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空間軌跡問題 昨天聽了張老師的一場報(bào)告，是有不少感慨的。 作為一線教師，相信大都如我一樣，疲于課堂教學(xué)，恐怕極少會(huì)有教學(xué)之外的、更深層次的思考吧。 當(dāng)然，也可能只是缺少了契機(jī)而已。 專家的解惑，更讓人體會(huì)到理論與實(shí)踐、理想與現(xiàn)實(shí)的差異。面對高考升學(xué)的壓力和社會(huì)急功近利的關(guān)注，讓我們感覺到了更多的困惑。 深深的自責(zé)之后，更有深深的不安。 雖然因?yàn)橐暯堑牟煌?，有些觀點(diǎn)可能還不太一樣，但最終的目標(biāo)是相同的。 深有同感下，就想陸續(xù)的寫點(diǎn)什么。 所以， 就首先有了今天的這個(gè)“空間的軌跡”了。 也是應(yīng)前幾日學(xué)生的要求，而做出的回應(yīng)。  例 題 講 解  分析：因?yàn)锳1C為定直線，點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過程中若保持MN與A1C的垂直關(guān)系不變，則MN必在經(jīng)過點(diǎn)M且與A1C垂直的平面內(nèi)，故點(diǎn)N在該平面與已知平面的交線上，交線顯然為線段。故本題選A. 教師提醒： 其實(shí)，這類問題，對動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中元素性質(zhì)的分析，是非常重要的。 抓住變化過程中的不變關(guān)系，是最關(guān)鍵的。   分析：因?yàn)锳B1⊥面A1BCD1，故過面A1BCD1內(nèi)點(diǎn)P作AB1垂線，垂足一定是圖中的交點(diǎn)G了。 此時(shí)，題給條件即為動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)G的距離與到直線BC的距離相等，由圓錐曲線定義知其軌跡為拋物線。故本題選D. 教師提醒： 說起軌跡，我們首先想到的當(dāng)是解析幾何中的軌跡問題， 還有不少求軌跡方程的方法吧？ 那么空間與解析幾何中軌跡的唯一區(qū)別，就是空間與平面的區(qū)別了， 那還猶豫什么呢， 趕緊想辦法，將涉及到的空間元素，盡可能遷移到同一平面內(nèi)唄，用我們最拿手的解析幾何方法去處理。 所以，數(shù)學(xué)解題過程中，化歸意識(shí)才是最至關(guān)重要的。 
分析：因?yàn)榫€段AB是固定的，三角形PAB的面積為定值，實(shí)際上就是說點(diǎn)P到直線AB的距離為定值。 因此，點(diǎn)P應(yīng)該在以AB為軸線的圓柱側(cè)面上。 所以，點(diǎn)P的軌跡，應(yīng)當(dāng)就是圓柱的側(cè)面與平面α的交線了，顯然為橢圓。 故本題選B. 教師提醒： 其實(shí)，關(guān)于軌跡問題最常規(guī)的處理，是逐步縮小動(dòng)點(diǎn)的活動(dòng)范圍，直至最后確定它的運(yùn)動(dòng)軌跡。 就象此題的思路，先確定點(diǎn)在圓柱上，再確定在平面與圓柱的交線上。 當(dāng)然，你首先得知道： 平面內(nèi)到定直線的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是兩平行線， 空間內(nèi)到定直線的距離為定值的點(diǎn)的軌跡為圓柱側(cè)面。 還有，如果對丹德林雙球不太熟悉，可能也不會(huì)快速做出反應(yīng)吧？ 
分析：與定直線夾角為定值的點(diǎn)，一定在以該直線為軸線的圓錐側(cè)面上。那本題中的動(dòng)點(diǎn)P，就應(yīng)該是面BB1C1C與該圓錐的交線了。交線為雙曲線一部分。 故本題選C. 教師提醒： 很多同學(xué)都選拋物線了吧？ 那你一定是忘記了以前我們說過的“丹德林雙球”了。 附：丹德林雙球模型（圓錐曲線篇首導(dǎo)入視頻）
分析：動(dòng)點(diǎn)A不僅在平面內(nèi)，同時(shí)也在以BC為軸線的一個(gè)圓錐側(cè)面上。 只是尷尬的是，我們不知道平面和圓錐具體的位置關(guān)系是怎樣的，那就是幾種圓錐曲線都有可能了。因此就選了D. 教師提醒： 為什么幾種可能性都存在呢？ 看來， 是時(shí)候要徹底弄清楚“丹德林雙球”到底是個(gè)什么玩意兒了。 還記得講拋物線時(shí)的這個(gè)引入視頻嗎? 雖然連標(biāo)題都不小心打錯(cuò)了， 但視頻所蘊(yùn)含的意思已經(jīng)到位了。
分析：顯然，PM≥PO,則PM≥PH，則在面ABC內(nèi)，點(diǎn)P應(yīng)在∠ABC的平分線和AB之間. 從四個(gè)選項(xiàng)看，應(yīng)選D. 教師提醒： 有學(xué)生說，老師，我可以用排除法輕松搞定這個(gè)答案！ 確實(shí)的，考試有考試的辦法，畢竟做對就行了。 但平時(shí)，還是要了解下常規(guī)的思路。 本題和前面題最大的不同，在于實(shí)在是想不出來軌跡是誰了，那我們只能盡可能的分析其特征，看看能不能用排除法或特殊值法了。 作為考試來說，也是很好的思路。
留個(gè)懸念，自己思考唄！ 方法總結(jié) 其實(shí)，不難看出，這種空間的軌跡問題，研究的主要還是解析幾何中的幾種曲線： 直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線 基于這種認(rèn)識(shí)，常規(guī)的思路就比較清楚了： 1.幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定； 2.截面法：根據(jù)丹德林雙球進(jìn)行判定； 3.定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題， 用圓錐曲線定義判定，或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算； 4.其它：如果以上有困難， 根據(jù)題型特征采用特殊值或排除法。 End |
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