自古套路得人心

【題目】

（2018·臨沂）如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=1/2DE．

①求點P的坐標；

②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】 

解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，

∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴AC/BC=2，∴AC/3=2，

∴AC=6，∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）

代入y=﹣x2+bx+c得：-4-2b+c=6，-1+b+c=0，

解得：b=-3，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；

備注：根據(jù)線段長及比例關系，求出點坐標，待定系數(shù)法求解析式。

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

易得AB的解析式為：y=﹣2x+2，

設P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），

∵PE=1/2DE，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=1/2（﹣2x+2），

x=1（舍）或﹣1，

∴P（﹣1，6）；

備注：設未知數(shù)，利用線段的等量關系建立方程，得點P的坐標。

②∵M在直線PD上，且P（﹣1，6），

設M（﹣1，y），

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2，

AB2=（1+2）2+62=45，

分三種情況：

i）當∠AMB=90°時，有AM2+BM2=AB2，

∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，

解得：y=3±√11，

∴M（﹣1，3+√11）或（﹣1，3﹣√11）；

ii）當∠ABM=90°時，有AB2+BM2=AM2，

∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，

y=﹣1，

∴M（﹣1，﹣1），

iii）當∠BAM=90°時，有AM2+AB2=BM2，

∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，

y=13/2，

∴M（﹣1，13/2）；

綜上所述，點M的坐標為：∴M（﹣1，3+√11）或（﹣1，3﹣√11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，13/2）．

備注：兩定一動直角三角形的存在性問題，思路有三：

①設未知數(shù)，利用勾股建立等量關系，分類討論求解；

②兩圓一線，利用直角構造三垂直得相似，由比例得線段長；

③利用高中兩直線互相垂直k1·k2=-1，可以求出直線解析式，求出交點坐標即可。