一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：方程符合x2＝m(m≥0)或(x±m(xù))2＝n(n≥0)的形式；

(2)配方法：①二次項系數(shù)化為1；②移項；③配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；④原方程寫成a(x＋h)2＝k的形式；⑤當k≥0時，直接開平方求解；

(3)公式法：①化為一般形式；②確定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④當b2－4ac≥0時，將a，b，c的值代入得x＝________________；

(4)因式分解法：①將方程右邊化為0；②將方程左邊進行因式分解；③令每個因式為零，得兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，得原方程的兩個根．

解方程思想：

1.優(yōu)先考慮因式分解法與直接開平方法；

(1)若缺少常數(shù)項用因式分解法求解；

(2)若缺少一次項，用平方差分解因式法或直接開平方法。

2.如果二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)，考慮使用配方法。

3.如無要求，其余使用公式法求解。

4.整體因式分解法的思想要擁有。

5.拿到方程先觀察，合理進行化簡。

6.實際問題方程更要合理整理化簡，選擇恰當?shù)慕夥ā?/p>

實際問題常見類型

1.傳播問題

若傳染源的數(shù)量是a，傳播速度是x，則一輪傳染后，感染者總數(shù)是a+ax,二輪傳染時，傳染源數(shù)量為a+ax，傳播速度不變下，所以二輪傳染后，感染者總數(shù)是

a+ax+x(a+ax)

=a[1+x+x(1+x)]

=a(1+x)2

注意：

第二輪傳染中，傳染源的數(shù)量是a(1+x),新傳染的數(shù)量是ax(1+x);

解法，應用直接開平方法。

要對答案進行取舍。

例： 雞瘟是一種傳播速度很快的傳染病，一輪傳染為一天時間，紅發(fā)養(yǎng)雞場于某日發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種病．若每例病雞傳染健康雞的只數(shù)均相同，則每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為多少？

2.數(shù)字問題

若一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為a，個位上數(shù)字為b，則這個數(shù)是10a+b;若一個三位數(shù)的百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字為b，個位上數(shù)字為c，則這個數(shù)是100a+10b+c.

例：一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字大2，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后平方，所得的數(shù)值比原來的兩位數(shù)大138，求原來的兩位數(shù)？

3.平均增長率問題

a為起始量，Q為終止量，n為增長（或降低）的次數(shù)，平均增長量公式為

a(1+x)?=Q （x為平均增長率）； a(1-x)?=Q （x為平均降低率）

例．某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強了對教育經(jīng)費的投入，2017年投入5000萬元，預計2019年投入8000萬元．設教育經(jīng)費的年平均增長率為x，則列出的方程為____________．

4.商品銷售問題

總利潤=單件利潤×銷售件數(shù)

銷售件數(shù)=原銷售件數(shù)+降價增加件數(shù) =原銷售件數(shù)-漲價減少件數(shù)

考慮到對定價的限制；注意商家的態(tài)度（更加讓利，貨源緊張壓貨）

解方程時先化簡整理，思考用十字相乘分解因式或配方法優(yōu)先

例1：某商場銷售一批襯衫，現(xiàn)在平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，商場決定采用降價措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫的售價降低1元，那么商場平均每天可多售出2件．商場若要平均每天盈利1200元，每件襯衫應降價多少元?

例2：某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系．每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元．要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出的方程是________.

5.圖形面積問題

涉及常見公式。

三角形面積 矩形面積 菱形面積

梯形面積 圓面積 勾股定理 周長公式

圖形問題常將數(shù)量關(guān)系隱含在圖形中，審題時需要結(jié)合圖形分析，當所涉及的圖形是不規(guī)則圖形時，其關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，然后通過規(guī)則圖形面積和或差列方程。

面積問題常見類型：

①如圖①，陰影部分面積為：S＝(a－2x)(b－2x)；

②如圖②，③，陰影部分的面積為：S＝(a－x)(b－x)．

例：如圖，在寬為20 m，長為32 m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540 m²，求道路的寬．如果設小路寬為x m，根據(jù)題意，所列方程正確的是( )

A．(20－x)(32－x)＝540

B．(20－x)(32－x)＝100

C．(20＋x)(32－x)＝540

D．(20－x)(32＋x)＝540

6.握手問題（循環(huán)問題）

比賽循環(huán)；互相握手；

互發(fā)問候短信（互贈賀卡）；

平面內(nèi)n個點，構(gòu)成線段條數(shù)；

多邊形對角線條數(shù)；

1+2+…+n=?

規(guī)律關(guān)系式

分清互聯(lián)次數(shù)；對應好相應的公式；整理成一般形式求解；檢驗解是否合理。

例1：某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛機場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，則這個航空公司共有飛機場多少個？

例2：新年來臨，某團隊若干人互發(fā)微信進行問候，共發(fā)了30條微信，問這個團隊共有幾人？

例3： 如圖有一個三角形點陣，從上向下有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第n行有n個點。

（1）容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點陣中前4行的點數(shù)之和．你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點數(shù)之和嗎？

（2）三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．

通過以上歸納，希望能夠有一點收獲。