'角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等'是角平分線一個(gè)簡(jiǎn)單而又重要的性質(zhì)定理．運(yùn)用用個(gè)性質(zhì)定理可以解決許多具有一定難度的幾何題．

例 如圖1，已知△ABC中，AB>AC，∠BAC的外角平分線交外接圓于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F．

求證：AB-AC=2AF．

分析：此題曾經(jīng)是全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，初看似有一定的難度，但如果善于聯(lián)想，問(wèn)題解決并不難．

首先注意到D是角平分線上的點(diǎn)，DF⊥AB，聯(lián)想到定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等．為了利用這個(gè)定理，作DE⊥直線CA，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則DE=DF(如圖2)．

再考慮到點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)都在圓上，所以連接BD，可得圓內(nèi)接四邊形ACBD，從而可利用'圓內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角'，得∠DAE=∠DBC．

因?yàn)椤?em>DAE=∠DAB，

所以∠DAB=∠DBC，所以弧BD=弧CD，因此，連接DC，可得BD=DC．

注意到△BDF與△CDE中，BD=CD，DF=DE，

根據(jù)'斜邊直角邊'定理，得△BDF≌△CDE，

所以BF=CE，

而BF=AB-AF，CE=AC+AE，

所以AB-AF=AC+AE，

所以AB-AC=AF+AE．

顯然，AE=AF，

所以AB-AC=2AF．

證明：連接DB、DC，作DE⊥直線CA，垂足為E．

因?yàn)椤?em>DAE=∠DAF，DF⊥AB，

所以DE=DF，

因?yàn)?em>AD=AD，

所以△ADE≌△ADF，

所以AE=AF．

因?yàn)樗倪呅?em>ACBD內(nèi)接于圓，

所以∠DAE=∠DBC，

因?yàn)椤?em>DAE=∠DAB，

所以∠DAB=∠DBC，

所以弧BD=弧CD，

所以BD=DC．

在Rt△BDF與Rt△CDE中，

BD=CD，DF=DE，

所以△BDF≌△CDE，

所以BF=CE，

因?yàn)?em>BF=AB-AF，CE=AC+AE，

所以AB-AF=AC+AE，

所以AB-AC=AF+AE=AF+AF=2AF，

所以AB-AC=2AF．

從證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，本題獲得解決的關(guān)鍵在于為了利用角平分線性質(zhì)定理作出的輔助性DE，從而構(gòu)造了全等三角形．這種思路方法在其他相關(guān)問(wèn)題中都值得進(jìn)行嘗試．

練習(xí)：

1.如圖3，△ABC中，AB>AC，∠ABC的外角平分線交外接圓于點(diǎn)D，DE⊥BC，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．BE=1，求AB-BC．

（提示：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F）

2.如圖4，圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，D是弧BC上一點(diǎn)，DC>DB，AE⊥DC于E．

求證：DC-DB=2CE．

（提示：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD交BD延長(zhǎng)線于F）

3. 如圖5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B、∠C的平分線BD、CE相交于點(diǎn)I，求證：ID＝IE．

（提示：連接IA，過(guò)點(diǎn)I分別作IP⊥AC于P，IQ⊥AB于Q）