一．填空題（共10小題）

1．已知x+y=10，xy=16，則x²y+xy²的值為 ．

2．兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項分解成2（x﹣2）（x﹣4），請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來： ．

3．若多項式x²+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是 ．

4．分解因式：4x²﹣4x﹣3= ．

5．利用因式分解計算：202²+202×196+98²= ．

6．△ABC三邊a，b，c滿足a²+b²+c²=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是 ．

7．計算：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²= ．

8．定義運算a★b=（1﹣a）b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，則a=1或b=0．

其中正確結(jié)論的序號是 （填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）．

9．如果1+a+a²+a³=0，代數(shù)式a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸= ．

10．若多項式x²﹣6x﹣b可化為（x+a）²﹣1，則b的值是 ．

二．解答題（共20小題）

11．已知n為整數(shù)，試說明（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

12．因式分解：4x²y﹣4xy+y．

13．因式分解

（1）a³﹣ab²

（2）（x﹣y）²+4xy．

14．先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，

例題：若m²+2mn+2n²﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：∵m²+2mn+2n²﹣6n+9=0

∴m²+2mn+n²+n²﹣6n+9=0

∴（m+n）²+（n﹣3）²=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

問題：

（1）若x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，求x^y的值．

（2）已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形？

15．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù)．

（1）36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？

（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為 ．

16．如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片．

（1）如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形 （在圖2虛線框中畫出圖形），并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a²+3ab+2b²分解因式．

（2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積．

（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形．

17．（1）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2．

①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；

②由此，你可以得出的一個等式為： ．

（2）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示．

①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；

②請你用拼圖等方法推出2a²+5ab+2b²因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖．

18．已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ

（1）計算s₂；

（2）請閱讀下面計算s₃的過程：

因為a+b=1，ab=﹣1，

所以s₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）﹣ab（a+b）=1×s₂﹣（﹣1）=s₂+1=

你讀懂了嗎？請你先填空完成（2）中s₃的計算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計算s₄．

（3）試寫出s_n﹣2，s_n﹣1，s_n三者之間的關(guān)系式；

（4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計算s₆．

19．（1）利用因式分解簡算：9.8²+0.4×9.8+0.04

（2）分解因式：4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

20．閱讀材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）²+（n﹣4）²=0，∴（m﹣n）²=0，（n﹣4）²=0，∴n=4，m=4．

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

（1）已知x²+2xy+2y²+2y+1=0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a²+b²﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值．

（3）已知a﹣b=4，ab+c²﹣6c+13=0，則a﹣b+c= ．

21．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項式x²﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．

解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x²﹣4x+m=（x+3）（x+n），則x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．

問題：

（1）若二次三項式x²﹣5x+6可分解為（x﹣2）（x+a），則a= ；

（2）若二次三項式2x²+bx﹣5可分解為（2x﹣1）（x+5），則b= ；

（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x²+5x﹣k有一個因式是（2x﹣3），求另一個因式以及k的值．

22．分解因式：

（1）2x²﹣x；

（2）16x²﹣1；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²．

23．已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），試確定三角形的形狀．

24．分解因式

（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

（2）2a³﹣4a²b+2ab²．

25．圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

（1）圖②中的陰影部分的面積為 ；

（2）觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式（m+n）²、（m﹣n）²、mn之間的等量關(guān)系是 ．

（3）若x+y=7，xy=10，則（x﹣y）²= ．

（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．

如圖③，它表示了 ．

（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m²+4mn+3n²．

26．已知a、b、c滿足a﹣b=8，ab+c²+16=0，求2a+b+c的值．

27．已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：這個長方體的體積．

28．（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15．

29．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）²（1+x）

=（1+x）³

（1）上述分解因式的方法是 ，共應(yīng)用了 次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，則需應(yīng)用上述方法 次，結(jié)果是 ．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n為正整數(shù)）．

30．對于多項式x³﹣5x²+x+10，如果我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式x³﹣5x²+x+10=0，這時可以斷定多項式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式（x﹣a）），于是我們可以把多項式寫成：x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n），

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式x³﹣2x²﹣13x﹣10的因式．

參考答案與試題解析

一．填空題（共10小題）

1．（2016秋·望謨縣期末）已知x+y=10，xy=16，則x²y+xy²的值為　160　．

【分析】首先提取公因式xy，進而將已知代入求出即可．

【解答】解：∵x+y=10，xy=16，

∴x²y+xy²=xy（x+y）=10×16=160．

故答案為：160．

【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．

2．（2016秋·新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項分解成2（x﹣2）（x﹣4），請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來：　2（x﹣3）²　．

【分析】根據(jù)多項式的乘法將2（x﹣1）（x﹣9）展開得到二次項、常數(shù)項；將2（x﹣2）（x﹣4）展開得到二次項、一次項．從而得到原多項式，再對該多項式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．

【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x²﹣20x+18；

2（x﹣2）（x﹣4）=2x²﹣12x+16；

∴原多項式為2x²﹣12x+18．

2x²﹣12x+18=2（x²﹣6x+9）=2（x﹣3）²．

【點評】根據(jù)錯誤解法得到原多項式是解答本題的關(guān)鍵．二次三項式分解因式，看錯了一次項系數(shù)，但二次項、常數(shù)項正確；看錯了常數(shù)項，但二次項、一次項正確．

3．（2015春·昌邑市期末）若多項式x²+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是　±4　．

【分析】利用完全平方公式（a+b）²=（a﹣b）²+4ab、（a﹣b）²=（a+b）²﹣4ab計算即可．

【解答】解：∵x²+mx+4=（x±2）²，

即x²+mx+4=x²±4x+4，

∴m=±4．

故答案為：±4．

【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個變形公式是解題關(guān)鍵．

4．（2015秋·利川市期末）分解因式：4x²﹣4x﹣3=　（2x﹣3）（2x+1）　．

【分析】ax²+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a₁，a₂的積a₁·a₂，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c₁，c₂的積c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax²+bx+c=（a₁x+c₁）（a₂x+c₂），進而得出答案．

【解答】解：4x²﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．

故答案為：（2x﹣3）（2x+1）．

【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項系數(shù)是解題關(guān)鍵．

5．（2015春·東陽市期末）利用因式分解計算：202²+202×196+98²=　90000　．

【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式．

【解答】解：原式=202²+2x202x98+98²

=（202+98）²

=300²

=90000．

【點評】運用公式法可以簡便計算一些式子的值．

6．（2015秋·浮梁縣校級期末）△ABC三邊a，b，c滿足a²+b²+c²=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是　等邊三角形　．

【分析】分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以2，再化簡得（a﹣b）²+（a﹣c）²+（b﹣c）²=0，得出：a=b=c，即選出答案．

【解答】解：等式a²+b²+c²=ab+bc+ac等號兩邊均乘以2得：

2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ac，

即a²﹣2ab+b²+a²﹣2ac+c²+b²﹣2bc+c²=0，

即（a﹣b）²+（a﹣c）²+（b﹣c）²=0，

解得：a=b=c，

所以，△ABC是等邊三角形．

故答案為：等邊三角形．

【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡式子得a=b=c，由三邊相等判定△ABC是等邊三角形．

7．（2015秋·鄂托克旗校級期末）計算：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²=　5151　．

【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+（3²﹣2²）+（5²﹣4²）+（101²﹣100²），進一步運用高斯求和公式即可解決．

【解答】解：1²﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…﹣100²+101²

=1+（3²﹣2²）+（5²﹣4²）+（101²﹣100²）

=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）

=（1+101）×101÷2

=5151．

故答案為：5151．

【點評】此題考查因式分解的實際運用，分組分解，利用平方差公式解決問題．

8．（2015秋·樂至縣期末）定義運算a★b=（1﹣a）b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：

①2★（﹣2）=3

②a★b=b★a

③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=2ab

④若a★b=0，則a=1或b=0．

其中正確結(jié)論的序號是?、邰堋?/u>（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）．

【分析】根據(jù)題中的新定義計算得到結(jié)果，即可作出判斷．

【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本選項錯誤；

②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本選項錯誤；

③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a²+b﹣b²=﹣a²﹣b²=﹣2a²=2ab，本選項正確；

④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，則a=1或b=0，本選項正確，

其中正確的有③④．

故答案為③④．

【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．

9．（2015春·張掖校級期末）如果1+a+a²+a³=0，代數(shù)式a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸=　0　．

【分析】4項為一組，分成2組，再進一步分解因式求得答案即可．

【解答】解：∵1+a+a²+a³=0，

∴a+a²+a³+a⁴+a⁵+a⁶+a⁷+a⁸，

=a（1+a+a²+a³）+a⁵（1+a+a²+a³），

=0+0，

=0．

故答案是：0．

【點評】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題．

10．（2015春·昆山市期末）若多項式x²﹣6x﹣b可化為（x+a）²﹣1，則b的值是　﹣8　．

【分析】利用配方法進而將原式變形得出即可．

【解答】解：∵x²﹣6x﹣b=（x﹣3）²﹣9﹣b=（x+a）²﹣1，

∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，

解得：a=﹣3，b=﹣8．

故答案為：﹣8．

【點評】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵．

二．解答題（共20小題）

11．已知n為整數(shù)，試說明（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

【分析】用平方差公式展開（n+7）²﹣（n﹣3）²，看因式中有沒有20即可．

【解答】解：（n+7）²﹣（n﹣3）²=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），

∴（n+7）²﹣（n﹣3）²的值一定能被20整除．

【點評】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）．

12．（2016秋·農(nóng)安縣校級期末）因式分解：4x²y﹣4xy+y．

【分析】先提取公因式y(tǒng)，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．

【解答】解：4x²y﹣4xy+y

=y（4x²﹣4x+1）

=y（2x﹣1）²．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

13．（2015秋·成都校級期末）因式分解

（1）a³﹣ab²

（2）（x﹣y）²+4xy．

【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）原式=a（a²﹣b²）=a（a+b）（a﹣b）；

（2）原式=x²﹣2xy+y²+4xy=x²+2xy+y²=（x+y）²．

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．

14．（2015春·甘肅校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，

例題：若m²+2mn+2n²﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：∵m²+2mn+2n²﹣6n+9=0

∴m²+2mn+n²+n²﹣6n+9=0

∴（m+n）²+（n﹣3）²=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

問題：

（1）若x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，求x^y的值．

（2）已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形？

【分析】（1）首先把x²+2y²﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）²+（y+2）²=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=﹣2，代入求得數(shù)值即可；

（2）先把a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）²+（b﹣3）²+|3﹣c|=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3，得出三角形的形狀即可．

【解答】解：（1）∵x²+2y²﹣2xy+4y+4=0

∴x²+y²﹣2xy+y²+4y+4=0，

∴（x﹣y）²+（y+2）²=0

∴x=y=﹣2

∴

；

（2）∵a²+b²﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，

∴a²﹣6a+9+b²﹣6b+9+|3﹣c|=0，

∴（a﹣3）²+（b﹣3）²+|3﹣c|=0

∴a=b=c=3

∴三角形ABC是等邊三角形．

【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題．

15．（2015秋·太和縣期末）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù)．

（1）36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？

（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為　2500　．

【分析】（1）利用36=10²﹣8²；2016=505²﹣503²說明36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”；

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2（n為自然數(shù)），則“和諧數(shù)”=（2n+2）²﹣（2n）²，利用平方差公式展開得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；

（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為：2²﹣0²=4，最大的為：50²﹣48²=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們的和．

【解答】解：（1）36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”．理由如下：

36=10²﹣8²；2016=505²﹣503²；

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（n為自然數(shù)），

∵（2k+2）²﹣（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）

=（4k+2）×2

=4（2k+1），

∵4（2k+1）能被4整除，

∴“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；

（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和，

S=（2²﹣0²）+（4²﹣2²）+（6²﹣4²）+…+（50²﹣48²）=50²=2500．

故答案是：2500．

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進行變形，從而達到使計算簡化．

16．（2015春·興化市校級期末）如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片．

（1）如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形 （在圖2虛線框中畫出圖形），并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a²+3ab+2b²分解因式．

（2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積．

（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形．

【分析】（1）根據(jù)小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；

（2）由長方形②的周長為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形①與大正方形③的面積之和為a²+b²⁼¹⁶⁹，將a+b=17兩邊同時平方，可求得ab的值，從而可求得長方形②的面積；

（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式可知：（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．因為現(xiàn)有三種紙片各8張，

n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）從而可知n≤2，m≤2，從而可得出答案．

【解答】解：（1）如圖：

拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長方形

∴a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）；

（2）∵長方形②的周長為34，

∴a+b=17．

∵小正方形①與大正方形③的面積之和為169，

∴a²+b²=169．

將a+b=17兩邊同時平方得：（a+b）²=17²，整理得：a²+2ab+b²=289，

∴2ab=289﹣169，

∴ab=60．

∴長方形②的面積為60．

（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）

∴正方形的面積=（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．

∵現(xiàn)有三種紙片各8張，

∴n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）

∴n≤2，m≤2．

∴共有以下四種情況；

①n=1，m=1，正方形的邊長為a+b；

②n=1，m=2，正方形的邊長為a+2b；

③n=2，m=1，正方形的邊長為2a+b；

④n=2，m=2，正方形的邊長為2a+2b．

【點評】此題考查因式分解的運用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用完全平方公式．

17．（2014秋·萊城區(qū)校級期中）（1）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2．

①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；

②由此，你可以得出的一個等式為：　a²+2a+1 = （a+1）²　．

（2）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示．

①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；

②請你用拼圖等方法推出2a²+5ab+2b²因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖．

【分析】（1）要能根據(jù)所給拼圖運用不同的計算面積的方法，來推導(dǎo)公式；

（2）要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖．

【解答】解：（1）①長方形的面積=a²+2a+1；長方形的面積=（a+1）²；

②a²+2a+1=（a+1）²；

（2）①如圖，可推導(dǎo)出（a+b）²=a²+2ab+b²；

②2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）．

【點評】本題考查運用正方形或長方形的面積計算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運用圖形的面積計算的不同方法得到多項式的因式分解．

18．（2013秋·海淀區(qū)校級期末）已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s₁=a+b，s₂=a²+b²，s₃=a³+b³，…，s_n=aⁿ+bⁿ

（1）計算s₂；

（2）請閱讀下面計算s₃的過程：

因為a+b=1，ab=﹣1，

所以s₃=a³+b³=（a+b）（a²+b²）﹣ab（a+b）=1×s₂﹣（﹣1）=s₂+1=　4　

你讀懂了嗎？請你先填空完成（2）中s₃的計算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計算s₄．

（3）試寫出s_n﹣2，s_n﹣1，s_n三者之間的關(guān)系式；

（4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計算s₆．

【分析】（1）（2）利用完全平方公式進行化簡，然后代入a+b，ab的值，即可推出結(jié)論；

（3）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出S_n﹣2+S_n﹣1=S_n；

（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，即可推出a⁶+b⁶=S₆=S₄+S₅=2S₄+S₃．

【解答】解：（1）S₂=a²+b²=（a+b）²﹣2ab=3；

（2）∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），

∴3×1=a³+b³﹣1，

∴a³+b³=4，即S₃=4；

∵S₄=（a²+b²）²﹣2（ab）²=7，

∴S₄=7；

（3）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，

∴S₂+S₃=S₄，

∴S_n﹣2+S_n﹣1=S_n；

（3）∵S_n﹣2+S_n﹣1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，

∴S₅=4+7=11，

∴S₆=7+11=18．

【點評】本題主要考查整式的混合運算、完全平方公式的運用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析歸納出規(guī)律：S_n﹣2+S_n﹣1=S_n．

19．（2013春·重慶校級期末）（1）利用因式分解簡算：9.8²+0.4×9.8+0.04

（2）分解因式：4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

【分析】（1）利用完全平方公式因式分解計算即可；

（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．

【解答】解：（1）原式=9.8²+2×0.2×9.8+0.2²

=（9.8+0.2）²

=100；

（2）4a（a﹣1）²﹣（1﹣a）

=（a﹣1）（4a²﹣4a+1）

=（a﹣1）（2a﹣1）²．

【點評】此題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．

20．（2013春·惠山區(qū)校級期末）閱讀材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16=0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）²+（n﹣4）²=0，∴（m﹣n）²=0，（n﹣4）²=0，∴n=4，m=4．

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

（1）已知x²+2xy+2y²+2y+1=0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a²+b²﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值．

（3）已知a﹣b=4，ab+c²﹣6c+13=0，則a﹣b+c=　7　．

【分析】（1）將多項式第三項分項后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x﹣y的值；

（2）將已知等式25分為9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長；

（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．

【解答】解：（1）∵x²+2xy+2y²+2y+1=0

∴（x²+2xy+y²）+（y²+2y+1）=0

∴（x+y）²+（y+1）²=0

∴x+y=0 y+1=0

解得x=1，y=﹣1

∴x﹣y=2；

（2）∵a²+b²﹣6a﹣8b+25=0

∴（a²﹣6a+9）+（b²﹣8b+16）=0

∴（a﹣3）²+（b﹣4）²=0

∴a﹣3=0，b﹣4=0

解得a=3，b=4

∵三角形兩邊之和＞第三邊

∴c＜a+b，c＜3+4

∴c＜7，又c是正整數(shù)，

∴c最大為6；

（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c²﹣6c+13=0，

整理得：（b²+4b+4）+（c²﹣6c+9）=（b+2）²+（c﹣3）²=0，

∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，

則a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．

故答案為：7．

【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．

21．（2012秋·溫嶺市校級期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項式x²﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．

解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x²﹣4x+m=（x+3）（x+n），則x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4

m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．

問題：

（1）若二次三項式x²﹣5x+6可分解為（x﹣2）（x+a），則a=　﹣3　；

（2）若二次三項式2x²+bx﹣5可分解為（2x﹣1）（x+5），則b=　9　；

（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x²+5x﹣k有一個因式是（2x﹣3），求另一個因式以及k的值．

【分析】（1）將（x﹣2）（x+a）展開，根據(jù)所給出的二次三項式即可求出a的值；

（2）（2x﹣1）（x+5）展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出b的值；

（3）設(shè)另一個因式為（x+n），得2x²+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x²+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，繼而求出n和k的值及另一個因式．

【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x²+（a﹣2）x﹣2a=x²﹣5x+6，

∴a﹣2=﹣5，

解得：a=﹣3；

（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x²+9x﹣5=2x²+bx﹣5，

∴b=9；

（3）設(shè)另一個因式為（x+n），得2x²+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x²+（2n﹣3）x﹣3n，

則2n﹣3=5，k=3n，

解得：n=4，k=12，

故另一個因式為（x+4），k的值為12．

故答案為：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個因式是x+4，k=12（6分）．

【點評】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．

22．（2012春·郯城縣期末）分解因式：

（1）2x²﹣x；

（2）16x²﹣1；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²．

【分析】（1）直接提取公因式x即可；

（2）利用平方差公式進行因式分解；

（3）先提取公因式﹣y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解；

（4）把（x﹣y）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：（1）2x²﹣x=x（2x﹣1）；

（2）16x²﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；

（3）6xy²﹣9x²y﹣y³，

=﹣y（9x²﹣6xy+y²），

=﹣y（3x﹣y）²；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）²，

=[2+3（x﹣y）]²，

=（3x﹣3y+2）²．

【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點在（3），提取公因式﹣y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進行二次因式分解．

23．（2012春·碑林區(qū)校級期末）已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），試確定三角形的形狀．

【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．

【解答】解：∵（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），

∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，=3a²+3b²+3c²，

a²+b²﹣2ab+b²+c²﹣2bc+a²+c²﹣2ac=0，

即（a﹣b）²+（b﹣c）²+（c﹣a）²=0，

∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，

∴a=b=c，

故△ABC為等邊三角形．

【點評】本題考查了配方法的運用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷．關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．

24．（2011秋·北辰區(qū)校級期末）分解因式

（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

（2）2a³﹣4a²b+2ab²．

【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；

（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：（1）2x⁴﹣4x²y²+2y⁴

=2（x⁴﹣2x²y²+y⁴）

=2（x²﹣y²）²

=2（x+y）²（x﹣y）²；

（2）2a³﹣4a²b+2ab²

=2a（a²﹣2ab+b²）

=2a（a﹣b）²．

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，提取公因式后利用公式進行二次分解，注意分解要徹底．

25．（2011秋·蘇州期末）圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

（1）圖②中的陰影部分的面積為?。╩﹣n）²　；

（2）觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式（m+n）²、（m﹣n）²、mn之間的等量關(guān)系是?。╩+n）²﹣（m﹣n）²=4mn　．

（3）若x+y=7，xy=10，則（x﹣y）²=　9　．

（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．

如圖③，它表示了?。╩+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²　．

（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m²+4mn+3n²．

【分析】（1）可直接用正方形的面積公式得到．

（2）掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別．

（3）此題可參照第（2）題．

（4）可利用各部分面積和=長方形面積列出恒等式．

（5）可參照第（4）題畫圖．

【解答】解：（1）陰影部分的邊長為（m﹣n），陰影部分的面積為（m﹣n）²；

（2）（m+n）²﹣（m﹣n）²=4mn；

（3）（x﹣y）²=（x+y）²﹣4xy=7²﹣40=9；

（4）（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；

（5）答案不唯一：

例如：

．

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進行變形．

26．（2009秋·海淀區(qū)期末）已知a、b、c滿足a﹣b=8，ab+c²+16=0，求2a+b+c的值．

【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進行因式分解；但是將已知的兩個式子進行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；將其代入ab+c²+16=0得：b²+8b+c²+16=0；此時可發(fā)現(xiàn)b²+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進而可求得a的值；然后代值運算即可．

【解答】解：因為a﹣b=8，

所以a=b+8．（1分）

又ab+c²+16=0，

所以（b+8）b+c²+16=0．（2分）

即（b+4）²+c²=0．

又（b+4）²≥0，c²≥0，

則b=﹣4，c=0．（4分）

所以a=4，（5分）

所以2a+b+c=4．（6分）

【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．

27．（2010春·北京期末）已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，

求：這個長方體的體積．

【分析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222．就可求出長方體體積abc了．

【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，

a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，

（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，

（1+b）（c+1+a+ac）=2007，

（1+b）（c+1）（a+1）=2007，

2007只能分解為3×3×223

∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為3、3、223

∴a、b、c也只能分別為2、2、222

∴長方體的體積abc=888．

【點評】本題考查了三次的分解因式，做題當(dāng)中用加減項的方法，使式子滿足分解因式．

28．（2007秋·普陀區(qū)校級期末）（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15．

【分析】把（x²﹣4x）看作一個整體，先把﹣15寫成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3寫成（﹣1）×（﹣3），﹣5寫成1×（﹣5），分別利用十字相乘法分解因式即可．

【解答】解：（x²﹣4x）²﹣2（x²﹣4x）﹣15，

=（x²﹣4x+3）（x²﹣4x﹣5），

=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．

【點評】本題考查了十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程，本題需要進行多次因式分解，分解因式一定要徹底．

29．（2007春·鎮(zhèn)海區(qū)期末）閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

1+x+x（x+1）+x（x+1）²

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）²（1+x）

=（1+x）³

（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共應(yīng)用了　2　次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，則需應(yīng)用上述方法　2004　次，結(jié)果是?。?+x）²⁰⁰⁵　．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n為正整數(shù)）．

【分析】此題由特殊推廣到一般，要善于觀察思考，注意結(jié)果和指數(shù)之間的關(guān)系．

【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共應(yīng)用了2次．

（2）需應(yīng)用上述方法2004次，結(jié)果是（1+x）²⁰⁰⁵．

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，

=（1+x）²（1+x）+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，

=（1+x）³+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，

=（x+1）ⁿ+x（x+1）ⁿ，

=（x+1）ⁿ⁺¹．

【點評】本題考查了提公因式法分解因式的推廣，要認(rèn)真觀察已知所給的過程，弄清每一步的理由，就可進一步推廣．

30．（2007春·射洪縣校級期末）對于多項式x³﹣5x²+x+10，如果我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式x³﹣5x²+x+10=0，這時可以斷定多項式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式（x﹣a）），于是我們可以把多項式寫成：x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n），

（1）求式子中m、n的值；

（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式x³﹣2x²﹣13x﹣10的因式．

【分析】（1）根據(jù)（x﹣2）（x²+mx+n）=x³+（m﹣2）x²+（n﹣2m）x﹣2n，得出有關(guān)m，n的方程組求出即可；

（2）由把x=﹣1代入x³﹣2x²﹣13x﹣10，得其值為0，則多項式可分解為（x+1）（x²+ax+b）的形式，進而將多項式分解得出答案．

【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x²+mx+n）=x³+（m﹣2）x²+（n﹣2m）x﹣2n，

=x³﹣5x²+x+10，（2分）

所以

，

解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），

方法二：在等式x³﹣5x²+x+10=（x﹣2）（x²+mx+n）中，

分別令x=0，x=1，

即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根據(jù)上面標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）

（2）把x=﹣1代入x³﹣2x²﹣13x﹣10，得其值為0，

則多項式可分解為（x+1）（x²+ax+b）的形式，（7分）

用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）

所以x³﹣2x²﹣13x﹣10=（x+1）（x²﹣3x﹣10），（9分）

=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）

【點評】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)已知獲取正確的信息，是近幾年中考中熱點題型同學(xué)們應(yīng)熟練掌握獲取正確信息的方法．