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職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間 一、如此復(fù)雜，精細(xì)的圖形 首先請先欣賞下面這幅圖： 這幅圖給人的第一印象是非常精細(xì)，而且細(xì)心的朋友可能會發(fā)現(xiàn)，這幅圖的許多小部分放大后和整體非常相似。 比如我們把上圖畫框的部分放大，大家看： 再畫個小框放大！里面還是大有乾坤！ 這種圖形的精細(xì)之處在于：無論你把哪個局部放大，無論你放大多少倍，你都會看到和整體類似的圖形。 大家可以想象一下，這個圖形到底有多復(fù)雜，多精細(xì)。而我要告訴大家的是，生成這個圖形背后的數(shù)學(xué)原理，非常簡單！同樣的數(shù)學(xué)原理，可以生成許許多多這樣的圖形(大量精美圖片放在文章第三節(jié)，讀者可先跳過欣賞)。 二，背后的數(shù)學(xué)原理 為了理解這些圖像背后的數(shù)學(xué)原理，我們需要三個關(guān)于復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識。 還記得這個方程嗎？初中數(shù)學(xué)老師告訴我們這個方程無解，因?yàn)椴徽撌钦龜?shù)還是負(fù)數(shù)，它們的平方都大于零。 上了高中后，高中數(shù)學(xué)老師卻告訴我們這個方程有個虛數(shù)解，然后開始引入復(fù)數(shù)。 一，復(fù)數(shù)，指形如x yi的數(shù)，其中x,y是實(shí)數(shù)，而i是滿足 i2=-1的虛數(shù)。復(fù)數(shù)的加法非常簡單：(x yi) (u vi)=(x u) (y v)i。乘法稍稍有點(diǎn)復(fù)雜，但其實(shí)都是由公式i2=-1推導(dǎo)出來的。 比如 i·(2-i)=1 2i； i·(1 i)=-1 i； (1 i)2=1 2i i2=2i 一般的復(fù)數(shù)乘法公式是: (x yi)(u vi)=(xu-yv) (xv yu)i 二，復(fù)數(shù)z=x yi的模ⅠzⅠ是定義為： 兩個復(fù)數(shù)的乘積的模等于它們的模的乘積。 這個結(jié)論可以由復(fù)數(shù)乘法公式和下面公式直接得到： 還記得初中時學(xué)過的一個重要知識嗎：所有實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)一一對應(yīng)？其實(shí)復(fù)數(shù)也有類似的說法。 三，復(fù)數(shù)和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，復(fù)數(shù)x yi對應(yīng)坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)。根據(jù)勾股定理，復(fù)數(shù)的模就是對應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。 所以接下來我們會把復(fù)數(shù)看成平面上的點(diǎn)，平面上的點(diǎn)也會看成復(fù)數(shù)，重要的事情說三遍： 復(fù)數(shù)就是平面上的點(diǎn)！ 復(fù)數(shù)就是平面上的點(diǎn)！ 復(fù)數(shù)就是平面上的點(diǎn)！ 現(xiàn)在我們可以來講述精美圖形背后的數(shù)學(xué)原理了。首先，給定一個固定的二次多項(xiàng)式f(x)=x2 c，其中c是固定的復(fù)數(shù)。接下來，任意的一個復(fù)數(shù)z，代入到多項(xiàng)式f(x)中，都會得到一個新的復(fù)數(shù)f(z)=z2 c，再把這個新的復(fù)數(shù)再代入到多項(xiàng)式f(x)中，又會得到一個新的復(fù)數(shù)f(f(z))=(z2 c)2 c， 一直這樣做下去，就會得到一個無窮的復(fù)數(shù)序列，也就是平面上的無窮多個點(diǎn)。
如果這無窮多個點(diǎn)都落在某個以原點(diǎn)為圓心的圓內(nèi)(說得專業(yè)一點(diǎn)就是，如果這無窮多個點(diǎn)是有界的)，
也就是說，如果這些復(fù)數(shù)的模都會小于某個正數(shù)R的話，那我們就稱 z 為良好點(diǎn)。所有的良好點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為多項(xiàng)式 f 的填充朱麗葉集(filled Julia set)，填充朱麗葉集的邊界稱為多項(xiàng)式 f 的朱麗葉集(Julia set)。
(1893 – 1978) 我們來看最簡單的例子，多項(xiàng)式f(x)=x2的朱麗葉集。x2的作用就是平方運(yùn)算，所以任何復(fù)數(shù)z不斷代入這個多項(xiàng)式得到的無窮復(fù)數(shù)序列就是：
根據(jù)復(fù)數(shù)的模的乘法性質(zhì)，這些復(fù)數(shù)的模分別是：
使得這個無窮數(shù)列保持有界的復(fù)數(shù)z，正是那些模小于或等于1的復(fù)數(shù)，而這些復(fù)數(shù)在平面上構(gòu)成了單位圓盤(x2 y2≤1)。所以多項(xiàng)式x2的填充朱麗葉集就是單位圓盤，而朱麗葉集就是圓盤的邊界，也就是單位圓周(x2 y2＝1)。
三，這里的美，超凡脫俗，令人窒息 在mathematica軟件中繪制朱麗葉集，雖然精度不是很高，但畫出來的圖形已經(jīng)足夠優(yōu)美了。我們先來看一下，當(dāng)c很小的時候，比如c=-0.2 0.2i時，多項(xiàng)式x2 c的朱麗葉集已經(jīng)非常粗糙了，但至少還可以圍成一塊完整的區(qū)域
c繼續(xù)變化時，情況就完全不一樣了，我們已經(jīng)引領(lǐng)大家來到一個全新的美學(xué)世界，這里的美，超凡脫俗，令人窒息！ 下面是x2-0.77-0.22i 的朱麗葉集，我們在文章開始的時候已經(jīng)見過了
x2 0.365-0.37i 的朱麗葉集:大大小小的風(fēng)車不停地轉(zhuǎn)動
x2-0.6358 0.682i 的朱麗葉集,光禿禿的枝干
x2-0.55 0.64i 的朱麗葉集,長出枝葉
x2-0.52 0.62i 的朱麗葉集,越長越茂盛
x2-0.51251-0.521296i 的朱麗葉集:無窮無盡的鎖鏈！
x2-0.5264-0.5255i 的朱麗葉集:鎖鏈越拉越長
x2-0.534-0.5255i 的朱麗葉集:越拉越細(xì)
x2-0.54-0.5255i 的朱麗葉集:鎖鏈終于拉斷了
x2-0.62－0.44i 的朱麗葉集,我們用綠色來填充，這樣效果更好，像不像仙人掌。
x2-0.69－0.31i 的朱麗葉集,仙人球！
x2-0.691 0.312i的朱麗葉集:黑心花椰菜
x2-0.6984 0.31i的朱麗葉集:花椰菜脫水
x2 0.26 的朱麗葉集,這是貓頭鷹家族嗎？
x2 0.34-0.05i 的朱麗葉集,簡直就是一只怪獸
x2 0.375-0.083i 的朱麗葉集,怪獸被打碎了
x2 0.42413 0.20753i 的朱麗葉集：另一只怪獸
x2 0.3593 0.5103i 的朱麗葉集,怪獸被打彎了
x2 0.338 0.489i 的朱麗葉集,怪獸又被打碎了
x2 i 的朱麗葉集:閃電！閃電！
x2-1.75488的朱麗葉集:灰機(jī)
x2-1.38的朱麗葉集:葫蘆串？
x2 0.3-0.015i的朱麗葉集:晴轉(zhuǎn)多云
x2＋0.47-0.1566i的朱麗葉集:云散了
x2＋0.02-0.66i的朱麗葉集: 煙花綻放！
x2-0.6843-0.3944i的朱麗葉集:星塵？星云？
x2-0.0471-0.656i的朱麗葉集:吞噬一切的黑洞
x2-0.015-0.66i的朱麗葉集:蜘蛛網(wǎng)
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