Python金融大數(shù)據(jù)分析

昵稱4742356 2019-04-19

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第10章推斷統(tǒng)計學

10.4.1 風險價值
10.4.2 信用價值調(diào)整

10.4 風險測度

第10章推斷統(tǒng)計學

Python金融大數(shù)據(jù)分析——第10章推斷統(tǒng)計學筆記1
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Python金融大數(shù)據(jù)分析——第10章推斷統(tǒng)計學筆記3

10.4 風險測度

10.4.1 風險價值

風險價值（VaR）是最廣泛使用的風險測度之一，也是飽受爭議的測度之一。從業(yè)人員喜歡其直觀性．但是許多人對其有限的尾部風險捕捉能力進行廣泛的討論和批評——主要是在理論依據(jù)上。從字面上講， VaR 是一個以貨幣單位（如美元、歐元、日元）表示的數(shù)字，表示在給定時間周期中不超過某種置信度（概率）的損失（或者一個投資組合、股票頭寸等）。

考慮一個當日價值為100萬美元的股票頭寸，在30天（ 1個月）內(nèi)、置信度為99%的情況下 VaR 為 5 萬美元。這個 VaR 數(shù)字說明， 30天內(nèi)損失不超過 5 萬美元的概率為99% ( 100 個案例中有 99 個）。但是，它并不說明一旦損失超過 5萬美元，損失的規(guī)模會達到什么程度——也就是如果最大損失為10萬或者50萬美元時，這種特定的“高于 VaR 的損失” 概率有多大。它所說明的只是，發(fā)生 5萬美元或者更大損失的概率為 1%。我們再次假定使 Black-Scholes-Merton 設置，考慮如下的參數(shù)化和未來日期 T=30/365（即假定 30 天的一段時期）指數(shù)水平的模擬：

import numpy as np
import numpy.random as random
import matplotlib.pyplot as plt

S0 = 100
r = 0.05
sigma = 0.25
T = 30 / 365.
I = 10000
ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))

# 為了估算VaR數(shù)字，需要模擬的絕對利潤和相對于近日持倉價值的虧損，并加以排序，即從最嚴重的虧損到最大的利潤

R_gbm = np.sort(ST - S0)

plt.hist(R_gbm, bins=50)
plt.xlabel('absolute return')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)

幾何布朗運動的絕對收益（ 30 日）

import scipy.stats as scs

percs = [0.01, 0.1, 1., 2.5, 5., 10.]
var = scs.scoreatpercentile(R_gbm, percs)
print("%16s %16s" % ('Confidence Level', 'Value-at-Risk'))
print(33 * '-')
for pair in zip(percs, var):
    print("%16.2f %16.3f" % (100 - pair[0], -pair[1]))

# Confidence Level    Value-at-Risk
# ---------------------------------
#            99.99           22.079
#            99.90           19.911
#            99.00           15.439
#            97.50           12.929
#            95.00           11.129
#            90.00            8.718

在列表對象 percs 中， 0.1 轉(zhuǎn)換為置信度 100%在1%=99.9% 。在本例中，置信度為 99.9%的 30 日 VaR 為 22.1 貨幣單位，而89%置信度下為 8.7 個貨幣單位。

# Meron的跳躍擴散 動態(tài)模擬
lamb = 0.75
mu = -0.6
delta = 0.25
M = 50
dt = 30. / 365 / M
rj = lamb * (np.exp(mu + 0.5 * delta ** 2) - 1)
S = np.zeros((M + 1, I))
S[0] = S0
# 為了模擬跳躍擴散,需要生成3組（獨立）隨機數(shù)：
sn1 = random.standard_normal((M + 1, I))
sn2 = random.standard_normal((M + 1, I))
poi = random.poisson(lamb * dt, (M + 1, I))
for t in range(1, M + 1, 1):
    S[t] = S[t - 1] * (np.exp((r - rj - 0.5 * sigma ** 2) * dt
                              + sigma * np.sqrt(dt) * sn1[t])
                       + (np.exp(mu + delta * sn2[t]) - 1)
                       * poi[t])
    S[t] = np.maximum(S[t], 0)
R_jd = np.sort(S[-1] - S0)

plt.hist(R_jd, bins=50)
plt.xlabel('value')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)

跳躍擴散的絕對收益（30日）

percs = [0.01, 0.1, 1., 2.5, 5., 10.]
var = scs.scoreatpercentile(R_jd, percs)
print("%16s %16s" % ('Confidence Level', 'Value-at-Risk'))
print(33 * '-')
for pair in zip(percs, var):
    print("%16.2f %16.3f" % (100 - pair[0], -pair[1]))

# Confidence Level    Value-at-Risk
# ---------------------------------
#            99.99           79.703
#            99.90           72.507
#            99.00           57.857
#            97.50           50.096
#            95.00           33.371
#            90.00            9.386

對于這種過程和參數(shù)化，置信度 90%的 30日VaR 相差很少，但是在 99.9%置信度下與幾何布朗運動相比高出 3 倍多（ 79.703對22.079 貨幣單位）。這說明標準 VaR 測度在捕捉金融市場經(jīng)常遇到的尾部風險方面的問題。最后以圖形方式展示兩種情況的 VaR 測度以便比較。在典型置信度范圍內(nèi)的 VaR 測度表現(xiàn)完全不同：

# 幾何布朗運動和跳躍擴散的風險價值
percs = list(np.arange(0.0, 10.1, 0.1))
gbm_var = scs.scoreatpercentile(R_gbm, percs)
jd_var = scs.scoreatpercentile(R_jd, percs)

plt.plot(percs, gbm_var, 'b', lw=1.5, label='GBM')
plt.plot(percs, jd_var, 'r', lw=1.5, label='JD')
plt.legend(loc=4)
plt.xlabel('100 - confidence level [%]')
plt.ylabel('value-at-risk')
plt.grid(True)
plt.ylim(ymax=0.0)

幾何布朗運動和跳躍擴散的風險價值

10.4.2 信用價值調(diào)整

其他重要的風險測度是信用風險價值（CVaR）和從CVaR中派生而來的信用價值調(diào)整（CVA）。粗略地講， CVaR 是對手方可能無法履行其義務所引發(fā)風險（例如，對手方破產(chǎn)）的一個測度。在這種情況下，有兩個主要的假設：違約概率和（平均）損失水平。

舉個具體的例子，我們再次考慮Black-Scholes-Merton 的基準設置：

# Black-Scholes-Merton 的基準設置，參數(shù)：
S0 = 100.
r = 0.05
sigma = 0.2
T = 1.
I = 100000
ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))

# 固定（平均）損失水平
L = 0.5
# 對手方違約（每年）概率
p = 0.01

# 使用泊松分布， 違約的方案可以用如下代碼生成， 考慮了違約只能發(fā)生－次的事實
D = random.poisson(p * T, I)
D = np.where(D > 1, 1, D)

# 如果沒有違約，未來指數(shù)水平的風險中立價值應該等于資產(chǎn)當日現(xiàn)值（取決于數(shù)值誤差造成的差異）：
np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(ST)
# 99.982104037870357

# 假定條件下CVaR的值
CVaR = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(L * D * ST)
CVaR
# 0.52398128347827266

# 經(jīng)過信用風險調(diào)整之后的資產(chǎn)現(xiàn)值
S0_CVA = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum((1 - L * D) * ST)
S0_CVA
# 99.458122754392079

# 這應該（大約）等于CVaR價值減去當前資產(chǎn)價值
S0_adj = S0 - CVaR
S0_adj
# 99.476018716521722

np.count_nonzero(L * D * ST)
# 1052

在這個特殊的模擬示例中，假定違約概率為1%、10萬次模擬下，由于信用風險引起大約1000次虧損。

plt.hist(L * D * ST, bins=50)
plt.xlabel('loss')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)
plt.ylim(ymax=175)

由于風險中立預期違約引起的虧損（股票）

上圖展示了由于違約引起虧損的完整頻率分布。當然，在大部分情況下（10萬例中的99 000例），沒有發(fā)現(xiàn)虧損。

現(xiàn)在考慮歐式看漲期權(quán)的情況：

K = 100  # 行權(quán)價100
hT = np.maximum(ST - K, 0)
C0 = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(hT)
C0
# 10.466594304488577
# 行權(quán)價100時的價值大約為10.5個貨幣單位

CVaR = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(L * D * hT)
CVaR
# 0.054095276121378301
# 在相同的違約概率和損失水平假設下， CVaR大約為5分

S0_CVA = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum((1 - L * D) * hT)
S0_CVA
# 10.412499028367199
# 調(diào)整后的期權(quán)價值大約低了5分


np.count_nonzero(L * D * hT)  # number of losses
# 572
np.count_nonzero(D)  # number of defaults
# 1052
I - np.count_nonzero(hT)  # zero payoff
# 44079

# 和常規(guī)資產(chǎn)相比， 期權(quán)有不同的特性。 
# 我們只看到略低于 500 次回違約引起的虧損。
# 但是仍然有大約1000次違約。
# 這一結(jié)果源于這樣的事實：期權(quán)到期日時的收益為0的概率很大。

plt.hist(L * D * hT, bins=50)
plt.xlabel('loos')
plt.ylabel('frequency')
plt.grid(True)
plt.ylim(ymax=350)

由于風險中立預期違約引起的虧損（看漲期權(quán)）