《生命之流》系張江老師2008年至2009年，利用閑暇時(shí)間所構(gòu)思的一本科普集。主要內(nèi)容包括：從復(fù)雜到生命、自主生命體簡史、重新發(fā)現(xiàn)時(shí)間、從永動(dòng)機(jī)到人工智能、連接上帝的紐帶——熵等章節(jié)?，F(xiàn)將已公開部分刊出，希望能夠和大家共同學(xué)習(xí)。

究竟熱力學(xué)第二定律是怎么來的？要知道，在微觀物理理論中并不存在我們熟悉的那個(gè)時(shí)間之箭。當(dāng)然，我們完全可以既接受牛頓物理對(duì)世界的描述，同時(shí)又接受熱力學(xué)這樣一套完全平行、不相關(guān)的描述。但是這樣的分離狀況不能讓我們滿意，上帝不太可能費(fèi)事兒地設(shè)計(jì)兩套不相干的物理規(guī)律，這兩者之間必然存在著某種聯(lián)系?？藙谛匏沟撵馗拍钜呀?jīng)把這個(gè)問題用簡單清晰的數(shù)學(xué)公式表達(dá)出了，但是這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)槲覀內(nèi)匀徊恢浪奈锢砗x。

正在這時(shí)，一個(gè)世紀(jì)偉人：玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann，1844～1906）登場了。通過把熱力學(xué)現(xiàn)象解釋成大量分子相互作用的統(tǒng)計(jì)行為，玻爾茲曼成功地創(chuàng)立了統(tǒng)計(jì)物理這門學(xué)科。這樣，熵、熱量、溫度、功等等概念全部具有了合理的解釋，那條險(xiǎn)些斷裂的連接經(jīng)典物理和熱物理的紐帶又被重新拼接起來，這一切都要?dú)w功于玻爾茲曼提出的統(tǒng)計(jì)熵概念。然而，在19世紀(jì)末，因?yàn)樵诱撋惺且粋€(gè)存在著很大爭議的課題，玻爾茲曼把他的理論奠定在原子論的基礎(chǔ)上顯然是一種大膽、叛逆的行為。因此，他的觀點(diǎn)遭到了主流科學(xué)家的批判，并最終導(dǎo)致了他的自殺——?dú)v史上一個(gè)最可悲的不可逆事件！然而，玻爾茲曼的工作并沒有就此死掉，美國的物理學(xué)家、化學(xué)家吉布斯（Gibbs Josiah Willard, 1839-1903）擔(dān)當(dāng)起了進(jìn)一步發(fā)展統(tǒng)計(jì)物理的重任。他通過運(yùn)用另外一種不同的方法定義熵，從而大大拓展了熱力學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域。受到了吉布斯和玻爾茲曼等人工作的影響，天才的信息論創(chuàng)始人申農(nóng)（Claude Elwood Shannon,1916-2001）將熵的含義進(jìn)一步抽象，使其能在通信和信息科學(xué)中大放異彩。到此，熵已經(jīng)可以作為一個(gè)系統(tǒng)概念（而不是物理概念）而存在了，因此我們得到了一條從熱物理到統(tǒng)計(jì)物理，再到信息論的發(fā)展路徑。然而，吉尼斯（E. T. Jaynes）卻并不這樣看，他反過來認(rèn)為信息論以及最大化信息熵應(yīng)該作為統(tǒng)計(jì)物理的新假設(shè)。因此，他獨(dú)立建立起了一套“主觀”的統(tǒng)計(jì)物理理論。

本章將從玻爾茲曼熵開始一直到吉尼斯的統(tǒng)計(jì)物理，并盡量安排一些具體的例子來說明問題。沿著條思路，我們將看到系統(tǒng)之中的目的性行為：時(shí)間之箭是如何一步一步與觀察者的主觀判斷聯(lián)系到一起的，這一章的討論將為后面的流動(dòng)問題奠定基礎(chǔ)。

第一個(gè)例子看似與熱物理并不相關(guān)，但實(shí)際上玻爾茲曼的思想和方法已經(jīng)被完全包含其中了。

例1  隨機(jī)數(shù)程序

這是一個(gè)簡單的計(jì)算機(jī)程序，它在每一周期都隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)隨機(jī)數(shù)，如x₁,x₂,…,x_N，并且每個(gè)數(shù)的值都要么是0要么是1。假設(shè)你看不到這個(gè)程序內(nèi)部的運(yùn)行機(jī)理，但能夠看到每一個(gè)周期這N個(gè)數(shù)的和，記為M=x₁ x₂ … x_N。每一周期運(yùn)行的偽代碼如下：

RandomNum(Integer N){

       Integer M=0;

       For(i=1 to N){

              R= Random(0,1);

              M=M R;

     }

       Return M;

}

反復(fù)運(yùn)行該程序你將看到什么結(jié)果？答案很簡單，你將經(jīng)常觀察到N/2這個(gè)數(shù)，也會(huì)偶爾觀察到N/2-1或者 1等附近的數(shù)。比如，當(dāng)N=6，那么你將很可能會(huì)觀察到3，偶爾會(huì)看到4、2等，而不太可能觀察到0或者6。當(dāng)N變得越來越大的時(shí)候，結(jié)果N/2出現(xiàn)的次數(shù)也會(huì)變大。

通過簡單運(yùn)算，就能得到假如N=6，那么出現(xiàn)M=0就意味著所有的隨機(jī)變量x₁,x₂,…,x₆=0，也就是說要實(shí)現(xiàn)M=0這個(gè)結(jié)果，那些隨機(jī)變量就有一種可能取值：它們都等于0。

如果x₁~x₆之中有一個(gè)出現(xiàn)1，其它都是0，那么就可以讓M=1，這樣要實(shí)現(xiàn)M=1這個(gè)結(jié)果，就可以有6種可能性，即x₁~x₆分別取100000或者010000或者001000，……等等。

當(dāng)M=2的時(shí)候，只要6個(gè)數(shù)中有兩個(gè)取1，其它都是0就可以了。即包括：110000, 101000, 100100, 100010, 100001, 011000, 010100, 010010, 010001, 001100, 001010, 001001, 000110, 000101, 000011這15種情況。

更一般的，一共有種讓M=k出現(xiàn)的可能情況，我們記它為Ω(k)。

在這個(gè)簡單例子中，對(duì)這些隨機(jī)變量x_i的一次全部賦值稱為系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)。例如，100100、000000、101010就都是系統(tǒng)的微觀態(tài)。而我們稱這些隨機(jī)數(shù)的一種可能和值M叫做系統(tǒng)的一個(gè)宏觀態(tài)。例如M=0,2,6…都是可能的宏觀態(tài)。Ω(k)的自然對(duì)數(shù)，即當(dāng)宏觀態(tài)是M=k的時(shí)候?qū)?yīng)的lnΩ(k)就是該系統(tǒng)的熵（或者叫做玻爾茲曼熵），即：

     （1）                      

為了看清楚這幾個(gè)量之間的關(guān)系，可以畫出下面的示意圖。

圖5-1  隨機(jī)數(shù)實(shí)例中各種概念之間的關(guān)系

一般來講，系統(tǒng)產(chǎn)生的宏觀結(jié)果（宏觀態(tài)）可能是由很多種微觀因素造成的。而觀察者往往看不到那些微觀因素，僅僅能看到系統(tǒng)的宏觀表現(xiàn)。這就導(dǎo)致了一種從微觀狀態(tài)到宏觀狀態(tài)的映射，所以該例子中的求和過程就相當(dāng)于是一種觀察引起的壓縮作用，它使得我們可以從宏觀狀態(tài)來把握系統(tǒng)，但是不可避免地就會(huì)損失對(duì)系統(tǒng)精確描述的信息，這就對(duì)應(yīng)了每個(gè)宏觀態(tài)實(shí)際上“壓縮”的微觀狀態(tài)數(shù)目，即Ω(k)。由于Ω可能是一個(gè)很大的數(shù)，所以取對(duì)數(shù)值之后計(jì)算熵值可以縮小這個(gè)數(shù)目而方便比較和操作，但卻不改變函數(shù)的性質(zhì)（例如單調(diào)性，最大值），這就是熵。

顯然我們可以擴(kuò)展這個(gè)例子，例如把M改為計(jì)算x₁x₂…x_N，即N個(gè)數(shù)的乘積。這樣，我們得到的宏觀態(tài)就只有0和1兩種可能性。但是按照同樣的方法，仍然可以計(jì)算這兩個(gè)宏觀狀態(tài)的熵：S(0)=ln(2^N-1)，S(1)=ln1=0。當(dāng)然我們還可以用其它的方法計(jì)算從x₁,x₂,…,x_N到M的函數(shù)，每種函數(shù)原則上都可以定義熵。這個(gè)例子告訴我們，其實(shí)熵的計(jì)算只不過是一種計(jì)數(shù)方法。針對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，只要我們能夠定義微觀態(tài)、宏觀態(tài)，我們就能計(jì)算出每個(gè)宏觀量對(duì)應(yīng)多少微觀態(tài)，從而就可以計(jì)算熵。

然而，這樣一種抽象的例子和實(shí)際相差太遠(yuǎn)，讓我們再看下面這個(gè)更接近熱力學(xué)系統(tǒng)的例子。

例2：氣體分子模型

設(shè)有N個(gè)氣體分子（一些剛性小球）分配到一個(gè)大的容器里，如下圖所示：

圖5-2  6個(gè)氣體分子小球分配到一個(gè)容器中

為了簡單起見，我們假設(shè)每個(gè)分子可以隨機(jī)地在所有小方格中跳來跳去，并且一個(gè)小格可以容納任意多個(gè)小球，那么這和例1就非常相似了。同樣，對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的描述也可以從兩種視角。因?yàn)槊總€(gè)小球就有16*8=128（小個(gè)子的個(gè)數(shù)）種可能位置，那么6個(gè)小球就一共可以包括128⁶種不同的微觀狀態(tài)。例如下列各圖就表示了各種不同的系統(tǒng)微觀狀態(tài)：

圖5-3  氣體系統(tǒng)可能處的微觀狀態(tài)

同樣，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)的觀察還存在著一個(gè)完全不同的視角：宏觀視角。假設(shè)一個(gè)觀察者站在很遠(yuǎn)的地方觀察該系統(tǒng)，那么他看不到具體的一個(gè)一個(gè)小格子，而只能看到黑色邊框分割的大格子（把系統(tǒng)分成了左、右兩側(cè)）。這個(gè)觀察者也不再能夠分辨出具體的小球，而僅僅能看到一團(tuán)東西（多個(gè)小球）在容器的左側(cè)，另一團(tuán)東西在容器的右側(cè)，并且觀察者能夠判斷出某一邊的球數(shù)。這樣，我們可以用下面的圖來表示系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)，例如：

圖5-4  與圖5-3對(duì)應(yīng)的氣體系統(tǒng)宏觀態(tài)

（數(shù)字表示處于該半個(gè)容器中的分子數(shù)目）

很顯然，每一個(gè)宏觀狀態(tài)就可能對(duì)應(yīng)了多個(gè)不同的微觀狀態(tài)。因?yàn)閷?duì)于這個(gè)僅僅有6個(gè)分子的氣體系統(tǒng)來說，所有可能的微觀態(tài)數(shù)目和可能的宏觀態(tài)數(shù)目都是有限的，所以我們可以計(jì)算出每個(gè)宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的可能微觀狀態(tài)數(shù)，我們用下圖表示：

圖5-5  每個(gè)宏觀狀態(tài)可能對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)，

以及產(chǎn)生該宏觀狀態(tài)的所有可能的微觀狀態(tài)總數(shù)

計(jì)算(8*8)⁶是因?yàn)槊總€(gè)大方格都包含了8*8=64個(gè)小方格，并且每個(gè)小球當(dāng)被限定在一個(gè)大方格里面的時(shí)候，它還可以在這64個(gè)小方格中任意選擇一個(gè)。C_N^k表示將這N個(gè)分子分割成一種左邊k個(gè)，右邊N-k個(gè)宏觀態(tài)（分成左、右兩側(cè)）的方法數(shù)。所以更一般的，對(duì)于一個(gè)宏觀態(tài)（k, N-k），它所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是：，其中g(shù)為一個(gè)大方格對(duì)應(yīng)的小方格數(shù)目。因?yàn)镹和g都是常數(shù)，所以Ω的數(shù)值僅僅取決于第一項(xiàng)，我們可以畫出C_N^k在不同參數(shù)N下的函數(shù)曲線如下：

圖5-6  Ω(k)在不同參數(shù)N下的函數(shù)圖

觀察圖5-6，可以看到當(dāng)k=N/2的時(shí)候，C_N^k最大。并且，當(dāng)參數(shù)N變大的時(shí)候曲線的形狀也變得越來越陡。當(dāng)然，我們還可以推廣，如對(duì)系統(tǒng)的劃分可以有h個(gè)大格子，每個(gè)大格子對(duì)應(yīng)的小格子數(shù)是不一樣的等情況，這里就不討論了。

在這個(gè)例子中，我們也可以類似地定義玻爾茲曼熵，即：

                         （1）

這里玻爾茲曼熵S是關(guān)于宏觀狀態(tài)k的函數(shù)，它正比于該宏觀狀態(tài)k所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)Ω(k)的對(duì)數(shù)值。其中k_B為玻爾茲曼常數(shù)，它的數(shù)值是：1.3806505(24) × 10^?23 J/K，它的取值是為了與克勞修斯熵保持一致，以便于這套統(tǒng)計(jì)方法可以還原所有的熱力學(xué)規(guī)律。（在后面討論）。

下面，我們不妨設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算機(jī)模擬程序，可以讓這個(gè)氣體模擬系統(tǒng)跑起來。假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)如圖5-7(a)所示：

圖5-7  氣體系統(tǒng)模型的演化

并且在每個(gè)時(shí)間步，所有的小球都隨機(jī)地朝上、下、左、右四個(gè)相鄰方格中的一個(gè)進(jìn)行移動(dòng)，當(dāng)分子碰到器壁的時(shí)候會(huì)反彈回來。假設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間之后，該系統(tǒng)可能停留在5-7(b)所示的狀態(tài)。從宏觀態(tài)上來講，該系統(tǒng)從圖5-7(c)的宏觀狀態(tài)(6,0)演化到了圖5-7(d)的宏觀狀態(tài)(3,3)。可以預(yù)料，如果我們多次重復(fù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，那么盡管系統(tǒng)最終的微觀狀態(tài)并不一定會(huì)與圖5-7(b)一致，但是系統(tǒng)的宏觀態(tài)將更有可能傾向于(3,3)這個(gè)狀態(tài)，即圖5-7(d)。當(dāng)小球的總數(shù)N非常大的時(shí)候，這個(gè)趨勢將會(huì)更加明顯。從宏觀狀態(tài)來講，最終系統(tǒng)就會(huì)“停留在”(N/2, N/2)上，甚至系統(tǒng)中的每個(gè)粒子在微觀上仍然會(huì)隨機(jī)、無序地變換它們的微觀狀態(tài)。

下面，我們可以稍微變化一下這個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)則，例如可以讓每個(gè)小球按照牛頓運(yùn)動(dòng)定律以不同的速度運(yùn)動(dòng)，并且還可以假設(shè)兩個(gè)小球相遇的時(shí)候會(huì)發(fā)生完全彈性碰撞。當(dāng)我們再次運(yùn)行這個(gè)模擬，會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)仍然趨向于(N/2,N/2)這個(gè)宏觀狀態(tài)。因此，看起來我們能夠得到一個(gè)與系統(tǒng)微觀的規(guī)則無關(guān)的結(jié)論：氣體分子系統(tǒng)將最有可能演化并停留到(N/2,N/2)這樣的宏觀狀態(tài)下。但是，這個(gè)結(jié)論并不非常準(zhǔn)確，因?yàn)閷?duì)于某些規(guī)則，例如當(dāng)任意兩個(gè)小球只要碰撞就粘在一起，這個(gè)結(jié)論就不成立。

為了避免這些特殊情況，使得結(jié)論更具普遍性，玻爾茲曼當(dāng)年做出了一個(gè)非常聰明，但也是備受爭議的各態(tài)歷經(jīng)假說，或稱等概率假說：每個(gè)分子小球?qū)?huì)以相同的概率在每個(gè)微觀狀態(tài)中取值。在這個(gè)假說前提下，他得到了確切的結(jié)論：氣體分子系統(tǒng)將最有可能演化并停留到(N/2,N/2)這樣的宏觀狀態(tài)下。我們知道，這種(N/2,N/2)對(duì)應(yīng)的宏觀狀態(tài)恰恰就是玻爾茲曼熵S最大的狀態(tài)（因?yàn)楹暧^態(tài)(N/2,N/2)對(duì)應(yīng)的可能微觀狀態(tài)數(shù)最多，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)并停留在這個(gè)狀態(tài)下的機(jī)會(huì)也就最多）。最后，盡管系統(tǒng)從微觀上講可能仍然處于不斷變化的過程中，但在宏觀上，系統(tǒng)將會(huì)以最大的概率停留在熵最大的宏觀狀態(tài)。這時(shí)，我們將傾向于說系統(tǒng)處于了一種不再變化的平衡態(tài)，即熱力學(xué)平衡態(tài)。這是一種表觀的平衡，但實(shí)際上內(nèi)部分子仍然在做著激烈的運(yùn)動(dòng)。

這個(gè)試驗(yàn)可以給我們解釋時(shí)間之箭的產(chǎn)生提供一定的解釋。正如各態(tài)歷經(jīng)假說中所提到的，本來對(duì)于系統(tǒng)來說，任何一種微觀狀態(tài)都是完全對(duì)稱、無區(qū)別的。但是因?yàn)橛^察者觀察上的“缺陷”，他只能看到一些宏觀狀態(tài)，這就會(huì)導(dǎo)致每一種宏觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)的不同的可實(shí)現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)，從而也就導(dǎo)致了熵的出現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)處于不斷的變化過程中的時(shí)候，這個(gè)熵的數(shù)值就會(huì)傾向于最大化。這給我們解釋時(shí)間之箭的產(chǎn)生提供了很好的暗示。我們知道，對(duì)于經(jīng)典牛頓力學(xué)描述的動(dòng)力系統(tǒng)來說，一切都是可逆的，所以時(shí)間沒有方向性。小球按照牛頓運(yùn)動(dòng)定律在小方格之上的運(yùn)動(dòng)正是這種可逆的運(yùn)動(dòng)。但是，在宏觀層面我們?nèi)匀挥^察到了不可逆的趨勢：即系統(tǒng)會(huì)更加傾向于那種對(duì)應(yīng)的熵值最大的宏觀狀態(tài)。一種明顯的不可逆的時(shí)間方向就這樣涌現(xiàn)而出。究竟為什么會(huì)產(chǎn)生如此現(xiàn)象呢？原因就在于觀察者觀察能力上的缺陷，所以時(shí)間之箭只不過是觀察者眼中的一種“幻覺”。用下面的圖可以清楚的表達(dá)時(shí)間之箭是如何由觀察而涌現(xiàn)出來的。

圖5-8  時(shí)間之箭由于觀察而涌現(xiàn)

如圖5-8所示，隨著時(shí)間的流逝，系統(tǒng)將會(huì)等可能地遍歷所有的微觀狀態(tài)，在這個(gè)層次觀察者將看不到任何微觀狀態(tài)之間的本質(zhì)差別，因此也不能分辨出時(shí)間流逝的方向。隨著微觀狀態(tài)的遍歷（各態(tài)歷經(jīng)假說），系統(tǒng)將會(huì)在不同的宏觀狀態(tài)之間轉(zhuǎn)變，并且大多數(shù)時(shí)間會(huì)處于那種最可能的狀態(tài)（即熵最大的狀態(tài)）。所以，觀察者就能看到一種明顯的時(shí)間流逝方向了（朝向最可能狀態(tài)的演化，熵必然增加）。但是，即便對(duì)于宏觀狀態(tài)來說，系統(tǒng)的演化仍然是時(shí)間對(duì)稱的，即如果我們能夠等待足夠長的時(shí)間，那么很有可能仍然會(huì)觀察到如圖右側(cè)圓圈表示的那個(gè)宏觀狀態(tài)。但是由于這類事件發(fā)生概率極其微小（對(duì)于通常的氣體系統(tǒng)來說，粒子的數(shù)目是10²³這個(gè)數(shù)量級(jí)，系統(tǒng)將幾乎不可能出現(xiàn)在最大熵以外的狀態(tài)），所以觀察者將看不到這類事情的發(fā)生。

我們知道熱力學(xué)第二定律可以看作是強(qiáng)加在力學(xué)定律之上的一條新的定律。玻爾茲曼引入這套統(tǒng)計(jì)解釋的目的是為了從微觀牛頓力學(xué)導(dǎo)出熱力學(xué)第二定律。但是，玻爾茲曼雖然部分解釋了熵和時(shí)間箭頭，但他也同時(shí)引入了新的假設(shè)：各態(tài)歷經(jīng)（或稱等概率）假說。所以，玻爾茲曼自己也認(rèn)為，他并沒有完全解答時(shí)間之箭的問題。

讓我們再回過頭來看看這個(gè)例子中的熵。首先，玻爾茲曼把熵定義為宏觀狀態(tài)的函數(shù)。這一點(diǎn)是符合人們的熱力學(xué)知識(shí)的。因?yàn)楫?dāng)粒子數(shù)非常多的時(shí)候，系統(tǒng)處于最可能（熵最大）的狀態(tài)的概率將遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于其它宏觀態(tài)的概率。所以人們就把這種最可能的宏觀態(tài)作為系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡態(tài)。通常人們說一個(gè)系統(tǒng)的熵就是指處于這種熱力學(xué)平衡態(tài)下系統(tǒng)的熵。其次，熵是對(duì)一個(gè)宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)取對(duì)數(shù)。這個(gè)微觀數(shù)目可以看作是種連接微觀層次到宏觀層次的紐帶，因?yàn)閺奈⒂^觀察過渡到宏觀觀察必然伴隨著熵的產(chǎn)生。根據(jù)這個(gè)認(rèn)識(shí)，我們可以看出，實(shí)際玻爾茲曼熵并不一定非要應(yīng)用到分子系統(tǒng)，只要存在著微觀態(tài)和宏觀態(tài)，我們原則上都可以應(yīng)用玻爾茲曼的方法。

最后，之所以熵要對(duì)狀態(tài)數(shù)取對(duì)數(shù)是因?yàn)槿藗兿Ｍ鼐哂锌裳诱剐?。即?duì)于一個(gè)氣體系統(tǒng)A，它的熵是S(A)（平衡態(tài)下的熵）。以及另一個(gè)系統(tǒng)B，熵是S(B)，將它們混到一起組成一個(gè)大系統(tǒng)A B。那么顯然，對(duì)于任意一個(gè)宏觀態(tài)將是A和B兩個(gè)系統(tǒng)宏觀態(tài)的組合。這樣對(duì)應(yīng)的可能微觀態(tài)數(shù)目將是兩個(gè)子系統(tǒng)微觀態(tài)數(shù)目的乘積Ω_{A B}=Ω_AΩ_B，所以總的熵為S_{A B}=ln(Ω_{A B})=ln(Ω_A) ln(Ω_B)=S_A S_B。這樣熵就變成了一個(gè)可以隨著系統(tǒng)的加合而可加合的量。

有了玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)方法，我們實(shí)際上完全可以還原上一章所討論的熱力學(xué)了。我們知道熱力學(xué)關(guān)心的是壓強(qiáng)、溫度、熵、熱、功等一系列宏觀物理量，它們都可以被一一還原為微觀統(tǒng)計(jì)量。仍然用例2來討論，在這里小球的速度被忽略不考慮。這樣，壓強(qiáng)就是小球?qū)ζ鞅诘钠骄鲎泊螖?shù)，溫度可以近似理解為系統(tǒng)中小球的平均密度。

因?yàn)闆]有速度，所以可以把小球本身就看作小的能量單位，這樣系統(tǒng)的總能量就是小球的個(gè)數(shù)。而一個(gè)系統(tǒng)對(duì)另一個(gè)系統(tǒng)傳遞熱量就是從一個(gè)系統(tǒng)向另一個(gè)系統(tǒng)傳遞小球。這樣圖5-7所示的現(xiàn)象剛好就是熱量從高溫（左側(cè)系統(tǒng)，小球初始密度高）傳向低溫（右側(cè)系統(tǒng)，小球初始密度低）的過程。同樣，對(duì)系統(tǒng)作功就相當(dāng)于把小球壓縮到一些較小的區(qū)域內(nèi)。

對(duì)處于平衡態(tài)（最可能狀態(tài)，熵最大的狀態(tài)）的系統(tǒng)，我們還可以定性地導(dǎo)出克勞修斯熵的定義式，即dS=dQ/T（定量的推導(dǎo)需要精確定義溫度、熱量等量，請參見《從有序到混沌》一書）。當(dāng)小球均勻分布在大方格中的時(shí)候（小球平均密度就是溫度），我們增加一個(gè)小球，它會(huì)使得Ω呈指數(shù)增長（考慮圖5-5對(duì)Ω的定義式），這樣取ln之后，熵就成比例增加。并且這兩者的比例是與T（小球密度）呈反比的：小球的密度越高，新增加一個(gè)小球?qū)ο到y(tǒng)熵的影響就越小。

在上面討論的模型中，我們實(shí)際上并沒有考慮每個(gè)粒子的速度問題。在現(xiàn)實(shí)的氣體系統(tǒng)中，每個(gè)分子不僅有位置，而且還會(huì)有速度。所以，我們需要把上面模型中的平面空間擴(kuò)充到包含了速度信息的狀態(tài)空間（或稱相空間中，見第三章）。這樣，每個(gè)小球所處的容器就不再是一個(gè)平面的容器，而可能是四維空間中的一個(gè)立方區(qū)域。那么，按照動(dòng)力系統(tǒng)的觀點(diǎn)，每個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)就是從高維的相空間中的一點(diǎn)跳到另一點(diǎn)。但是，這點(diǎn)擴(kuò)充對(duì)于我們的統(tǒng)計(jì)模型沒有本質(zhì)影響。因?yàn)槲覀兊哪Ｐ椭袃H僅涉及了小格子、大格子還有分子小球，而至于小格子、大格子是幾維空間中的幾何體并沒有太大的關(guān)系。我們可以假設(shè)圖5-3表示的是狀態(tài)空間，即水平方向是小球位置，豎直方向是小球的不同速度。每個(gè)小方格就是小球的一種可能狀態(tài)（位置和速度的組合），大方格就是對(duì)這些小狀態(tài)歸并之后的宏觀狀態(tài)，等等。不過，在加入了速度因素之后，能量、溫度就不僅僅是小球和小球密度了。（更加嚴(yán)格的數(shù)學(xué)討論，請參考相關(guān)的統(tǒng)計(jì)物理的教科書）。

上面的討論雖然可以得出熵的表達(dá)式和整個(gè)熱力學(xué)，但是仍然存在著缺陷。上例中劃分大方格、小方格的方法完全是我們?nèi)藶閯澐值?，而這個(gè)結(jié)果又會(huì)影響計(jì)算得出的熵。實(shí)際上，我們對(duì)物理系統(tǒng)的觀測本身就是宏觀的觀測，而微觀狀態(tài)只是我們的一種假設(shè)，它是沒辦法被測量到的。所以，上例中的小格子就沒有實(shí)際意義了，我們僅僅能觀察到大格子構(gòu)成的宏觀狀態(tài)。那么這個(gè)時(shí)候，我們?nèi)绾蝸矶x熵呢？正是基于對(duì)這個(gè)問題的考慮，吉布斯提出了一套不同的統(tǒng)計(jì)物理方法。

還考慮圖5-2中的氣體分子運(yùn)動(dòng)模型。只不過這里每一個(gè)小格子已經(jīng)是我們可以觀測到的宏觀狀態(tài)了，每個(gè)格子表示一個(gè)我們可以觀測到的小球的宏觀狀態(tài)。如果開始的時(shí)候所有小球都像圖5-7(a)中那樣集中在容器的左下角，按照隨機(jī)游走的動(dòng)力學(xué)規(guī)則演化，那么經(jīng)過一段時(shí)間，小球?qū)?huì)彌漫在整個(gè)容器中。我們可以重復(fù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)多次，每次的初始條件都一樣，只不過試驗(yàn)最終的結(jié)果都不盡相同。但是在重復(fù)多次試驗(yàn)的情況下，每個(gè)方格被訪問就會(huì)呈現(xiàn)出不同的概率。例如我們做100000次試驗(yàn)，其中有小球運(yùn)動(dòng)過左上角第一個(gè)方格的次數(shù)是500，那么這個(gè)格子被訪問的概率就是500/(6*100000)=1/1200。這樣，我們可以得到每一個(gè)格子的概率。那么對(duì)于整個(gè)空間我們就可以得到一個(gè)概率分布，如下圖：

圖5-9  一個(gè)概率分布示意圖

（其中每一個(gè)方格中的顏色表示概率的大小，即多次試驗(yàn)中該方格被小球訪問的次數(shù)比例，顏色越深表示訪問該方格的概率越大）

在每一個(gè)周期，我們都能得到一個(gè)這樣的概率分布。針對(duì)一種可能的概率分布，吉布斯發(fā)明了一套不同的計(jì)算熵的方法：

                         （2）

其中n表示所有的方格數(shù)，i表示其中的某一個(gè)小方格。p_i表示該方格被訪問的概率（即顏色）。S_Gibbs就是吉布斯定義的熵，它是關(guān)于一系列概率分布（p₁,p₂,…,p_n）的函數(shù)。這樣，確定了一組概率就相當(dāng)于確定了系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)，那么不同的狀態(tài)就對(duì)應(yīng)了不同的熵值。

那么，對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)的概率分布是什么樣子呢？這將是一個(gè)所有的格子都呈現(xiàn)出相同顏色的狀態(tài)，即p_i=1/n（對(duì)所有的i=1~n）。因?yàn)楦鶕?jù)玻爾茲曼的各態(tài)歷經(jīng)假說，每個(gè)小球?qū)⒌瓤赡艿卦L問每一個(gè)小方格，所以當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)，所有方格的概率都相同，這樣就得到了一個(gè)均勻顏色的分布。從數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng)p_i=1/n（對(duì)所有的i=1~n）的時(shí)候，S_Gibbs取最大值。所以，氣體系統(tǒng)的平衡態(tài)就是熵最大的狀態(tài)，這一點(diǎn)和玻爾茲曼熵得到的結(jié)果是完全一致的。

進(jìn)一步，通過數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)還可以看到玻爾茲曼定義的熵（1）式實(shí)際上是和（2）式等價(jià)的。如果我們把這里的每個(gè)小方格看作是例2中的大方格，并且把每個(gè)大方格中的分子數(shù)/總分子數(shù)看作是訪問該方格的概率，那么經(jīng)過數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)，我們完全可以從（1）式得到（2）式。

吉布斯不僅僅從另一個(gè)角度重新定義了玻爾茲曼熵，而且還給我們提供了一個(gè)嶄新的思路來理解系統(tǒng)。因?yàn)樵瓌t上講，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是我們不可觀測到的，所以討論它也變得沒有意義。這樣，我們所能觀察到的僅僅是系統(tǒng)的一些可觀測狀態(tài)，最大熵狀態(tài)是所有可觀測狀態(tài)中最可能被觀測到的那個(gè)狀態(tài)。

吉布斯熵的另一個(gè)好處是它在數(shù)學(xué)形式上的簡潔性。當(dāng)我們忘掉(2)中每一個(gè)p_i的具體含義，而僅僅是某種抽象的概率分布，那么S_Gibbs仍然是一個(gè)良定義的量。例如，我們考慮拋擲一枚硬幣，那么這枚硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率就都是1/2。對(duì)于這樣簡單的概率分布，我們也可以計(jì)算吉布斯熵：S=-(1/2 ln0.5 1/2 ln0.5)=ln2。這里，我們可以把系統(tǒng)可能處于的所有狀態(tài)看作一個(gè)大的容器，一次拋硬幣事件就相當(dāng)于是一個(gè)在該容器中運(yùn)動(dòng)的小球。這樣，小球訪問容器的概率就相當(dāng)于是硬幣的一次正反面。所以，我們?nèi)匀豢梢杂?jì)算熵。 一般的，如果一個(gè)系統(tǒng)可能處在n種狀態(tài)，并且每種狀態(tài)的概率分別是p₁,p₂,…,p_n，那么這個(gè)系統(tǒng)就有申農(nóng)信息熵：

                      （3）

其中I叫做系統(tǒng)所包含的信息量，它是申農(nóng)熵（Shannon Entropy）的相反數(shù)。申農(nóng)熵和吉布斯熵具有相同的形式，但是，在這兩種描述中，系統(tǒng)以及i的含義是不完全一樣的。在前面吉布斯的定義中，一個(gè)系統(tǒng)是指一個(gè)容器，里面有多個(gè)小球，這樣小球訪問容器的不同部分可以導(dǎo)致一個(gè)分布。因此，給定一系列容器不同部分的概率分布，就給定了該系統(tǒng)的狀態(tài)，因此也就能夠定義該系統(tǒng)的吉布斯熵（即吉布斯熵是描述系統(tǒng)狀態(tài)的量）。但是在申農(nóng)熵定義中，一個(gè)系統(tǒng)本身的狀態(tài)，以及這些狀態(tài)上的概率分布是系統(tǒng)本身已經(jīng)決定了的，因此申農(nóng)熵也決定了，它是描述系統(tǒng)（而不是狀態(tài)）的量。

為看清吉布斯熵和申農(nóng)熵的區(qū)別，讓我們再次回憶例1，即那個(gè)產(chǎn)生0、1隨機(jī)數(shù)并求和的程序。如果我們把這個(gè)程序看作一個(gè)系統(tǒng)，那么該系統(tǒng)就有0,1,…,N這幾種狀態(tài)。當(dāng)程序運(yùn)行起來以后，我們就得到了一個(gè)在各個(gè)狀態(tài)上的概率分布p(k)=C_N^k/2^N，因此可以給這個(gè)系統(tǒng)計(jì)算申農(nóng)熵：。

根據(jù)例1的討論，我們又知道，實(shí)際上這每一個(gè)狀態(tài)又是一個(gè)宏觀態(tài)，它可能對(duì)應(yīng)了多種微觀態(tài)。那么，也就是說該程序的每一個(gè)狀態(tài)又可以計(jì)算出一個(gè)吉布斯熵。比如狀態(tài)k，也就是說程序得到的和數(shù)是k。那么這N個(gè)隨機(jī)數(shù)就相當(dāng)于是要占領(lǐng)0和1兩個(gè)格子的粒子。要得到和數(shù)是k，那么我們知道這需要格子1被占領(lǐng)的概率應(yīng)該是N中的k次，即k/N，而占領(lǐng)0的概率就是(N-k)/N。這樣，狀態(tài)k的吉布斯熵是:。

所以，在這個(gè)例子中，對(duì)于系統(tǒng)整體有一個(gè)申農(nóng)熵來描述，而對(duì)于每一個(gè)具體狀態(tài)，又有一個(gè)吉布斯熵來描述。

申農(nóng)熵的意義還表現(xiàn)在它可以表達(dá)我們主觀世界中的不確定性。假設(shè)有兩枚硬幣，第一枚硬幣出現(xiàn)正反面的次數(shù)完全相同，而第二枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是0.1，出現(xiàn)反面的概率是0.9。那么很顯然，你一定會(huì)覺得第一枚更加捉摸不定，而第二枚硬幣則好一些，因?yàn)槟阌泻艽蟮陌盐罩浪鼤?huì)出現(xiàn)反面。我們這種主觀的不確定性感覺可以被申農(nóng)熵來刻畫。申農(nóng)熵越大表示該系統(tǒng)越不確定。例如，如果p₁=0.1,p₂=0.9，也就是系統(tǒng)有很大的概率出現(xiàn)反面，則S_Shannon=0.325，它小于當(dāng)p₁=p₂=0.5情況下的申農(nóng)熵：ln2。

對(duì)于主觀來說，系統(tǒng)不確定性的另一面意味著信息。當(dāng)我們對(duì)一個(gè)系統(tǒng)掌握的信息越多，相當(dāng)于它們對(duì)我們來說它越確定。所以（3）式還可以看作是信息量的一種定義。當(dāng)我們對(duì)某個(gè)系統(tǒng)一無所知的時(shí)候，我們傾向于最大化（3）式，也就是對(duì)該系統(tǒng)的信息量掌握得很少。而隨著我們對(duì)系統(tǒng)的逐漸了解，它變得越來越確定，這就會(huì)改變系統(tǒng)中各狀態(tài)的概率分布，使得總的申農(nóng)熵減小，這就導(dǎo)致對(duì)該系統(tǒng)的信息量的增加。

還用硬幣的例子來說，假如我把一枚硬幣壓在手下讓你猜是正面還是反面。由于你對(duì)于該系統(tǒng)沒有任何信息，所以你會(huì)傾向于認(rèn)為硬幣出現(xiàn)正面和反面是等可能的，即p₁=p₂=0.5，這個(gè)時(shí)候申農(nóng)熵最大。然后，我把手張開，你看到了硬幣是反面，于是你得到了p₁=0,p₂=1的結(jié)論，再次計(jì)算申農(nóng)熵，會(huì)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在它等于0了。也就是說，你對(duì)系統(tǒng)了解的過程就相當(dāng)于是一個(gè)讓申農(nóng)熵不斷減小的過程。

更明顯的一個(gè)例子是叫做“21問”的小游戲。例如我腦子中想出一個(gè)人，讓你猜他是誰。而你每次只能問一些一般疑問句，因?yàn)槲抑荒苡檬腔蚍駚砘卮鹉愕膯栴}。這樣你會(huì)通過不斷問一系列問題而猜出我想的人是誰。例如，你會(huì)問這個(gè)人是男的嗎？我說是。你再問，他還活著嗎？我說否……。

用申農(nóng)的模型來看，在最開始的時(shí)候你對(duì)這個(gè)人一無所知，就相當(dāng)于你對(duì)此人的信息為0，即申農(nóng)熵最大。當(dāng)你每次問一個(gè)問題得到答案的時(shí)候，就相當(dāng)于你獲得了這個(gè)人的一個(gè)特征，因此改變了一次概率分布，同時(shí)使得申農(nóng)熵減小了一些。最后，你知道了那個(gè)人是誰，于是系統(tǒng)完全確定了，申農(nóng)熵變?yōu)榱?。所以，我們對(duì)系統(tǒng)的觀察獲得信息就會(huì)伴隨著該系統(tǒng)的申農(nóng)熵減小。

20世紀(jì)中葉的物理學(xué)家吉尼斯（Jaynes）向我們展示，這種對(duì)系統(tǒng)的“主觀”認(rèn)識(shí)可能更加本質(zhì)、透徹。因?yàn)?，?strong>從信息論出發(fā)，可以反過來推導(dǎo)出整個(gè)統(tǒng)計(jì)物理。而且，這種推導(dǎo)方法比早先的統(tǒng)計(jì)物理更加簡單、明了（參見Jaynes的文章《Information theory and statistical physics》）。

針對(duì)一個(gè)具體的物理系統(tǒng)，人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)相當(dāng)于是去猜一個(gè)概率分布，這個(gè)分布如何導(dǎo)出呢？由于我們對(duì)該系統(tǒng)一無所知，所以我們實(shí)際上就是要最大化該系統(tǒng)的申農(nóng)熵。也就是說，吉尼斯把信息熵的最大化當(dāng)作一條公理加進(jìn)了統(tǒng)計(jì)物理中。當(dāng)然，對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)，我們還知道另外一些宏觀的性質(zhì)，例如該系統(tǒng)的平均能量等一些可觀測宏觀量，那么這些信息都當(dāng)作是最大化信息熵過程中的約束條件。最終，我們會(huì)得到系統(tǒng)的確切的概率分布，而這個(gè)分布就能夠很好的預(yù)測整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)。

在這套統(tǒng)計(jì)物理中，玻爾茲曼的各態(tài)歷經(jīng)假說被最大化信息熵所替代。我們?nèi)匀恍枰粋€(gè)公理來解釋統(tǒng)計(jì)物理。而最大信息熵的含義相當(dāng)于我們對(duì)系統(tǒng)了解最少，也相當(dāng)于自然系統(tǒng)的一種最可能狀態(tài)?；蛘哂弥袊鴮W(xué)者張學(xué)文的話說，是一種自然系統(tǒng)最復(fù)雜的狀態(tài)。

雖然信息論和統(tǒng)計(jì)物理理論哪一個(gè)更加根本，我們無從得知。但是吉尼斯思路的簡潔性非常值得我們認(rèn)真思考。畢竟我們對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)全部都來源于我們觀察者所做的主觀判斷。所以，吉尼斯甚至認(rèn)為統(tǒng)計(jì)物理只不過是一種算法而已。很多人不喜歡吉尼斯的思路，認(rèn)為他過于主觀，而且他并沒有給出任何全新的結(jié)論。但是，我們將在下幾章展示，當(dāng)把吉尼斯的主觀統(tǒng)計(jì)物理運(yùn)用到非平衡態(tài)的時(shí)候，會(huì)得到一套全新的結(jié)論。

總結(jié)來看，這一章用一系列簡單的例子介紹了從玻爾茲曼熵到吉布斯熵再到申農(nóng)熵的過程。熵究竟是什么？本章介紹的探索歷史本身就是一個(gè)對(duì)這一概念的逐漸深化認(rèn)識(shí)過程。如果非要用一句話來回答這個(gè)問題，我寧愿說，熵其實(shí)就是一條連接的紐帶。玻爾茲曼熵連接的是宏觀與微觀；申農(nóng)熵連接的是主觀世界與客觀世界。在這條紐帶面前，被傳統(tǒng)科學(xué)割裂得很深的主客觀分離的界限已經(jīng)變得逐漸模糊。正是基于這種信念，吉尼斯才提出了一套非常不同的“主觀”統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。

我們關(guān)心的熱力學(xué)第二定律、時(shí)間之箭的問題又怎樣呢？盡管歷史上很多偉人都試圖從經(jīng)典物理出發(fā)而給出熱力學(xué)第二定律新的解釋，但是，他們卻或多或少的引入了新的假設(shè)。例如玻爾茲曼和吉布斯的統(tǒng)計(jì)物理都需要各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)，吉尼斯的統(tǒng)計(jì)物理需要引入自動(dòng)最大化熵的假設(shè)。我們是否能夠擺脫這些假設(shè)而完全理解時(shí)間之箭之謎呢？我傾向于不太可能，這恰恰是復(fù)雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)概念所刻畫的。對(duì)于系統(tǒng)的不同層次我們需要不同的描述。時(shí)間之箭就是這種不可化約為微觀物理的一種涌現(xiàn)屬性。吉尼斯的統(tǒng)計(jì)解釋告訴我們，這種不可逆的涌現(xiàn)性質(zhì)其實(shí)可以解釋為我們對(duì)世界的一種主觀的傾向，即最大化信息熵。    

                                                                                                    編輯：wangting