當(dāng)題目中出現(xiàn)證明線段不等時，輔助線的引用技巧

例題1

如圖已知，AD為△ABC的中線且∠1＝∠2，∠3＝∠4，

求證：BE＋CF＞EF。

解題方法：

當(dāng)遇到題目中給出角分線這樣已知條件時，通常情況下的解題方法是在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，進而將問題解決。

證明：

在DE上截取DN＝DB，連接NE、NF，

則DN＝DC，

在△BDE和△NDE中，

DN＝DB，

∠1＝∠2，

ED＝ED，

△BDE≌△NDE，

BE＝NE，

同理可證：CF＝NF，

在△EFN中，EN＋FN＞EF，

所以BE＋CF＞EF。

例題2

如圖已知，AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，

求證：BE＋CF＞EF。

解題方法;

當(dāng)題目中的已知條件給出有以線段中點為端點的線段時，通常的解題方法是：加倍延長這條線段，通過構(gòu)造全等三角形進行求解。

證明：

延長ED到M，使得DM＝DE，連結(jié)CM、FM，

△BDE和△CDM中，

BD＝CD，

∠1＝∠5,

ED＝MD，

所以△BDE≌△CDM，

所以CM＝BE。

有因為∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

所以∠3＋∠2＝90°，

即∠EDF＝90°，

所以∠FDM＝∠EDF＝90°，

△EDF和△MDF中，

ED＝DF，

所以△EDF≌△MDF，

所以EF＝MF，

因為在△CMF中，CF＋CM＞MF，

BE＋CF＞EF。

例題3

如圖已知，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。

解題方法：

當(dāng)題目中的已知條件給出有中線時，通常加倍延長中線這條線段，來構(gòu)造全等三角形進而解題。

證明：

延長AD至E，使得DE＝AD，連接BE，

因為AD為ABC中線，

所以BD＝CD，

在△ACD和△EBD中 ，

BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，

所以△ACD≌△EBD，

因為△ABE中有AB＋BE＞AE，

所以AB＋AC＞2AD。

例題4

如圖已知，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點，

求證：AB－AC＞PB－PC。

解題方法：

遇到這種類型的題目時，我們通常采用截長補短法，作輔助線來進行解題。

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等；

這兩種方法統(tǒng)稱為截長補短法。

這種方法主要適用于題目已知或者求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時，使用這種方法。

①a＞b

②a±b＝c

③a±b＝c±d

證明：

⑴截長法：

在AB上截取AN＝AC，連接PN，

在△APN和△APC中，

N＝AC，∠1＝∠2，AP＝AP

所以△APN≌△APC，

所以PC＝PN

因為△BPN中有PB－PC＜BN，

所以PB－PC＜AB－AC。

⑵補短法

延長AC至M，使AM＝AB，連接PM，

在△ABP和△AMP中，

AB＝AM，∠1＝∠2，AP＝AP，

所以△ABP≌△AMP，所以PB＝PM，

又因為在△PCM中有CM＞PM－PC，

所以AB－AC＞PB－PC。

練習(xí)：

1.已知，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O。求證：AC＝AE＋CD。

2.已知如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BC＝AB＋CD。