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【考點(diǎn)梳理】1．曲線與方程的定義 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 2．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟
【考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、直接法求軌跡方程 例1已知△ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________. [解析] 設(shè)A(x，y)，由題意可知Dx2，y2. [類題通法] 通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性。 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] [解析] 因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱， 考點(diǎn)二、相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程 例2設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且MN―→＝2MP―→，PM―→⊥PF―→，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程[解析] 設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵PM―→⊥PF―→，PM―→＝(x0，－y0)，PF―→＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y20＝0. 由MN―→＝2MP―→，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y， ∴－x＋y24＝0，即y2＝4x故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x[類題通法] 代入法求軌跡方程的四個(gè)步驟 (1)設(shè)出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P(x，y) (2)尋找所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q(x′，y′)的關(guān)系 (3)建立P，Q兩坐標(biāo)間的關(guān)系，并表示出x′，y′ (4)將x′，y′代入已知曲線方程中化簡(jiǎn)求解[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 如圖，已知P是橢圓x24＋y2＝1上一點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M.若PN―→＝λNM―→ (1)求N點(diǎn)的軌跡方程； (2)當(dāng)N點(diǎn)的軌跡為圓時(shí)，求λ的值 [解析] (1)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，N(x，y)， 則M的坐標(biāo)為(x1，0)，且x＝x1， ∴PN―→＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)， NM―→＝(x1－x，－y)＝(0，－y)， 由PN―→＝λNM―→得(0，y－y1)＝λ(0，－y)． ∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y. ∵P(x1，y1)在橢圓x24＋y2＝1上， 則x214＋y21＝1， ∴x24＋(1＋λ)2y2＝1， 故x24＋(1＋λ)2y2＝1即為所求的N點(diǎn)的軌跡方程(2)要使點(diǎn)N的軌跡為圓，則(1＋λ)2＝14， 解得λ＝－12或λ＝－32. ∴當(dāng)λ＝－12或λ＝－32時(shí)，N點(diǎn)的軌跡是圓 考點(diǎn)三、定義法求軌跡方程 例3已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程 [解析] 由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1； 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為 x24＋y23＝1(x≠－2) 【變式1】將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”，求圓心P的軌跡方程 [解析] 由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1； 所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2， 所以點(diǎn)P的軌跡方程為y＝0(x<－2) 【變式2】把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1，求圓心P的軌跡方程 [解析] 由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1， 其方程為x2－y28＝1(x>1) 【變式3】在本例中，若動(dòng)圓P過圓N的圓心，并且與直線x＝－1相切，求圓心P的軌跡方程 [解析] 由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1，0)和定直線x＝－1的距離相等， 點(diǎn)P的軌跡是以N(1，0)為焦點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸、開口向右的拋物線， 故其方程為y2＝4x [類題通法] [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] [解析] (1)證明：因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC， (2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)， |
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