最近考試不斷，今天終于告一段落了。矩陣論我花了將近兩個(gè)禮拜復(fù)習(xí)，多少有點(diǎn)感悟，所以趕緊寫下來，不然估計(jì)到時(shí)候又還給老師了，也希望自己的見解對(duì)你們也有幫助??！

總的來說矩陣論就講了如下6個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

（1）線性空間與線性變換

（2）范數(shù)理論及其應(yīng)用

（3）矩陣分析及其應(yīng)用

（4）矩陣分解

（5）特征值的估計(jì)

（6）廣義逆矩陣

1.線性空間與線性變換

1.1線性空間

1.2線性變換及其矩陣

這一節(jié)出現(xiàn)一個(gè)概念叫做線性變換，記為T，出現(xiàn)線性變換的原因就是對(duì)于一個(gè)向量我們希望通過某種變換將該向量轉(zhuǎn)變成我希望的目標(biāo)向量，換句話說線性變換就相當(dāng)于函數(shù)，自變量就相當(dāng)于我們已知的向量，因變量就是我們的目標(biāo)向量，這樣應(yīng)該好理解點(diǎn)。

然后數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)線性變化，其實(shí)可以通過與矩陣相乘來表示，即：

然而，這里我們又面臨一個(gè)問題，我們上式中的x其實(shí)不是表示一個(gè)向量，而是線性空間中的坐標(biāo)，1.1節(jié)我們可以知道線性空間的基不同會(huì)導(dǎo)致坐標(biāo)發(fā)生變化，最后導(dǎo)致而對(duì)于同一個(gè)線性變換在不同基下對(duì)應(yīng)的矩陣不同??！所以我們就想，假如我們知道基與基之間的關(guān)系，線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣有什么關(guān)系？？

上面定理解決了上述疑問。

而后我們知道不同基下對(duì)應(yīng)的矩陣的關(guān)系為，所以我們就想我們能不能找到一組基，線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣是一個(gè)對(duì)角陣，這樣不就好計(jì)算嗎？？這里就引出了相似對(duì)角化的問題，現(xiàn)在的問題就是怎樣找到矩陣P，將矩陣A變換到對(duì)角陣B，數(shù)學(xué)家找到一種工具，就是求特征值和特征向量。（大學(xué)學(xué)線性代數(shù)的時(shí)候就一直有一種疑問，為什么要求特征向量，有什么用？？當(dāng)時(shí)老師也沒講，學(xué)個(gè)矩陣論竟然解決了這個(gè)疑問）。

好，現(xiàn)在我們來講特征值和特征向量??！

看到這里你知道為什么要求特征值了吧，至于怎么求特征值和特征向量，我就不講了，這些都是最基礎(chǔ)的東西，我想講清楚的是為什么需要做這些事情。對(duì)于相似矩陣的一些性質(zhì)，我也不講了，如果都講的話估計(jì)我該出書了。但是有一個(gè)性質(zhì)我需要特別提出來，因?yàn)楹竺嬉玫?，具體形式如下：

接下來介紹的一個(gè)概念就是不變子空間，通俗的講就是如果一個(gè)向量x屬于一個(gè)子空間，如果經(jīng)過線性變換得到向量y仍然屬于這個(gè)子空間，那么就稱該空間為不變子空間。東西就是這么一個(gè)東西??！

最后是Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€(gè)矩陣A都能相似對(duì)角化的，能相似對(duì)角化的條件是矩陣A存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，而并不是所有矩陣都滿足，所以我們退而求其次，使得矩陣B的形式如下：

通過下列推導(dǎo)過程可以很好的說明Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的求?。?/div>

1.3兩個(gè)特殊的線性空間

 前面我們介紹了線性空間的性質(zhì)，可以看出線性空間只能滿足向量的一些線性運(yùn)算，對(duì)于求取向量的模和方向根本無法表示，所以我們?cè)诰€性空間的基礎(chǔ)上添加一下性質(zhì)，得到特殊的線性空間，在該空間中的向量運(yùn)算可以表示模和方向。我們稱該空間為歐式空間或內(nèi)積空間。

定義：

通過上述的定義，我們可以得到對(duì)于該空間中的任意倆個(gè)向量的內(nèi)積推導(dǎo)如下：

 由上可知，只要知道矩陣A和兩個(gè)向量x,y在基下的坐標(biāo)，就可以通過公式求內(nèi)積，

但是矩陣A在不同基下表示形式也不同，所以我們現(xiàn)在關(guān)鍵的問題是找到不同基下矩陣A之間的關(guān)系，

通過推導(dǎo)我們可以得到：

和第一節(jié)的想法類似，我們就在想如果矩陣A是單位矩陣就好了，計(jì)算多方便呀，所以我們就想能不能找到一組合適的基，對(duì)應(yīng)的度量矩陣就是單位陣。這就引出了單位正交化的概念，如果我們的基向量?jī)蓛烧唬覟閱挝幌蛄?，矩陣A不就是單位陣了嘛，那么怎么找到這樣的單位正交向量呢？？這就要通過Schmidt正交化方法來解決這個(gè)問題了。公式的具體推導(dǎo)過程如下：

  下面來介紹一下正交變換，忘掉書上那一大堆的定義，通俗的講正交變換就是將向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

，正交變換是線性變換所以也可以通過一個(gè)矩陣來表示，但是該矩陣具有特殊性，是一個(gè)正交

陣，即矩陣中向量都是單位正交矩陣，同時(shí)具有如下性質(zhì)：

   

然后介紹的是對(duì)稱變換，通俗講就是將向量基于另一個(gè)向量進(jìn)行鏡像，就像由入射光得到反射光一樣，當(dāng)然對(duì)稱變換也是線性變換，對(duì)應(yīng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，其性質(zhì)如下：

    

對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，其對(duì)應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)，特征向量?jī)蓛烧弧?/span>

最后是對(duì)酉空間的一個(gè)介紹，其實(shí)酉空間就是對(duì)于線性空間在虛數(shù)上的推廣，性質(zhì)都差不多，需要知道的只有兩點(diǎn)：

（1）正規(guī)矩陣

滿足條件，對(duì)于任意正規(guī)矩陣都可以進(jìn)行酉分解，具體形式如下：

（2）譜分解

因?yàn)閷?duì)于任意正規(guī)矩陣都可以分解成如下形式：

不知道你們從上面公式看出什么貓膩沒有？？一個(gè)矩陣可以用幾個(gè)矩陣相加來表示，

如果我們將p作為基矩陣，那么任意一個(gè)矩陣我們只要知道其系數(shù)，我們就可以通過

基矩陣將其表示出來，這對(duì)于圖像的傳輸就變得方便很多，我們只需要將系數(shù)傳輸?shù)?/span>

接收端，接收端利用基矩陣和系數(shù)將其重組，就可以得到對(duì)應(yīng)的圖像矩陣，傳輸?shù)男?/span>

率提升的不是一點(diǎn)點(diǎn)的問題，所以感覺數(shù)學(xué)還是很有用的。

后續(xù)