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(094.2018年高考天津理科16題) 已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查. （I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望； （ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率. (094.2018年高考天津文科15題) 已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)． （Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ （Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； （ii）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率． 分析： 是不是覺得簡(jiǎn)單的要死，別嫌棄哈. 還有一周高考，你不看簡(jiǎn)單的要死的題，難道你想死呀？ 這兩道題復(fù)習(xí)了古典概型，理科不用把基本事件空間列舉出來，文科必須列舉，否則會(huì)扣分. 理科是一道特殊的古典概型——超幾何分布，大家要把超幾何分布和二項(xiàng)分布區(qū)分開： 再舉例說明二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別，一個(gè)盒子中有大小相同五個(gè)小球，其中三個(gè)黑色，兩個(gè)是白色： （1）一次性從中取出三個(gè)球，問取出黑球個(gè)數(shù)的分布列，是超幾何分布； （2）有放回地取三次球，每次取一個(gè)，問取出黑球個(gè)數(shù)的分布列，是二項(xiàng)分布. 注意這兒兩道題的黑球個(gè)數(shù)的期望都是3×3/5. 對(duì)于超幾何分布來說，期望是很好記憶的，五個(gè)球中有三個(gè)黑球，問三個(gè)球中平均有多少個(gè)黑球，成比例，所以有3×3/5個(gè)黑球. 超幾何分布的期望可以直接使用，如果沒有要求寫出分布列，就不用寫. 理科： （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3． 所以，隨機(jī)變量X的分布列為
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=12/7. （ii）解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=6/7． 文科： 由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ） （i）解：從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種． （ii）解：由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以，事件M發(fā)生的概率為P(M)=5/21． |
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