元素來講，則在裂變時放出。我們又看到，用人工加速的粒子轟擊原子核這個方法，盡管在研究核嬗變的理論上極為重要，但由于效率極低，派不上實際用場。
      　　不過，這種低效率主要是由于α粒子和質子是帶電粒子，它們在穿過原子時會失去能量，又不易逼近被轟擊的靶原子核。我們當然會想到，如果用不帶電的中子來轟擊，大概會好一些。然而，這還是不好辦!因為中子可以輕而易舉地進入原子核內(nèi)，它們在自然界中就不以自由狀態(tài)存在；即使憑借人工方法，用一個入射粒子從某個原子核里“踢”出一個中子來(如鈹靶在α粒子轟擊下產(chǎn)生中子)，它也會很快地又被其他原子核重新俘獲。
      　　這樣，要想產(chǎn)生強大的中子束，就得從某種元素的原子核里把中子一個一個地踢出來。這樣做，豈不是又回到低效率的帶電粒子這一條老路上去了嗎!
      　　然而，有一個跳出這種思性循環(huán)的方法：如果能用中子踢出中子，而且踢出不止一個，中子就會象兔子繁衍(參見圖 97), 或者象細菌繁殖一樣地增加起來。不久，由一個中子所產(chǎn)生的后代就會多到足以向一大塊物質中的每一個原子核進攻的程度。
      　　自從人們發(fā)現(xiàn)了這樣一種使中子增長的核反應后，核物理學就空前繁榮起來，并從作為研究物質最隱秘性質的純科學這座清靜的象牙塔中走了出來，投進了報紙標題、狂熱政論和發(fā)展軍事工程的旋渦。凡是看報紙的人，沒有不知道鈾核裂變可以放出核能一一通常稱為原子能一一這種能量的。鈾的裂變是哈恩 (Otto Hahn)和斯特拉斯曼(Fritz Strassman) 在1938年末發(fā)現(xiàn)的。但是，不要認為由裂變生成的兩個大小差不多相等的重核本身能使核反應進行下去。事實上，這兩部分核塊都帶有許多電荷(各帶鈾核原電荷的一半左右)，因此不可能接近其他原子核；它們將在鄰近原子的電子層作用下迅速失去自己的能量而歸于靜止，并不能引起下一步裂變。
      　　鈾的裂變之所以能一躍成為極重要的過程，是由于人們發(fā)現(xiàn)了鈾核碎片在速度減慢后會放出中子，從而使核反應能自行維持下去(圖 73)。
      　　裂變的這種特殊的緩發(fā)效應的發(fā)生原因，在于重原子核在裂開時會象斷裂成兩節(jié)的彈簧一樣處于劇烈的振動狀態(tài)中。這種振動不足以導致二次裂變(即碎片再一次雙分)，卻完全有可能拋出幾個基本粒子來。要注意：我們所說的每個碎塊放射出一個中子，這只是個平均數(shù)字；有的碎塊能產(chǎn)生兩個或三個中子，有的則一個也不產(chǎn)生。當然，裂變時碎塊所能產(chǎn)生的中子數(shù)有賴于振動強度，而這個強度又取決于裂變時釋放的總能量。我們知道，這個能量的大小是隨原子核重量的增大而增加的。因此，我們可以預料到，裂變所產(chǎn)生的中子數(shù)隨周期表中原子序數(shù)的增大而增多。例如，金核裂變(由于所需的激發(fā)能太高，至今尚未實驗成功)所產(chǎn)生的中子數(shù)，大概會少于每塊一個，鈾則為每塊一個（即每次裂變產(chǎn)生兩個），更重的元素（如钚），應多于每塊一個。
      　　如果有一百個中子進入某種物質，為了能夠滿足中子的連續(xù)增殖，這一百個中子顯然應產(chǎn)生出多于一百個中子。至于能否達到這一狀況，要看中子使這種原子核裂變的效率有多大，也要看一個中子在造成一次裂變時所產(chǎn)生的新中子有多少。應該記住，盡管中子比帶電粒子有高得多的轟擊效率，但也不會達到百分之百。事實上，總有一些高速中子在和某個原子相撞時，只交給它一部分動能，然后帶著剩雜的動能跑 掉。這一來，粒子的功能將分散消花在幾個原子核上，而沒有一個發(fā)生裂變。
      　　根據(jù)原子核結構理論，可以歸結出這樣一點：中子的裂變率隨裂變物質原子量的遞增而提高，對于周期表末尾的元素，裂變率接近百分之百。
      　　現(xiàn)在，我們給出兩個中子數(shù)的例子，一個是有利于中子增多的，一個是不利的：（A）快中子對某元素的裂變率為35%，裂變產(chǎn)生的平均中子數(shù)為 1.6。這時，如果有100 個中子，就能引起35次裂變，產(chǎn)生35 ×1.6=56個第二代中子。顯然，中子數(shù)目會逐代下降，每一代都減少將近一半。（B）另一種較重元素，裂變率升至65%，裂變產(chǎn)生的平均中子數(shù)為2.2。此時，如有100個中子，就會導致65次裂變，放出的中子總數(shù)為65×2.2=143個。每產(chǎn)生新的一代，中子數(shù)就增加約50%，不用多久，就會產(chǎn)生出足以轟擊核樣品中每一個原子核的中子來。這種反應，我們稱為分支鏈式反應；能產(chǎn)生這種反應的物質，我們叫做裂變物質。
      　　對于發(fā)生漸進性分支鏈式反應的必要條件作細心的實驗觀測和深入的理論研究以后，可得出結論說，在天然元素中，只有一種原子核可能發(fā)生這種反應。這就是鈾的輕同位素鈾235。
      　　但是，鈾235在自然界中并不單獨存在，它總是和大量較重的非裂變同位素鈾238混在一起（鈾235占 0.7%,鈾 238占99.3%），這就會象濕木柴中的水分妨礙木柴的燃燒一樣影響到鈾的分支鏈式反應。不過，正因為有這種不活潑的同位素與鈾235摻雜在一起，才使得這種高裂變性的鈾235至今仍然存在，否則，它們早就會由于鏈式反應而迅速毀掉了。因此，如果打算利用鈾235的能量，那么，就得先把鈾235 和鈾238 分離開來，或者是研究出不讓較重的鈾238搗蛋的辦法。這兩類方法都是釋放原子能這個課題的研究對象，并且都得到了成功的解決。由于本書不打算過多地涉及這類技術性問題，所以我們只在這里簡單地講一講。
      　　要直接分離鈾的兩種同位素是個相當困難的技術問題。它們的化學性質完全相同，因此，一般的化工方法是無能為力的。這兩種原子只在質量上稍有不同一一兩者相差1.3%，這就為我們提供了靠原子質量的不同來解決問題的擴散法、離心法、電磁場偏轉法等。圖75a和b示出了兩種主要分離方法的原理圖，并附有簡短說明。
      　　所有這些方法都有一個缺點：由于這兩種同位素的質量相差甚小，因而分離過程不能一步完成，需要多次反復進行，才能使輕的同位素一步步富集。這樣，經(jīng)過相當多次重復后，可得到很純的鈾235產(chǎn)品。
      　　更聰明的方法是使用所謂減速劑，人為地減小天然鈾中重同位素的影響，從而使鏈式反應能夠進行。在了解這個方法之前，我們先得知道，鈾的重同位素對鏈式反應的破壞作用，在于它吸收了鈾235裂變時產(chǎn)生的大部分中子，從而破壞了鏈式反應的進行。因此，如果我們能設法使中子在碰到鈾235的原子核之前不致被鈾238原子核所俘獲，裂變就能繼續(xù)進行下去，問題也就解決了。不過，鈾238比鈾235 約多140倍，不讓鈾238得到大部分中子，豈不是想入非非!　然而，在這個問題上，另一件事實幫了忙。這就是鈾的兩種同位素“俘獲中子的能力”隨中子運動速度的不同而不同。對于裂變時所產(chǎn)生的快中子，兩者的俘獲能力相同，因此，每有一個中子轟擊到鈾235的原子核，就有一百四十個中子被鈾238所俘獲。對于中等速度的中子來說，鈾238的俘獲能力甚至比鈾235 還要強。不過，重要的一點是：當中子速度很低時，鈾235能比鈾238俘獲到多得多的中子。因此，如果我們能使裂變產(chǎn)生的高速中子在與下一個鈾(238或235)原子核相遇之前，先大大減速，那么，鈾235的數(shù)量雖少，卻會比鈾238有更多的機會來俘獲中子。
      　　我們把天然鈾的小顆粒，摻在某種能使中子減速而本身又不會俘獲大量中子的物質(減速劑)里面，就可得到減速裝置。最好的減速劑是重水、碳、鈹鹽。從圖76可以看出，這樣一個散布在減速劑中的鈾顆粒“堆”是如何工作的。
      　　我們說過，鈾的輕同位素鈾235（只占天然鈾的0.7%）是唯一能維持逐步發(fā)展的鏈式反應、并放出巨大核能的天然裂變物質。但這并不等于說，我們不能人工制造出性質與鈾235相同、而在自然界中并不存在的元素來。事實上，利用裂變物質在鏈式反應中所產(chǎn)生的大量中子，我們可以把原來不能發(fā)生裂變的原子核變?yōu)榭梢粤炎兊脑雍恕?/p>
      　　第一個這種例子，就是上述由鈾和減速劑混合成的反應堆。我們已經(jīng)看到，在使用減速劑以后，鈾238 俘獲中子的能力會減小到足以讓鈾235進行鏈式反應的程度。然而，還是會有一些鈾238的原子核俘獲到中子。這一來又會發(fā)生什么情形呢?
      　　鈾238的核在俘獲一個中子后，當然就馬上變成更重的同位素鈾239。不過，這個新生子核的壽命不長，它會相繼放出兩個電子，變成原子序數(shù)為94的新元素的原子。這種人造新元素叫做钚(Pu－239)，它比鈾23 5還容易發(fā)生裂變。如果我們把鈾238換成另一種天然放射性元素釷(Th-232)，它在俘獲中子和釋放兩個電子后，就變成另一種人造裂變元素鈾233。
      　　因此，從天然裂變元素鈾235開始，進行循環(huán)反應，理論上和實際上都可能將全部天然鈾和釷變成裂變物質，成為富集的核能源。
      　　最后，讓我們大致計算一下，可供人類用于和平發(fā)展或自我毀滅的戰(zhàn)爭中的總能量有多少。計算表明，所有天然鈾礦中的鈾235所蘊藏的核能，如果全部釋放出來，可以供全世界的工業(yè)使用數(shù)年；如果考慮到鈾238轉變成钚的情況，時間就會加長到幾個世紀。再考慮到蘊藏量四倍于鈾的釷(轉變?yōu)殁?33)，至少就可用一、兩千年。這足以使任何“原子能匱乏”論不能立足了。
      　　而且，即使所有這些核能源都被用光，并且也不再發(fā)現(xiàn)新的鈾礦和釷礦，后代人也還是能從普通巖石里獲得核能。事實上，鈾和釷也跟其他元素一樣，都少量地存在于一切普通物質中。例如，每噸花崗巖中含鈾4克，含釷12克。乍一看來，這未免太少了。但不妨往下算一算：一公斤裂變物質所蘊藏的核能相當于兩萬噸TNT炸藥爆炸時或兩萬噸汽油燃燒時所放出的能量。因此，一噸花崗巖中的這16克鈾和釷，就相當于320噸普通燃料。這就足以補償復雜的分離步驟所會帶來的一切麻煩了一一特別是在當我們面臨富礦源趨于站竭的時候。
      　　物理學家們在征服了鈾、釷之類的重元素裂變時所釋放的能量后，又盯上了與此相反的過程一一核聚變，即兩個輕元素的原子聚合成一個重原子核，同時釋放出大量能量的過程。在第十一章里，大家會看到，太陽的能量就來自因氫核進行猛烈的熱碰撞而合成較重的氮核這種聚變反應。為了實現(xiàn)這種所謂熱核反應，以供人類應用，最適用的聚變物質是重氫，即氘。氘在水里以少量存在。氘核含有一個質子和一個中子。當兩個氘相撞時，會發(fā)生下面兩個反應當中的一個：
      　　為了實現(xiàn)這種變化，氘必須處于幾億度的高溫下。
      　　第一個實現(xiàn)核聚變的裝置是氫彈，它用原子彈來引發(fā)氘的聚變。不過，更復雜的問題是如何實現(xiàn)可為和平目的提供大量能量的受控熱核反應。要克服主要的困難一一約束極熱的氣體一一可利用強磁場使氘核不與容器壁接觸（否則容器會熔化和蒸發(fā)!），并把它們約束在中心的熱區(qū)內(nèi)。
      　　第八章　無序定律
      　　l．熱的無序
      　　斟上一杯水，并且仔細觀察它，這時，你看到的只是一杯清澈而均勻的液體，看不出有任何內(nèi)部運動的跡象(當然，這是指不晃動玻璃杯而言)。但我們知道，水的這種均勻性只是一種表面現(xiàn)象。如果把水放大幾百萬倍，就會看出它具有明顯的顆粒結構，是由大量緊緊地挨在一起的單個分子組成的。
      　　在這樣的放大倍數(shù)下，我們還可以清清楚楚地看到，水絕非處于靜止狀態(tài)。它的分子處在猛烈的騷動中，它們來回運動，互相推擠，恰似一個極度激動的人群。水分子或其他一切物質分子的這種無規(guī)運動叫做熱運動，因為熱現(xiàn)象就是這種運動的直接結果。盡管肉眼不能察覺到分子和分子的運動，但分子的運動能對人體器官的神經(jīng)纖維產(chǎn)生一定刺激，從而使人產(chǎn)生熱的感覺。對于比人小得多的生物，如懸浮在水滴中的細菌，這種熱運動的效應就要顯著得多了。這些可憐的細菌會被進行熱運動的分子從四面八方無休止地推來搡去，得不到安寧(圖77)。這種可笑的現(xiàn)象是大約一百年前被英國生物學家布朗(Robert　　Brown)在研究植物花粉時首次發(fā)現(xiàn)的，因此被稱為布朗運動。這是一種普遍存在的運動，可在懸浮在任何一種液體中的任何一種物質微粒(只要足夠細小)上觀察到，也可以在空氣中飄浮的煙霧和塵埃上觀察到。
      　　如果把液體加熱，那么，懸浮小微粒的狂熱舞蹈將變得更為奔放；如果液體冷卻下來，舞步就會顯著變慢。毫無疑問，我們所觀察到的現(xiàn)象正是物質內(nèi)部熱運動的效應。因此，我們通常所說的溫度不是別的，而正是分子運動激烈程度的量度。通過對布朗運動與溫度的關系進行研究，人們發(fā)現(xiàn)在溫度達到攝氏－273度，即華氏－459度時，物質的熱運動就完全停止了。這時，一切分子都歸于靜止。這顯然就是最低的溫度。它被稱為絕對零度。如果有人提起更低的溫度，那顯然是荒唐的。因為哪里會有比絕對靜止更慢的運動呢?
      　　一切物質的分子在接近絕對零度這個溫度時，能量都是很小的。因此，分子之間的內(nèi)聚力將把它們緊聚成固態(tài)的硬塊。這些分子只能在凝結狀態(tài)下作輕微的顫動。如果溫度升高，這種顫動就會越來越強烈；到了一定程度，這些分子就可以獲得一定程度的運動自由，從而能夠滑動。這時，原先在凝結狀態(tài)下所具有的硬度消失了，物質就變成了液體。物質的熔解溫度取決于分子內(nèi)聚力的強度。有些物質，如氫或空氣(氮和氧的混合物)，它們分子間的內(nèi)聚力很微弱，在很低的溫度下就會被熱運動所克服。氫要到14K(即－259℃)下才處于固體狀態(tài)，氧和氮則分別在55K和64K(即－218℃和－209℃)時熔解。另一些物質的分子則有較強的內(nèi)聚力，因此能在較高溫度下保持固態(tài)。例如，酒精能保持固態(tài)到－114℃，固態(tài)水(即冰)在0℃時才融化。還有一些物質能在更高的溫度下保持固態(tài)：鉛在+327℃熔解，鐵在+1535℃，而稀有金屬鋨能堅持到2700℃。物質在處于固態(tài)時，它們的分子是被緊緊束縛在一定的位置上，但絕不是不受熱的影響。根據(jù)熱運動的基本定律，處在相同溫度下的一切物質，無論固體、液體還是氣體，其單個分子所具有的能量是相同的；只不過對某些物質來說，這樣大的能量已足以使它們的分子從固定位置上掙脫開來，而對另一些物質來說，分子只能在原振動，如同被短鏈子拴住的狂怒的狗一樣。
      　　固體分子的這種熱顫動或熱振動，在上一章所描述X光照片中可以很容易地觀察到。我們確實知道，攝得一張晶格分子的照片需要一定時間，因此在這段曝光時間內(nèi)，絕對不能允許分子離開自己的固定位置。來回顫動非但無助于拍照，反而會使照片模糊起來。這種模糊現(xiàn)象可從圖版I那分子照片上看到。為了得到清晰的圖象，必須盡可能把晶體冷卻，這一般是把晶體浸到液態(tài)空氣中來實現(xiàn)的。反過來，如果把被攝影的晶體加熱，照片就會變得越來越模糊。當達到熔點時，由于分子脫離原來的位置，在熔解的液體里無規(guī)地運動起來，它的影象就會完全消失。
      　　在固體熔化后，分子仍然會聚在一起。因為熱沖擊雖然已大得能把分子從晶格上拉下來，卻還不足以使它們完全離開。然而，當溫度進一步升高時，分子間的內(nèi)聚力就再也不能把分子聚攏在一起了。這時，如果沒有容器壁的阻擋，它們將沿各個方向四散飛開。這樣一來，物質當然就處在氣態(tài)了。液體的氣化也和固體的熔化一樣，不同的物質有不同的溫度；內(nèi)聚力弱的物質變成氣體所需達到的溫度要比內(nèi)聚力強的物質低。氣化溫度還與液體所受壓力的大小有重大關系，因為外界的壓力顯然是會幫內(nèi)聚力的忙的。我們知道，正因為如此，封得很嚴實的一壺水，它的沸騰溫度要比在敞開時高；另—方面，在大氣壓大為減低的高山頂上，水不到100℃就會沸騰。順便提一下，測量水在某個位置上的沸騰溫度，就可以計算出大氣壓強，也就可以知道這個位置的海拔高度。
      　　但是，可不要學馬克·吐溫(Mark　Twain)所說的那個例子?。∷谝黄适吕镏v到，他曾把一支無液氣壓計放到煮豌豆湯的鍋子里。這樣做非但根本不能判斷出任何高度，這鍋湯的滋味還會被氣壓計上的銅氧化物弄壞。
      　　一種物質的熔點越高，它的沸點也越高。液態(tài)氫在－253℃沸騰，液態(tài)氧和液態(tài)氮分別在－183℃和－196℃，酒精在+78℃，鉛在+1620℃，鐵在+3000℃，鋨要到+5300℃)。
      　　在固體那美妙的晶體結構被破壞以后，它的分子先是象一堆蛆蟲一樣爬來爬去，繼而又象一群受驚的鳥一樣飛散開，但這并不是說，熱運動的破壞力已達到極限。如果溫度再行升高，就會威脅到分子本身的存在，因為，這時候分子間的相互碰撞變得極為猛烈，有可能把分子撞開，成為單個原子。這種被稱為熱離解的過程取決于分子的強度；某些有機物質在幾百度時就會變?yōu)閱蝹€原子或原子群，另一些分子可要堅牢得多，如水分子，它要到一千度以上才會崩潰。不過，當溫度到幾千度時，分子就不復存在了，整個世界就將是純化學元素的氣態(tài)混和物。
      　　在太陽的表面上，情況就會是這樣，因為這里的溫度可達6000℃。而在比太陽“冷”一些的紅巨星1）的大氣層中，就能存在一些分子，這已經(jīng)靠專門的分析方法得到了證實。
      　　在高溫下，猛烈的熱碰撞不僅把分子分解成原子，還能把原子本身的外層電子去掉，這叫做熱電離。如果達到幾萬度、幾十萬度、幾百萬度這樣的極高溫度——這樣的溫度超過了實驗室中所能獲得的最高溫度，然而在包括太陽在內(nèi)的恒星中卻是屢見不鮮的——熱電離就會越來越占優(yōu)勢。最后，原子也完全不能存在了，所有的電子層都統(tǒng)統(tǒng)被剝?nèi)?，物質就只是一群光禿禿的原子核和自由電子的混合物。它們將在空間中狂奔猛撞。盡管原子個體遭到這樣徹底的破壞，但只要原子核完好無缺，物質的基本化學特性就不會改變。一旦溫度下降，原子核就會重新拉回自己的電子，完整的原子又形成了。
      　　為了達到物質的徹底熱裂解，使原子核分解為單獨的核子(質子和中子)，溫度至少要上升到幾十億度。這樣高的溫度，目前即使在最熱的恒星內(nèi)部也未發(fā)現(xiàn)。也許在幾十億年前，我們這個宇宙正當年輕時曾有過這種溫度。這個令人感興趣的問題，我們將在本書最后一章加以討論。
      　　這樣，我們看到，熱沖擊的結果使得按量子力學定律構筑起來的精巧物質結構逐步被破壞，并把這座宏大建筑物變成亂糟糟的一群亂外瞎撞，看不出任何明顯規(guī)律的粒子。
      　　2．如何描述無序運動?
      　　如果你認為，既然熱運動是無規(guī)則的，所以就無法對它進行任何物理描述，那可就大錯而特錯了。對于完全不規(guī)則的熱運動，有一類叫做無序定律、或者更經(jīng)常被稱做統(tǒng)計定律的新定律在起作用。為了理解這一點，讓我們先來注意—下著名的“醉鬼走路”問題。假設在某個廣場的某個燈柱上靠著一個醉鬼(天曉得他在什么時候和怎么跑到這兒來的)，他突然打算隨便走動一下。讓我們來觀察他的行動吧。他開始走了，先朝一個方向走上幾步，然后換個方向再邁上幾步，如此這般，每走幾步就隨意折個方向(圖80)。那么，這位仁兄在這樣彎彎折折地走了一段路程，比如折了一百次以后，他離燈柱有多遠呢?乍一看來，由于對每一次拐彎的情況都不能事先加以估計，這個問題似乎是無法解答的。然而，仔細考慮一下，就會發(fā)覺，盡管我們不能說出這個醉鬼在走完一定路程后肯定位于何處，但我們還是能答出他在走完了相當多的路程后距離燈柱的最可能的距離有多遠?，F(xiàn)在，我們就用嚴格的數(shù)學方法來解答這道題目。以廣場上的燈柱為原點畫兩條坐標軸，X軸指向我們，Y軸指向右方。R表示醉鬼走過N個轉折后(圖80中N為14)與燈柱的距離。若Xn和Yn。分別表示醉鬼所走路徑的第N個分段在相應兩軸上的投影，由畢達哥拉斯定理顯然可得出：
      　　R2＝(X1+X2+X3+……+Xn)^2+(Yl+Y2+Y3+……+Yn)^2 
      　　這里的X和Y既有正數(shù)，又有負數(shù)，視這位醉鬼在各段具體路程中是離開還是接近燈柱而定。應該注意，既然他的運動是完全無序的，因此在x和y的取值中，正數(shù)和負數(shù)的個數(shù)應該差不多相等。我們現(xiàn)在按照代數(shù)學的基本規(guī)則展開上式中的括號，即把括號中的每一項都與自己這一括號中的所有各項(包括自己在內(nèi))相乘。這樣，
      　　(X1+X2+X3+… …+Xn)^2=(X1+X2+X3+……+Xn)(X1+X2+X3+……+Xn)=X1^2+X1X2+XlX3+……+ X2^2+X1X2+……+Xn^2
      　　 這一長串數(shù)字包括了X的所有平方項(X1^2,X2^2,……，Xn^2)和所謂“混和積”，如X1X2，X2X3，等等。
      　　到目前為止，我們所用到的只不過是簡單的數(shù)學?，F(xiàn)在要用到統(tǒng)計學觀點了。由于醉鬼走路是無規(guī)則的，他朝燈柱走和背著燈柱走的可能性相等，因此在X的各個取值中，正負會各占—半。這樣，在那些“混和積”里，總是可以找出數(shù)值相等、符號相反的一對對可以互相抵消的數(shù)對來；N的數(shù)越大，這種抵消就越徹底。只有那些平方項永遠是正數(shù)，因而能夠保留下來。這樣，總的結果就變成
      　　X1^2+X2^2+……+Xn^2＝NX^2，
      　　X在這里表示各段路程在X軸上投影長度的平均值。
      　　同理，第二個括號也能化成NY^2，Y是段路程在Y軸投影長度的平均值。這里還得再說一遍，我們所進行的并不是嚴格的數(shù)學運算，而是利用了統(tǒng)計規(guī)律，即考慮到由于運動的任意性所產(chǎn)生的可抵消的“混和積”?，F(xiàn)在，我們得到醉漢離開燈柱的可能距離為
      　　 R^2=N(X^2+Y^2)
      　　或
      　　 R=Sqrt(N) Sqrt(X^2+Y^2)
      　　但是各路程的平均投影在兩根軸上都是45°，所以
      　　Sqrt(X^2+Y^2) 
      　　就等于平均路程長度(還是由畢達哥拉斯定理證得)。用1來表示這個平均路程長度時，可得到
      　　R=1 Sqrt(N) 
      　　通俗的語言來說，這就是：醉鬼在走了許多段不規(guī)則的彎折路程后，距燈柱的最可能距離為各段路徑的平均長度乘以徑段數(shù)的平方根。
      　　因此，如果這個醉鬼每走一碼就(以隨意角度)拐一個彎，那么，在他走了一百碼的長路后，他距燈柱的距離一般只有十碼；如果筆直地走呢，就能走一百碼——這表明，走路時有清醒的頭腦肯定會占很大便宜的。
      　　從上面這個例子可以看出統(tǒng)計規(guī)律的本質：我們給出的不是每一種場合下的精確距離，而是最可能的距離。如果有一個醉鬼偏偏能夠筆直走路不拐彎(盡管這種醉鬼是太罕見了)，他就會沿直線離開燈柱。要是有另一個醉鬼每次都轉180°的彎，他就會離開燈柱又折回去。但是，如果有一大群醉鬼都從同一根燈柱開始互不干擾地走自己的彎彎路，那么，過一段足夠長的時間后，你將發(fā)現(xiàn)他們會按上述規(guī)律分布在燈柱四周的廣場上。 圖81畫出了六個醉漢無規(guī)則走動時的分布情況、不消說，醉漢越多、不規(guī)則彎折的次數(shù)越多，上述規(guī)律也就越精確。
      　　現(xiàn)在，把一群醉鬼換成一批很小的物體，如懸浮在液體中的植物花粉或細菌，你就會看到生物學家布朗在顯微鏡下看到的那種現(xiàn)象。當然，花粉和細菌是不喝酒的，但我們曾說過，它們被卷入了周圍分子的熱運動，被它們不停地踢向各個方向，因此被迫走出彎彎曲曲的路，恰像那因酒精作怪而失去了方向概念的人一樣。
      　　在用顯微鏡觀看懸浮在一滴水中的許多小微粒的布朗運動時，你可以集中精力觀察在某個時刻位于同一小區(qū)域內(nèi)(靠近“燈柱”)的一批微粒。你會發(fā)現(xiàn)，隨著時間的推移，它們會逐漸分散到視場中的各個地方，而且它們與原來位置的距離同時間的平方根成正比，正如我們在推導醉鬼公式時所得到的數(shù)學公式一樣。
      　　這條定律當然也適用于水滴中的每—個分子。但是，人們是看不見單個分子的，即使看見了，也無法將它們互相區(qū)別開。因此，我們得采用兩種不同的分子，憑借它們的不同（如顏色)而看出它們的運動來?，F(xiàn)在，我們拿一個試管，注入一半呈漂亮紫色的高錳酸鉀水溶液，再小心地注入一些清水，同時注意不要把這兩層液體搞混。觀察這個試管，我們就會看到，紫色將漸漸進入清水中去。如果觀察足夠長的時間，全部液體就會從底部到頂部都變成顏色均勻的統(tǒng)一體。這種大家所熟知的現(xiàn)象叫做擴散，它是高錳酸鉀染料的分子在水中的無規(guī)則熱運動所引起的。我們應該把每個高錳酸鉀分子想象成一個小醉鬼，被周圍的分子不停地沖來撞去。水的分子彼此挨得很近(與氣體分子相比)，因此，兩次連續(xù)碰撞間的平均自由程很短，大約只有億分之一英寸。另一方面，分子在室溫下的速度大約為每秒十分之一英里，因此，一個分子每一萬億分之一秒就會發(fā)生一次碰撞。這樣，每經(jīng)過一秒鐘，一個單個染料分子發(fā)生碰撞并折換方向的次數(shù)達上萬億次，它在一秒鐘內(nèi)走出的距離就是億分之一英寸(平均自由程)乘以一萬億的平方根，即每秒鐘走出百分之一英寸。這就是擴散的速度?？紤]到在沒有碰撞時分子在一秒鐘后就會跑到十分之一英里以外的地方去，可見，這種擴散速度是很慢的。要等上一百秒鐘，分子才會挪到十倍( Sqrt(100)=10)遠的地方；要經(jīng)過10,000秒鐘，也就是將近三個小時，顏色才會擴展一百倍(Sqrt(10000)=100 )，即一英寸遠。瞧，擴散可是個相當慢的過程啊。所以，如果你往茶里放糖(歐美人喝茶有放糖的習慣)，還是要攪動攪動，不要干等糖分子自行運動到各處去。
      　　我們再來看一個擴散的例子：熱在火爐通條中的傳導方式，這是分子物理學中最重要的過程之一。把一根鐵通條的一端插入火中，根據(jù)經(jīng)驗可知，另一端要在相當長的時間之后才會變得燙手。你大概并不知道這熱量是靠電子的擴散傳遞過來的。爐通條也好，其他各種金屬也好，內(nèi)部都有許多電子。這些電子和諸如玻璃之類的非金屬中的電子不同，金屬中那些位于外電子殼層的電子能夠脫離原子，在金屬晶格內(nèi)游蕩。它們會像氣體中的微粒一樣參與不規(guī)則熱運動。
      　　金屬物質的外表面層是會對電子施加作用力、不讓它們逃出的；但在金屬內(nèi)部，電子卻幾乎可以隨意運動。如果給金屬線加上一個電場作用力，這些不受約束的自由電子將沿著電場作用力的方向沖過去，形成電流；而非金屬的電子則被束縛在原子上，不能自由運動，因此，非金屬大都是良好的絕緣體。
      　　當把金屬棒的一端插入火中，這一部分金屬中自由電子的熱運動便大為加劇；于是，這些高速運動的電子就開始攜帶過多的熱能向其他地區(qū)擴散。這個過程很象染料分子在水擴散的情況，只不過這里不是兩種不同的微粒(水分子和染料分子)，而是熱電子氣擴散到冷電子氣的區(qū)域中去。醉鬼走路的定律在這里也同樣適用，熱在金屬棒中傳遞的距離與相應的時間的平方根成正比。
      　　最后，再舉—個與前二者截然不同而具有宇宙意義的重要擴散例子。在下一章中，我們將看到，太陽的能量是由它自己內(nèi)部深處的元素在嬗變時產(chǎn)生的。這些能量以強輻射的形式釋放出去。這些“光微?！?，或者說光量子、從太陽內(nèi)部向表面運動。光的速度為每秒300000公里，太陽的半徑為700000公里。所以，如果光量子走直線的話，只消兩秒多鐘就會從中心到達表面。但事實上絕非如此。光量子在向外行進時，要與太陽內(nèi)部無數(shù)的原子和電子相撞。光量子在太陽內(nèi)的自由程約為一厘米（比分子的自由程長多了！），太陽的半徑是70，000，000，000厘米，這樣，光量子就得象醉漢那樣拐上（7×10＾10）＾2即5×10＾21個彎才能到達表面。這樣，每一段路需要花1/（3×10＾10） 即3×10＾－11 秒，而整個旅程所用的時間即為3×10＾－11×5×10＾21＝1.5×10＾11 秒，也就是五千年上下！這一回，我們又一次看到擴散過程是何等緩慢。光從太陽中心走到表面要花五十個世紀，而從太陽表面穿越星際空間直線到達地球，卻僅僅用八分鐘就夠了！
      
                                          		
                                
      
                                  
                        
      
                    
      



                
      
                
      
                    
                    
                        
      
                            
                                
        
                                    		
                        
        
                            
                
        
                
        
                
                
                
        
                
        


                

                
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