事半功倍的使用余數(shù)解題，《余數(shù)的妙用》升級(jí)版——思路轉(zhuǎn)化。大家好我是小梁老師，這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)余數(shù)問(wèn)題中的幾個(gè)特殊題型。

我國(guó)古代的《孫子算經(jīng)》里有一道聞名中外的題目:今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何?

這就是一道余數(shù)問(wèn)題，人們稱解決這類問(wèn)題的方法為“孫子定理”或“中國(guó)剩余定理”。對(duì)于我們小學(xué)生來(lái)說(shuō)“剩余定理”當(dāng)然太深?yuàn)W了，但我們利用倍數(shù)和余數(shù)的知識(shí)，也能巧妙地解答這類問(wèn)題。

例1、某數(shù)被4除余3，被5除少2，被7除少4。這個(gè)數(shù)最小是多少？

分析:這道題目的條件比較凌亂，猛一看去仿佛無(wú)從人手。但是我們可以換個(gè)思路，要分析解答這道題目，首先必須把題目的條件加以整理，把“被5除少2，被7除少4＂改述為:被5除余3，被7除余3。這樣一來(lái)，就變成了一個(gè)“同余”的問(wèn)題了。不難想象，題目要求的那個(gè)數(shù)就是4、5、7的最小公倍數(shù)再加上3的和。

4、5、7的最小公倍數(shù)是140，題目要求的那個(gè)數(shù)即為140+3＝143

檢驗(yàn):143÷4＝35…3

(143+2)÷5=30

(143+4)÷7＝21。

例2、某數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3。這個(gè)數(shù)最小是多少?

分折:答這道題目，和上一個(gè)題目一樣，同樣要先把條件加以改述:某數(shù)被5除余2，被6除余4，被7除仍余4。符合其中后兩個(gè)條件的最小的是:6×7+4＝45。但“46不能符合“被5除余2”這一條件，怎么辦呢?就應(yīng)在“46”的基礎(chǔ)上逐一加上“42”(因?yàn)?2是6和7的最小公倍數(shù)，所以不管加多少次42，它們的和都能符合“被6除余4，被7除也余4＂這一要求)。

46+42＝88(被5除余3，舍去);

46+42×2＝130(被5除無(wú)余，舍去)

46+42×3＝172(被5除余2，符合條件)。

答:符合題目條件的最小的數(shù)是172。

例3、小王叔叔加工了一批機(jī)器零件，總量大約在150～200之間。平均裝入5個(gè)盒子，最后多出1個(gè);若改用6個(gè)盒子去裝，最后又多出4個(gè);若再改用7個(gè)盒子去裝，最后卻多出5個(gè)。這批零件共有多少個(gè)？

分析:這道題目實(shí)際就是“某數(shù)被5除，余1;被6除，余4;被7除，余5”。三個(gè)余數(shù)都互不相同，怎么辦呢?我們?cè)僮屑?xì)看看這幾個(gè)條件，不難發(fā)現(xiàn)，它們的后兩個(gè)條件可改述為:某數(shù)被6除，少2；被7除，也少2。這樣便找到了解題的突破口。

符合“被6除少2，被7除也少2”這兩個(gè)條件的最小ー個(gè)數(shù)是6x7ー2＝40。但“40°被5除并不能余1。這就需要采用逐一加上“42”(6和7的最小公倍數(shù))

40+42＝82(被5除余2，舍去)

40+42x2＝124(被5除余4，舍去);

40+42x3＝166(被5除余1，符合條件)

答:小王叔叔共加工166個(gè)零件。

通過(guò)以上三道例題的分析，我們可以看出:解答余數(shù)問(wèn)題的突破口一般都是經(jīng)過(guò)“轉(zhuǎn)化”條件，使之變成“同余”問(wèn)題，然后用公倍數(shù)(一般是取最小公倍數(shù))來(lái)作一些增減調(diào)整;若三個(gè)不能“同余”，也應(yīng)設(shè)法找出其中兩個(gè)“同余”的條件，然后仍采取“逐步調(diào)整”的方法來(lái)尋找問(wèn)題的答案。

例4、有一籃蘋果不足60個(gè)，平均分給5名小朋友，多出1個(gè);若平均分給6名小朋友，最后多出3個(gè);若平均分給7名小朋友友，最后卻多出2個(gè)。這籃蘋果一共有多少個(gè)?

分析:若把題目的條件改述為“被某數(shù)除少幾”，都找不出兩個(gè)相同的情況。怎樣解答這類問(wèn)題呢?有一個(gè)非常簡(jiǎn)便的方法——枚舉法。

被5除余1的數(shù)，有：

6、11、16、26、31、36、41、46、51和56(不超過(guò)60，以下同)

被6除余3的數(shù)，有:

9、15、21、27、33、39、45、51和57

被7除余2的數(shù)，有

9、16、23、30、37、44、51和58。

從上面枚舉出的這些數(shù)據(jù)中可以清楚地看出，“51”在三個(gè)數(shù)列中都出現(xiàn)了。這就說(shuō)明，51能滿足題目的三個(gè)條件，即這籃果有51個(gè)。

學(xué)到這里，有必要補(bǔ)充一句:例題1至3，也可以用“枚舉法”來(lái)推算。但是，如果題目中的數(shù)據(jù)過(guò)大，用“枚舉法”就比較費(fèi)力了，因此，我們要盡量采用“調(diào)整”法。

還有一類余數(shù)問(wèn)題是求“除數(shù)”的，這類問(wèn)題的解法更加特殊，請(qǐng)看下面例題：

例5、甲、乙、丙、丁四個(gè)旅行團(tuán)分別有游客69人、85人，93和97人?，F(xiàn)在要把這個(gè)旅行團(tuán)分別進(jìn)行分組，并使每組的人數(shù)可能多，以便乘車參觀游覽。已知甲、乙、丙三個(gè)旅行團(tuán)分組后，所剩的人數(shù)相同，向丁旅行團(tuán)分組后還剩幾人?

分析:從表面上看。這道題目問(wèn)的是“剩余”人數(shù)，但我們知道“剩余”是因?yàn)椴荒鼙徽a(chǎn)生的，所以，解答這道題目的關(guān)是求“每組有幾人”(即求除數(shù))。

這個(gè)除在何處找呢?其實(shí)呀，它遠(yuǎn)在天邊，近在眼前，這個(gè)除數(shù)就藏在它的“差“里。這是為什么呢?我們可以這樣想:既然甲、乙、丙三個(gè)數(shù)被某數(shù)除的余數(shù)相同，那么這三個(gè)數(shù)的兩兩之差一定能被這個(gè)數(shù)整除(因?yàn)樗鼈兿鄿p時(shí)，余數(shù)恰好相互“抵消”了)。

不舉個(gè)例子來(lái)看看吧

58÷7＝8……2(表示有8個(gè)7、余2)

37÷7＝5……2(表示有5個(gè)7，余2)

58-37＝21(剩下的就只有3個(gè)7)

懂得了以上這個(gè)道理之后、再來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題就不困難了。

甲、乙、丙三個(gè)數(shù)之間的差分別是16、8和24，不難看出它們的最大公因數(shù)是8。這也正是我們所要尋找的“除數(shù)”。

驗(yàn)證如下：

69÷8＝8……5(分成8組，剩下5人)

85÷8＝10……5(分成10組，剩下5人)

93÷8=11……5(分成11組，剩下5人)。

最后再來(lái)推算丁旅行團(tuán)分組的情況

97÷8＝12……1(人)

答:丁旅行團(tuán)分組后剩下1人。