一、相似三角形中的動點問題

1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB1∥AC．動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；

（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值．

2.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動．同時，動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動．當其中有一點到達終點時，它們都停止移動．設移動的時間為t秒．

（1）①當t=2.5s時，求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S（平方米）關于時間t（秒）的函數(shù)解析式；

（2）在P，Q移動的過程中，當△CPQ為等腰三角形時，求出t的值．

3.如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，EM⊥BD，垂足為M，EN⊥CD，垂足為N．

（1）當AD＝CD時，求證：DE∥AC；

（2）探究：AD為何值時，△BME與△CNE相似？

4.如圖所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當P點到達B點時，Q點隨之停止運動．設運動的時間為x．

（1）當x為何值時，PQ∥BC？

（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能說明理由．

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0＜t＜6）。

（1）當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？

（2）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

二、構造相似輔助線——雙垂直模型

6.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個正比例函數(shù)的表達式．

7.在△ABC中，AB=2√5，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點的異側作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點．求證：MC：NC=AP：PB．

三、構造相似輔助線——A、X字型

11.如圖：△ABC中，D是AB上一點，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：AB/AC=CF/DF

四、相似類定值問題

16.如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F． 求證：1/CE+1/BF=3/AB．

五、相似之共線線段的比例問題

21.已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP²＝PE·PF ．

六、相似之等積式類型綜合

29.如圖，BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，過D作DG⊥BC于G，分別交CE及BA的延長線于F、H。 求證：（1）DG²＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH

七、 相似基本模型應用

30.△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．（1）如圖1，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；

（2）如圖2，將△DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結論．