中國(guó)剩余定理（適合四五年級(jí)）

今有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二，

五五數(shù)之剩三，

七七數(shù)之剩二。

問(wèn)物幾何？

翻譯成現(xiàn)代文就是：

存在一個(gè)數(shù)x，

除以3余2，

除以5余3，

除以7余2，

然后求這個(gè)數(shù)。

小朋友們，你們會(huì)做這個(gè)題嗎？

這道題叫“中國(guó)余數(shù)定理”，又叫“孫子定理”，又叫“韓信點(diǎn)兵問(wèn)題”，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)智慧結(jié)晶。

韓信點(diǎn)兵問(wèn)題有三種破綻：

破綻一

存在一個(gè)數(shù)x（大于10），

除以3余2，

除以5余2，

除以7余2，

求這個(gè)數(shù)最小值。

韓信點(diǎn)兵，三個(gè)三個(gè)一排多2個(gè)，五個(gè)五個(gè)一排又多2個(gè)，七個(gè)七個(gè)一排還多2個(gè)。

韓信生氣了，怎么總多你倆，出去！x-2之后，就變成3、5、7的公倍數(shù)，3、5、7最小公倍數(shù)是105，最后再把攆出去那兩個(gè)找回來(lái)，為107。

破綻二

存在一個(gè)數(shù)x（大于10），

除以3余2，

除以5余4，

除以7余5，

求這個(gè)數(shù)最小值。

韓信點(diǎn)兵，三個(gè)三個(gè)一排少1個(gè)人，五個(gè)五個(gè)一排又少1個(gè)人，七個(gè)七個(gè)一排還少1個(gè)人。

韓信生氣了，從別的隊(duì)伍里調(diào)來(lái)一個(gè)人！x+1之后，就變成3、5、7的公倍數(shù)，3、5、7最小公倍數(shù)是105，最后再把加的那個(gè)人還回去，為104。

破綻三

存在一個(gè)數(shù)x（大于10），

除以3余2，

除以5余3，

除以7余1，

求這個(gè)數(shù)最小值。

這個(gè)題破綻很隱晦。除以7余1相當(dāng)于除以7“余8”，除以5余3也相當(dāng)于 “余8”，除以3余2還相當(dāng)于“余8”！

x-8之后，就變成3、5、7的公倍數(shù)，3、5、7最小公倍數(shù)是105，最后再把攆出去那8個(gè)找回來(lái)，為113。

那如果是原題那種沒(méi)有破綻的呢？存在一個(gè)數(shù)x，除以3余2，除以5余3，除以7余2，然后求這個(gè)數(shù)。古人也有辦法。明朝數(shù)學(xué)家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》：

三人同行七十稀，

五樹(shù)梅花廿一支，

七子團(tuán)圓正半月，

除百零五使得知。

3人同行“70” 稀，3的余數(shù)乘以70，5樹(shù)梅花“21”支，5的余數(shù)乘以21，7子團(tuán)圓正半月（15天），7的余數(shù)乘以15。最后加在一起除以105看余數(shù)。

列式：

2×70+3×21+2×15=233

233÷105=2……23

答案就是23！

那如果遇到不是3、5、7的超級(jí)難題呢？

存在一個(gè)數(shù)x（大于10），

除以7余2，

除以11余4，

除以13余5，

求這個(gè)數(shù)最小值。

這題怎么做？

這就要用“逐層滿足法”了。

先找到一個(gè)除以7余2，除以11余4的數(shù)（可以在4上不斷加11嘗試，4除以7不余2，15除以7不余2，26除以7不余2，37除以7余2），是37。但是37除以13不余5，那就只能在37上加7和11的最小公倍數(shù)77了。

37÷13=2……11

77÷13=2……12

根據(jù)余數(shù)的加法定理，要加6個(gè)才行（11+12×6=83，83除以13余5）。

37+77×6=499

499就是答案啦！

一葉落而立秋

作者簡(jiǎn)介

鄭軼老師畢業(yè)于北京大學(xué)計(jì)算機(jī)系，獲得過(guò)省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，全國(guó)化學(xué)競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與對(duì)數(shù)學(xué)極高的熱情。

鄭軼老師長(zhǎng)期關(guān)注數(shù)學(xué)思維培訓(xùn)，經(jīng)驗(yàn)豐富，對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有深入研究，發(fā)表教育教學(xué)論文三篇。教學(xué)成果顯著，對(duì)中小學(xué)杯賽、上海小升初、上海中考有長(zhǎng)期的關(guān)注，曾任職上海學(xué)而思小升初項(xiàng)目負(fù)責(zé)人，超常體系教師。在任教期間，所帶學(xué)生多名在各種杯賽的決賽中獲得一、二、三等獎(jiǎng)，并考入市重點(diǎn)初高中、復(fù)旦附中等名校。風(fēng)趣幽默，善于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。