例1

第(1)問(wèn)分析：

這是筆者原創(chuàng)的一道題目，A，B為兩定點(diǎn)，C，D為兩動(dòng)點(diǎn)，即“兩定兩動(dòng)”平行四邊形存在性問(wèn)題．常規(guī)解法是以AB為邊，以AB為對(duì)角線，先分類討論，再在坐標(biāo)系中畫出三種草圖，進(jìn)行求解．但實(shí)際作圖過(guò)程中，許多學(xué)生會(huì)受限于原題的圖，出現(xiàn)畫不全的情況．若題目無(wú)圖，則更難畫全．

本題的草圖如下：

那么有沒(méi)有更好的辦法呢？

其實(shí)是有的，核心思想是將“兩定兩動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“三定一動(dòng)”，分三步走．

(1)設(shè)參

我們可以設(shè)在y軸上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，a)，并把它看作一個(gè)定點(diǎn)．

(2)畫圖

無(wú)需坐標(biāo)系，大致畫出A，B，C三點(diǎn)的位置，標(biāo)上坐標(biāo)，然后連接AB，AC，BC，將這三條邊均只看作對(duì)角線，即簡(jiǎn)單，又可保證分類不遺漏．利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是其各自中點(diǎn)，從而利用中點(diǎn)公式，將第四個(gè)點(diǎn)D的三種情況的坐標(biāo)都表示出來(lái)．

(3)再代入

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是含參數(shù)a的，再將含參數(shù)的點(diǎn)D的坐標(biāo)代回原解析式y(tǒng)＝x－2中，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：

第(2)問(wèn)分析：

要使△ABD是等腰三角形，則其中任意一邊可作為腰，也可作為底．但我們不妨與平行四邊形一樣處理，任意一邊都只作為底考慮，則另外兩邊即為腰．

AB，AD為腰，則A為頂角頂點(diǎn)．

AB，BD為腰，則B為頂角頂點(diǎn)．

AD，BD為腰，則D為頂角頂點(diǎn)．

若要作圖找出所有情況，即八年級(jí)上冊(cè)所熟悉的“兩圓一線”問(wèn)題．

本小問(wèn)只涉及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，可以直接設(shè)其坐標(biāo)為(x，x－2)，當(dāng)AB，AD為腰，或AB，BD為腰時(shí)，可利用距離公式，表示AD，BD的長(zhǎng)度，利用與AB相等的條件，建立方程，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

當(dāng)AD，BD均為腰，別忘了此時(shí)點(diǎn)D在AB的中垂線上，可直接知道點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

解答：

第(3)問(wèn)分析：

要使△ABD是直角三角形，同樣考慮三種情況，∠BAD＝90°，∠ABD＝90°，∠ADB＝90°．

由于AB在x軸上，∠BAD＝90°或∠ABD＝90°時(shí)的情況非常簡(jiǎn)單，只需過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B作x軸的垂線，與直線y＝x－2的交點(diǎn)即為點(diǎn)D．

而當(dāng)∠ADB＝90°時(shí)，有同學(xué)會(huì)選擇勾股定理逆定理，但要兩次涉及距離公式，較為繁瑣．其實(shí)可以聯(lián)想平時(shí)最不會(huì)用的直角三角形中重要的一條性質(zhì)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，就變成兩點(diǎn)距離為定值問(wèn)題了，計(jì)算會(huì)更簡(jiǎn)便，當(dāng)然這其中的本質(zhì)，到了初三學(xué)過(guò)圓以后，你會(huì)更加明白．

解答：

例2

分析：

經(jīng)過(guò)例1的詳細(xì)講解，相信大家對(duì)這種設(shè)參畫圖再代入的方法應(yīng)該有所了解了，那么本題的解法與例1是完全一樣的．對(duì)于(2)(3)問(wèn)，也不用擔(dān)心．

若四邊形是菱形，則鄰邊相等，由于我們只考慮對(duì)角線，因此，對(duì)角線恰好將菱形分成兩個(gè)等腰三角形，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性問(wèn)題．

若四邊形是矩形，而四個(gè)角都是直角，對(duì)角線又恰好將矩形分成了兩個(gè)直角三角形，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直角三角形存在性問(wèn)題．

解答：

(1)

(2)

(3)

例3

分析：

本題是第一講中的思考題，O，A均為定點(diǎn)，也是兩定兩動(dòng)問(wèn)題，筆者當(dāng)時(shí)給的參考答案是將OA作為邊，對(duì)角線分開討論，光作圖就比較麻煩．而現(xiàn)在，我們可以用設(shè)參，畫圖，再代入的方法輕松秒殺．如設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)(a，－3/4a＋3)，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)．接下來(lái)，準(zhǔn)備好了嗎，不畫圖，完全盲解！

解答：