考綱原文

用樣本估計總體

（1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).

（2）理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋.

（4）會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想.

（5）會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題.

知識點(diǎn)詳解

一、數(shù)字特征

1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

2．極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差．

注：平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．

3．性質(zhì)

二、莖葉圖

1．定義

莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．

2．表示方法

（1）對于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的一組數(shù)據(jù)：若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖，個位數(shù)字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將百位、十位數(shù)字作莖，個位數(shù)字作葉．樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時做類似處理．

（2）對于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù)，關(guān)鍵是找到兩組數(shù)據(jù)共有的莖．

三、統(tǒng)計表

1．頻率分布直方圖

（1）畫頻率分布直方圖的步驟

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；

②決定組距與組數(shù)；

③將數(shù)據(jù)分組；

④列頻率分布表；

⑤畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).

（2）頻率分布直方圖的性質(zhì)

①落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積的和等于1.

②頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

a.最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

b.中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

c.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．

2．頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．

3．各種統(tǒng)計表的優(yōu)點(diǎn)與不足

考向分析

考向一 數(shù)字特征的應(yīng)用

明確數(shù)字特征的意義：

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.

考向二 莖葉圖的應(yīng)用

莖葉圖的優(yōu)、缺點(diǎn)：

由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示，其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時，作圖較繁瑣.

考向三 頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布直方圖是用樣本估計總體的一種重要方法，是高考命題的一個熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：

(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)．

(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解．

(3)與概率有關(guān)的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等知識求解.