怎樣用非數(shù)學(xué)語(yǔ)言講解貝葉斯定理（Bayes theorem）？

taotao_2016 2019-05-06

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一機(jī)器在良好狀態(tài)生產(chǎn)合格產(chǎn)品幾率是 $90\%$ ，在故障狀態(tài)生產(chǎn)合格產(chǎn)品幾率是 $30\%$ ，機(jī)器良好的概率是 $75\%$ ，若一日第一件產(chǎn)品是合格品，那么此日機(jī)器良好的概率是多少？

這是貝葉斯定理的一個(gè)典型應(yīng)用。如何在邏輯上進(jìn)行推理，而不套用公式得到答案呢？這是我們今天的工作。

1 三個(gè)要素

概率的問(wèn)題其實(shí)只要把握好概率空間的三要素樣本空間，事件，概率就可以了。

那這三要素是什么意思呢？這里簡(jiǎn)單做個(gè)介紹。

還是經(jīng)典的擲硬幣。

樣本空間就是事件條件下所得到的所有結(jié)果，因此擲一次硬幣的樣本空間為{正面，反面}。

而概率空間中的事件與我們平時(shí)生活中所說(shuō)的事件沒(méi)有任何分別。這里指的是此擲一次硬幣。

概率，就是事件發(fā)生后，出現(xiàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)與樣本空間個(gè)數(shù)的比值。

假如此次為擲硬幣的結(jié)果為正面，因?yàn)檎孢@個(gè)結(jié)果只發(fā)生了一次，而樣本空間的個(gè)數(shù)是2，所以擲一次硬幣出現(xiàn)正面的概率就為 $1/2$ .

2 題目中的三要素

知道了概率空間的結(jié)構(gòu)，我們來(lái)找找開(kāi)篇題目中的三要素。

若一日第一件產(chǎn)品是合格品，那么此日機(jī)器良好的概率是多少？

這句話告訴我們，在產(chǎn)品是合格品的范圍內(nèi)，找到機(jī)器良好的發(fā)生概率。

可見(jiàn)所有的合格品是樣本空間。而機(jī)器良好是事件。

2.1 一個(gè)小tips

因?yàn)樵诟怕收摰念}目中，經(jīng)常出現(xiàn)不同樣本空間下的概率數(shù)字，這樣有時(shí)會(huì)產(chǎn)生困惑。因此，建議初學(xué)者使用一個(gè)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，統(tǒng)一量綱。

這里的題目對(duì)象是產(chǎn)品，據(jù)此假設(shè)有1000件產(chǎn)品。開(kāi)始我們的計(jì)算。

2.2 樣本空間

我們把題目的信息都給加上去。首先我們的對(duì)象是產(chǎn)品。(后面沒(méi)有標(biāo)注單位的默認(rèn)為件)

機(jī)器良好的概率是 $75\%$ ,則故障的概率為 $25\%$

良好狀態(tài)生產(chǎn)合格產(chǎn)品幾率是 $90\%$ 。

在故障狀態(tài)生產(chǎn)合格產(chǎn)品幾率是 $30\%$

需要注意的是，這里 $90\%$ 所對(duì)應(yīng)的樣本空間為良好狀態(tài)。 $30\%$ 所對(duì)應(yīng)的樣本空間為故障狀態(tài)。

放到同一張圖中

因?yàn)樽詈笠业臉颖究臻g為所有的合格品，因此去掉對(duì)我們沒(méi)有意義的機(jī)器是否正常的劃分。

整個(gè)樣本空間的大小為縮小為750件合格產(chǎn)品。

而機(jī)器正常時(shí)，生產(chǎn)出正常產(chǎn)品為675件.

因此答案就是事件大小/樣本大小 = 675/750= $90\%$

3 貝葉斯定理

3.1 條件概率

條件概率指在

事件發(fā)生的情況下，

事件發(fā)生的概率。

事件發(fā)生的情況下',代表

為樣本空間，'

事件發(fā)生的概率',代表 $A\cap B$ 為事件。

因此 $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .

做一下公式變形 $P(A\cap B)=P(B|A)P(A)$ .

3.2 貝葉斯定理

文章開(kāi)頭說(shuō)了，這是一個(gè)貝葉斯定理的典型應(yīng)用。

那貝葉斯定理到底是什么呢？

可見(jiàn) $P(D)=P(D\cap A) + P(D\cap B) + P(D\cap C)$

由條件概率的公式也可以寫成

P(D)=P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(AC)

算出來(lái)的結(jié)果就是事件

在樣本空間

下發(fā)生的概率。

先發(fā)生

再發(fā)生

的事件

計(jì)算事件在樣本空間下的概率

那么

發(fā)生在

中的概率

$P(A|D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}$

$=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(AC)}$

這就是貝葉斯公式

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