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這幾天在雪鄉(xiāng)玩high了，所以沒有更新，抱歉抱歉。

抽屜原理的難題難在哪里？

往往是難在抽屜的構(gòu)造，特別是對(duì)于第一次接觸到的那種題目。長(zhǎng)期關(guān)注我公眾號(hào)的朋友都知道，在我看來，數(shù)學(xué)題要做的好，無非就是化歸思想掌握的好，但是這個(gè)掌握好又談何容易？

所以對(duì)于初學(xué)者來說，還是很有必要把題目多變幾個(gè)形式，讓他們能夠理解基本知識(shí)點(diǎn)可以怎樣進(jìn)行改頭換面。

例：在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）任意選5個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)證明：一定有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于1.

這是從來沒碰到過的問題。

幾何構(gòu)型的抽屜原理是第一次講，抓瞎了？正常。

我們想這樣一個(gè)問題，需要幾個(gè)抽屜？

很容易想出來：4個(gè)。

為什么是4個(gè)？

需要證明的結(jié)論是一定有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的不大于1，也就是一定要有兩個(gè)點(diǎn)落進(jìn)同一個(gè)抽屜，其他三個(gè)可以落在不同的抽屜，所以這樣應(yīng)該是4個(gè)。

抽屜和抽屜之間是平等的，所以我們需要把這個(gè)正三角形分成四個(gè)一模一樣的小三角形，很顯然，這四個(gè)三角形也應(yīng)該是正三角形。

我們把正三角形的三條邊的中點(diǎn)都連起來，這就得到了四個(gè)一模一樣的小正三角形——這是最直接的想法。

對(duì)不對(duì)？

其實(shí)我也不知道，先試試再說唄。

現(xiàn)在我們有五個(gè)點(diǎn)，四個(gè)抽屜，所以必然有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)點(diǎn)。而在一個(gè)正三角形中，兩點(diǎn)之間最遠(yuǎn)距離顯然就是兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離，小正三角形的邊長(zhǎng)是1，所以一定有兩點(diǎn)距離不超過1.

運(yùn)氣不錯(cuò)，一擊即中。

再來看個(gè)例子：

求證：在1,11,111,1111，……這一系列的數(shù)中，一定有一個(gè)是71的倍數(shù)。

你說我把這個(gè)數(shù)找出來行不行？

可以啊，你試試看吧——反正我是不找。

因?yàn)榧热活}目敢這么出，說明這個(gè)數(shù)不是那么容易能找到。

如果換個(gè)37，直接到111題目就做完了，所以讓我把這個(gè)數(shù)找出來，我是拒絕的。

數(shù)學(xué)家經(jīng)常被物理學(xué)家黑，比如說這么個(gè)笑話：工程師的房子著火了，他拿出一個(gè)滅火器把火撲滅了；

物理學(xué)家的房子著火了，他花了半天時(shí)間發(fā)明一種新式滅火器把火撲滅了；

數(shù)學(xué)家的房子著火了，他看了看墻角的滅火器然后說：滅火的方法是存在的，然后睡覺去了。

沒錯(cuò)，我們就是只要知道71的倍數(shù)存在就ok了，至于是多少，那是物理學(xué)家的事情。

這個(gè)題目怎么證明存在性呢？

還是要把這個(gè)數(shù)找到。

不對(duì)啊賊老師，你自己不是說不找的么？怎么又要找了？

找到是找到，肯定不是具體找到，我只要找到這里面的某個(gè)數(shù)，但是又不是具體的數(shù)就可以了。

是不是糊涂了？

既然講抽屜原理，抽屜在哪里？

我們看到，這些數(shù)是很有規(guī)律的，71的倍數(shù)也是很有規(guī)律的。如果把問題擴(kuò)大一點(diǎn)，變成我們?cè)趺幢ＷC任意給出的一些數(shù)里必然有71的倍數(shù)呢？

保證不了。

我們可以很簡(jiǎn)單地構(gòu)造出無數(shù)的自然數(shù)，里面一個(gè)都不是71的倍數(shù)——比如把所有自然數(shù)中71的倍數(shù)去掉即可。

但是如果我們?nèi)我馓舫?2個(gè)數(shù)，那么一定有兩個(gè)數(shù)的差是71的倍數(shù)。

為什么？因?yàn)槿我庖粋€(gè)自然數(shù)除以71得到的余數(shù)只能是從0到70這71個(gè)數(shù)，再加一個(gè)，必然有兩個(gè)余數(shù)相同，那么此時(shí)這兩個(gè)數(shù)的差就是71的倍數(shù)了。

所以，1,11,111,1111，……，這些自然數(shù)里必然有兩個(gè)的差是71的倍數(shù)。這兩個(gè)數(shù)我們不妨設(shè)為A和B，且A>B，那么A-B一定是11……100……的形式。

而100……必然和71互質(zhì)，所以前面的11……1就是71的倍數(shù)了，證畢。

現(xiàn)在明白了什么叫找到這個(gè)數(shù)但是并不是具體哪個(gè)數(shù)的意思了吧。

2018年最后一天，學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)也是挺好的~