咬定青山不放松，盯緊參數(shù)便成功

在二次函數(shù)壓軸題中，含參數(shù)的解析式或方程，一直是學(xué)生解題的攔路虎，對代數(shù)恒等變換不熟練，或者信心不足，便會(huì)被淘汰掉。面對此類問題，首要任務(wù)便是克服對參數(shù)的恐懼，其次便是扎實(shí)的計(jì)算功底，第三就是細(xì)心與耐心。

題目

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，且經(jīng)過點(diǎn)(4,1)，如圖，直線y=1/4x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=-1

(1)求拋物線的解析式；

(2)在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)已知F(s,t)為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M(m,n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo).

解析：

(1)在已知拋物線頂點(diǎn)的前提下，使用頂點(diǎn)式無疑最簡單的，設(shè)y=a(x-2)2，將點(diǎn)(4,1)代入，求得a=1/4，于是y=1/4(x-2)2；

(2)熟悉將軍飲馬問題的學(xué)生，極容易找到方法，將點(diǎn)A或B中的一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)作出，然后連接它與另一個(gè)點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如下圖：

不妨作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'(1,-9/4)，然后與點(diǎn)B(4,1)坐標(biāo)一起，求出直線A'B的解析式為y=-13/12x 4/3，它與y=-1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P(28/13,-1)；

(3)從條件中的描述我們知道，有兩個(gè)距離相等，即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離和點(diǎn)M到直線l的距離，分別表示出來列出方程，這是一個(gè)較為復(fù)雜的含參數(shù)的方程，且參數(shù)較多，而在整理這個(gè)方程的過程中，牢記我們最終需要求什么，在整理之前，點(diǎn)M的坐標(biāo)可寫成(m,1/4(m-2)2)，這樣在一開始便少掉一個(gè)參數(shù)n，消參和消元一樣，而點(diǎn)F(s,t)為定點(diǎn)，意味著s和t均為常數(shù)，那么整個(gè)方程中，我們只重點(diǎn)關(guān)注m即可，因此整理的目標(biāo)，就是一個(gè)含m的參數(shù)方程，如下圖：

此問的理解難點(diǎn)就在于M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，換個(gè)說法，M為拋物線上任意一點(diǎn)，既然是任意一點(diǎn)，參數(shù)m可取任何實(shí)數(shù)，即對整理后的關(guān)于m的方程來講，恒成立。

方程恒成立，初中階段有一個(gè)最典型的模型就是Ax=B，其中A=0，B=0，而連小學(xué)生都知道“零乘任何數(shù)都為零”，即x為任何實(shí)數(shù)。

再分別解上述方程①，得t=1，代入到方程②得s=2，再到方程③中驗(yàn)證，左邊=0，于是存在定點(diǎn)F(2,1)。

解題反思

等式恒成立，對初中階段的學(xué)生來講，理解上存在一定難度，而含參數(shù)的方程，任意實(shí)數(shù)均為它的根，意義與恒成立一樣，即對于Ax=B這樣的關(guān)于x的方程，系數(shù)A與常數(shù)項(xiàng)B均為零，此時(shí)x的值可取任意實(shí)數(shù)，都能使方程兩邊相等；拓展一下，若A=0，B≠0，則x取任意實(shí)數(shù)，方程兩邊均不相等。這個(gè)思路可用于解決函數(shù)恒過定點(diǎn)，以及恒不過定點(diǎn)的難題。