"有限如何把握無(wú)限？" —— 約翰·德萊頓

發(fā)散級(jí)數(shù)

無(wú)限的不一致性和奇異性使得數(shù)學(xué)充滿了樂(lè)趣。如果你觀察無(wú)窮級(jí)數(shù)1 + 2 + 3 + 4 +···，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的和不能給出一般意義上的一個(gè)確定的值，而是向無(wú)窮發(fā)散。這個(gè)級(jí)數(shù)叫做發(fā)散級(jí)數(shù)。發(fā)散級(jí)數(shù)本質(zhì)上是一類無(wú)窮級(jí)數(shù)，其無(wú)窮序列的部分和沒(méi)有有限極限。所以，為了更好地理解它我們來(lái)看看什么是部分和?

顧名思義，一個(gè)部分和是序列或數(shù)列中某個(gè)特定部分的總和。求和是從第一項(xiàng)到那個(gè)特定項(xiàng)的總和。為了更清楚一點(diǎn)，看看這個(gè)系列1 + 2 + 3 + 4 +····的部分和。

第一項(xiàng)(1) = 1

第一項(xiàng)+第二項(xiàng)(1+2) = 3

第一項(xiàng)+第二項(xiàng)+第三項(xiàng)(1+2+3) = 6

第一項(xiàng)+第二項(xiàng)+第三項(xiàng)+第四項(xiàng)(1+2+3+4) = 10

因此，序列1 + 2 + 3 + 4 +····的部分和為1，3，6，10，15...等等。那么，現(xiàn)在你一定已經(jīng)理解什么是部分和了。

我們得到的部分總和也可以叫做三角數(shù)，因?yàn)樗鼈兛梢耘帕谐傻冗吶切?/p>

該特殊系列1 + 2 + 3 + 4 +···的第n個(gè)部分和由以下簡(jiǎn)單公式給出:

1 + 2 + 3 + 4 + + n = n(n+1)/2

從公式中很容易看出部分和的值趨向于+∞（正無(wú)窮）。因此這是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)。

收斂級(jí)數(shù)

當(dāng)我們了解了發(fā)散級(jí)數(shù)，學(xué)習(xí)收斂級(jí)數(shù)也變得很重要。那么什么是收斂級(jí)數(shù)?看看這個(gè)數(shù)列:

正如你看到的，當(dāng)你向級(jí)數(shù)的最后一項(xiàng)移動(dòng)時(shí)，這一項(xiàng)變得越來(lái)越小，我們可以說(shuō)它無(wú)限趨于零。而且它們的部分和趨于極限。這種級(jí)數(shù)叫做收斂級(jí)數(shù)。我們可以求出這類級(jí)數(shù)的定和。

一些小伙伴可能對(duì)此有所懷疑:一個(gè)包含無(wú)數(shù)項(xiàng)的數(shù)列怎么可能有一個(gè)確定的值呢？它應(yīng)該是無(wú)限的，難道不對(duì)嗎？(有這樣的懷疑和疑問(wèn)也不奇怪，因?yàn)閭ゴ蟮墓糯軐W(xué)家芝諾，也被這個(gè)問(wèn)題弄糊涂了。)事實(shí)上這個(gè)數(shù)列收斂到2 。讓我告訴為什么會(huì)無(wú)限趨近于2。

• 以下是該系列的視覺(jué)圖像表現(xiàn):

第一個(gè)正方形的面積+第二個(gè)正方形的面積= 2平方。

如圖所示，我們有兩個(gè)方塊(每個(gè)方塊1平方米)，一個(gè)是整體，其面積代表數(shù)列的第一項(xiàng)，即1，第二個(gè)正方形代表所有后面項(xiàng)的總和。如你所見(jiàn)，我們已經(jīng)將第二個(gè)正方形分成了不同的部分:紅色= 1/2，藍(lán)色= 1/4，黃色= 1/8，綠色= 1/6等等。因此，以類似的方式，即使我們把第二個(gè)正方形分成無(wú)限多個(gè)部分，它們的面積之和仍然是1平方米。這就是這個(gè)級(jí)數(shù)所表示的，所以我們得到了答案2。

• 如果你熟悉幾何級(jí)數(shù)(你一定在高中讀過(guò))，這里有一個(gè)計(jì)算無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)的漂亮公式:

當(dāng)-1 < r < 1時(shí)

[r是公比，a是第一項(xiàng)，在收斂級(jí)數(shù)中r = 1/2, a = 1]

因此，如果我們?cè)跓o(wú)窮收斂級(jí)數(shù)中應(yīng)用這個(gè)公式，我們會(huì)得到:

[顯然-1 < 1/2 <1]

如果你還不有點(diǎn)不信，那么還有一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法:

然后

現(xiàn)在從2Sn減去Sn我們得到，

當(dāng)n趨于為無(wú)限大是S趨于2，是不是覺(jué)得很簡(jiǎn)單！

我們談?wù)摿藷o(wú)窮級(jí)數(shù)，現(xiàn)在讓我們回到我們的無(wú)窮自然數(shù)數(shù)列，著名的斯里尼瓦瑟·拉馬努金求和。

拉馬努金無(wú)限自然數(shù)的和

雖然我們知道和1 + 2 + 3 + 4 +···是發(fā)散的，我們找不到一個(gè)確定的值，但是拉馬努詹開(kāi)發(fā)了一種方法來(lái)計(jì)算這個(gè)表達(dá)式的值。

斯里尼瓦瑟·拉馬努金是一個(gè)天才印度數(shù)學(xué)家，他生活在英國(guó)統(tǒng)治印度期間。雖然他沒(méi)有接受過(guò)正規(guī)的純數(shù)學(xué)訓(xùn)練，但他在數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、無(wú)窮級(jí)數(shù)和連分?jǐn)?shù)方面都做出了巨大的貢獻(xiàn)，包括解決一些被認(rèn)為是無(wú)法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題

拉馬努金發(fā)展了他自己的方法來(lái)解決這類無(wú)窮級(jí)數(shù)，用兩種不同的方法求解了無(wú)窮自然數(shù)列，其中比較簡(jiǎn)單的方法如下圖:

拉瑪努詹的原始筆記本

所以，讓我把整個(gè)式子再寫(xiě)一遍:

正如公式所示，拉馬努金把這個(gè)系列作為常數(shù) c 減去c的4倍，要得到這樣一個(gè)級(jí)數(shù):1- 2 + 3 - 4 +····

但是他怎么會(huì)得到:1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +··· = 1/（1+1）2，因?yàn)槔R努金知道:1-1+1-1+···=1/（1+1），而且

你現(xiàn)在可能有點(diǎn)困惑，這兩個(gè)等式怎么成立，不要慌，讓我們逐一討論這兩個(gè)新數(shù)列。

首先看看系列1–1+1–1+····這也是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)并且不收斂。它也被稱為格蘭迪級(jí)數(shù)。因?yàn)檫@是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)，所以它缺少一個(gè)確定的和。如果我們按照下面的方法在級(jí)數(shù)中加上括號(hào)，我們會(huì)得到一個(gè)“0”:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + = 0 + 0 + 0 + = 0

如果我們把括號(hào)放在稍微不同的地方，把第一項(xiàng)放在一邊，我們就會(huì)得到答案“1”以下內(nèi)容:

1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+= 1+0+0+0+= 1

你會(huì)感嘆，這么神奇的數(shù)列！這就是為什么這是也是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)。然而，數(shù)學(xué)家對(duì)此系列還有一個(gè)奇怪的答案即1/2。如果我們把這個(gè)級(jí)數(shù)當(dāng)作收斂級(jí)數(shù)，并用我們的一般代數(shù)方法，我們會(huì)得到這個(gè)和的一個(gè)特殊答案:

s = 1-1+1-1+···

1-S = 1(1-1+1-1+···)= 1-1+1-1+···= S

1-S = S

1 = 2S，

因此，S =1/2

即1-1+1-1+···=1/2

也許拉馬努金就是這樣得到他的1/（1+1）。

讓我們直接進(jìn)入下一個(gè)系列，1 - 2 + 3 - 4 +···，看看會(huì)有什么結(jié)果。這也是一個(gè)發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)，你可以看到它的部分和也不趨向于任何有限極限。這個(gè)系列比前一個(gè)更加復(fù)雜，即使通過(guò)Cesaro（塞薩羅）求和也無(wú)法解決。它需要一些更復(fù)雜的求和，比如阿貝爾求和。但有一些其他更簡(jiǎn)單的方法來(lái)顯示這個(gè)總數(shù)。一種不太嚴(yán)格的方法，如下:

S =1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +····

0 + S = 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ····

2S =1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +····

這是我們剛才說(shuō)的格蘭迪數(shù)列，所以我們有，

有些人可能會(huì)說(shuō)，我們不能在開(kāi)頭加上“0”。這與數(shù)學(xué)規(guī)則不一致。還有另一個(gè)可信的方法來(lái)證明這一點(diǎn):

拉馬努金寫(xiě)道:

1 - 2 + 3 - 4 + = 1/（1+1）^2

我們知道

1-1+1-1+····=1/（1+1）

所以我們可以寫(xiě):

1-2+3-4+···=(1 - 1 + 1 - 1 +···) ^2

= (1 - 1 + 1 - 1 +···)× (1 - 1 + 1 - 1 +···)

你可能會(huì)想，我們?cè)趺雌椒竭@個(gè)無(wú)限的格蘭迪級(jí)數(shù)，它不是很復(fù)雜嗎?確實(shí)如此，要找到這個(gè)結(jié)果需要無(wú)限次的乘法和加法。我們?cè)囍煤?jiǎn)單得多的方式來(lái)解釋，看以下內(nèi)容:

我們可以寫(xiě)，(1 - 1 + 1 - 1 +···) ^2

并用以下方式直觀地表示它:

如果你觀察對(duì)角線上的陰影并把數(shù)字加起來(lái)，你會(huì)得到以下一數(shù)列:

1 - 2 + 3 - 4 +····

這就是我們?nèi)绾螌?xiě):

1 - 2 + 3 - 4 +····=(1 - 1 + 1 - 1 +···) ^2=1/（1+1）^2=1/4

在得到所有重要的結(jié)果之后，讓我們回到拉馬努金的總結(jié)和他的結(jié)果?，F(xiàn)在你可以很容易地理解他是怎么寫(xiě)的：

因此，1 +2 + 3 +4 + …= -1/12

所以，看似不合邏輯的總和得到了證明。但是……

作業(yè)不能這樣寫(xiě)！

這個(gè)結(jié)果可能看起來(lái)很神奇很有成就感，但是如果你把這個(gè)答案寫(xiě)在你的數(shù)學(xué)作業(yè)里，你可能會(huì)得到一個(gè)很大的0！

一般來(lái)說(shuō)，把無(wú)窮級(jí)數(shù)當(dāng)作有限和來(lái)處理是不正確的。在無(wú)限發(fā)散級(jí)數(shù)的任意位置加零可能導(dǎo)致結(jié)果的不一致性。例如，步驟4c = 0 + 4 + 0 + 8 +···不符合加法恒等式。即使在級(jí)數(shù)的前面添加一個(gè)0(就像我們?cè)?span style="box-sizing: border-box;font-weight: 700;border-width: 0px;border-style: initial;border-color: initial;">1 - 2 + 3 - 4 +···中做的那樣)也會(huì)導(dǎo)致不一致的結(jié)果。例如:

如果

1 + 2 + 3 + 4 +··= x…(Ⅰ)

兩邊都加上0，

0 + 1 + 2 + 3 +··= 0 + x = x…(Ⅱ)

由(Ⅰ)減去方程(Ⅱ)得到，

(1 - 0)+ (2 - 1)+ (3 - 2)+ (4 - 3)+···= (x - x)

1 + 1 + 1 + 1 +···= 0……(ⅲ)

現(xiàn)在兩邊同時(shí)加0，

0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +··= 0 + 0…(iv)

再?gòu)?iii)減去(iv)

1 + 0 + 0 + 0 +···= 0

即，1 = 0

這明顯是矛盾的，因此我們?cè)跓o(wú)窮級(jí)數(shù)中任意位置加零的過(guò)程都是不正確的。

解決這個(gè)問(wèn)題只有一個(gè)辦法。我們可以通過(guò)對(duì)函數(shù)的依賴關(guān)系來(lái)約束插入零的位置，并跟蹤序列中的每一項(xiàng)。例如，在1 + 2 + 3 + 4 +···系列中，每一項(xiàng)n都是一個(gè)數(shù)字，如果我們將n提升為一個(gè)函數(shù)n-s，其中's’是一個(gè)復(fù)變量，那么可以確定只添加了相似的術(shù)語(yǔ)。由此產(chǎn)生的系列可以用更合法的方式操縱。

通過(guò)使用解析開(kāi)拓關(guān)于黎曼ζ函數(shù)（ζ函數(shù)正則化)我們可以擴(kuò)展它的域來(lái)給出1 + 2 + 3 + 4 +=-1/12。讓我們看看如何:

我們知道：

現(xiàn)在，通過(guò)將函數(shù)乘以2×2^-8我們得到：

如果我們用下面的方法進(jìn)行減法運(yùn)算，我們會(huì)得到:

因此，我們有

根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則，這是完全可以的。通過(guò)分析延拓，我們可以把s = -1，然后我們會(huì)得到，

因此，我們以更嚴(yán)格的方式證明了結(jié)果。然而，拉瑪努詹也發(fā)展了自己的公式來(lái)求解這些類型的無(wú)限發(fā)散級(jí)數(shù)。這種方法被稱為拉馬努金求和。

拉馬努金在給G.哈迪寫(xiě)道: “親愛(ài)的先生，我很高興閱讀你1913年2月8日的來(lái)信。我期待著你的回復(fù)，就像倫敦一位數(shù)學(xué)教授寫(xiě)的那樣，要求我仔細(xì)研究布羅姆維奇的無(wú)窮級(jí)數(shù)，不要陷入發(fā)散級(jí)數(shù)的陷阱。我告訴他，根據(jù)我的理論，這個(gè)級(jí)數(shù)的無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)之和:1+2+3+4+?= 1/12。如果我告訴你這些，你會(huì)立刻向我指出精神病院是我的目標(biāo)。我詳述這一點(diǎn)僅僅是為了讓你相信，如果我在一封信中指明我前進(jìn)的路線，你將無(wú)法遵循我的證明方法?！?nbsp;拉馬努金，在他的給哈迪的第二封信，1913年2月27日

那么，這個(gè)結(jié)果有什么用？

這個(gè)結(jié)果在物理學(xué)的許多領(lǐng)域都很有用。例如，在玻色子弦理論中，結(jié)果被用來(lái)計(jì)算無(wú)限次量子諧振的總能量。這個(gè)事實(shí)也被用來(lái)說(shuō)明弦理論在26維以外的維度上是不一致的。

1 + 2 + 3 + 4 +···的正則化也有助于計(jì)算一維標(biāo)量場(chǎng)的卡西米爾力。-1/12的符號(hào)反映了卡西米爾力有吸引力。這一驚人的結(jié)果也可能在量子力學(xué)的其他領(lǐng)域以及未來(lái)更多領(lǐng)域得到應(yīng)用

結(jié)論

所以，數(shù)學(xué)非常合乎邏輯，有時(shí)會(huì)給我們帶來(lái)一些有悖常理的結(jié)果。要么是我們真的錯(cuò)了，要么我們的宇宙就是這樣。有時(shí)數(shù)學(xué)會(huì)給我們一些奇怪的結(jié)果，科學(xué)家有時(shí)容易忽略這些數(shù)學(xué)假象，但現(xiàn)在有一點(diǎn)是肯定的，這個(gè)看似不合常理的數(shù)學(xué)公式在物理的許多計(jì)算中起到了一定的作用。斯里尼瓦瑟·拉馬努金為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)。