分析：

       已知向量a,b，結(jié)合上圖由向量的加減運算法則，可得到如下不等式：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

       或者由|a±b|²=|a|²+|b|²±2|a||b|cosθ，以及cos<a,b>∈[-1,1]，其中θ=<a,b>，也可以得到(|a|-|b|)²≤|a±b|²≤ (|a|+|b|)².

       這個不等式理解起來沒問題，但是很難用好，將向量a和b改成實數(shù)也可以，這就是不等式選講中的三角不等式，那個不等式在初一學習了絕對值以后大家都可以理解，但是用起來也很困難.

       當|a|=1,|b|=2時，有1≤|a-b|≤3，1≤|a+b|≤3，當然我們不能說|a-b|+|a+b|的最小值為2，最大值為6，這是因為|a-b|等于1的時候，a和b同向，|a+b|等于3，等號不能同時取到，也就是|a+b|和|a-b|是相互有關(guān)聯(lián)的.

       其實可以由|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|以及|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|，可得|a+b|+|a-b|≥4，當a和b共線時取到等號.

       但是|a+b|+|a-b|的最大值沒法求.

       由|a+b|=√(5+4cosθ)，|a-b|=√(5-4cosθ)，

        所以|a+b|+|a-b|=√(5+4cosθ)+√(5-4cosθ)，這兒可以構(gòu)造關(guān)于θ的函數(shù)求導來做，但是沒必要.

       因為可以平方，由(|a+b|+|a-b|)²=10+2 √(25-16cos²θ)∈[16,20]，

       所以|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].

       或者由|a+b|²+|a-b|²=2|a|²+2|b|²(這可是非常重要的一個結(jié)論： 其幾何意義就是平行四邊形對角線平方和等于四條邊的平方和).

       可得|a+b|²+|a-b|²=10，設|a+b|=x，|a-b|=y.

       則該題變?yōu)檫@么一道題：已知1≤x≤3，1≤y≤3，x²+y²=10，求z=x+y的取值范圍.

       畫出圖象如下：

       可以很快得到答案.