【原】八下23講期末壓軸特訓(xùn)1 反比例函數(shù)圖象與圖形面積問題再探究

數(shù)海一葉舟 2021-05-17

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寫在前面

之前，用了6講的篇幅，對(duì)本學(xué)期除概率統(tǒng)計(jì)的部分內(nèi)容再次作了一個(gè)歸納整理，接下來，計(jì)劃用3講的篇幅，再對(duì)本學(xué)期的重難點(diǎn)題做一組特訓(xùn)，每篇精簡題量，力求讓你會(huì)一題，通一片，本講主要涉及到一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象以及所形成圖形的面積問題．

例1

分析：

本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)和反比例函數(shù)的應(yīng)用．

由于AB∥x軸，BC⊥x軸，易知△ABC是直角三角形，由于反比例函數(shù)在第一象限，k＞0，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，其橫縱坐標(biāo)的乘積最小，k值最小，經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，其橫縱坐標(biāo)的乘積最大，k值最大．據(jù)此可得出k的取值范圍．

解答：

過點(diǎn)A，則k＝2

過點(diǎn)C，則k＝16，2≤k≤16，選C

變式：

分析：

首先，我們可以根據(jù)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，以及直線AB的解析式，易知AB⊥OC，設(shè)AB與OC交點(diǎn)為D，且D必為AB中點(diǎn)．

根據(jù)反比例函數(shù)的軸對(duì)稱性，其中的一條對(duì)稱軸是y＝－x，顯然，當(dāng)圖象過點(diǎn)A時(shí)，也必然過點(diǎn)B，當(dāng)圖象過中點(diǎn)D時(shí)，與AB只有一個(gè)交點(diǎn)．

解答：

小結(jié)

例1及其變式，均是求反比例k的取值范圍，那么只需關(guān)注臨界點(diǎn)的情況．

如例1，考慮的是過點(diǎn)作坐標(biāo)軸垂線段，兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成面積的最大值和最小值，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A和點(diǎn)C是臨界點(diǎn)．

而例2，則借助對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A是臨界點(diǎn)，AB的中點(diǎn)也是．因此，看到這樣的題目，不要慌，找出關(guān)鍵臨界點(diǎn)，計(jì)算下橫縱坐標(biāo)的積，k就秒了！

例2

分析：

本題第(1)問不難，根據(jù)點(diǎn)A縱坐標(biāo)，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可．

第(2)問，對(duì)于這樣的斜三角形，很多學(xué)生不知如何下手，顯然，點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)已經(jīng)確定，那么我們可以使用鉛錘法，

(詳見《八上17講 2017年終篇：一次函數(shù)面積專題 ——《初識(shí)鉛錘法》》)

以AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值作為“水平寬”，則直線向上平移的距離為“鉛錘高”，面積確定，水平寬確定，則鉛錘高可求，即為平移距離．

當(dāng)然，本題如果直接想到將點(diǎn)A，點(diǎn)B與平移后直線與y軸交點(diǎn)相連，那就更厲害了，因?yàn)槠揭魄昂蟮闹本€是平行的，這個(gè)三角形與△ABC是同底等高的，都以AB為底，兩直線之間的距離為高．此法的好處在于，求出的鉛錘高，就是平移后直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即為b．

解答：

變式：

分析：

顯然，要求平移后的直線函數(shù)表達(dá)式，只需求出b即可，則必須求出平移后直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)，利用例1中的法2，將交點(diǎn)與點(diǎn)O，點(diǎn)A連接，所形成的三角形面積即為△AOM的面積，問題迎刃而解．當(dāng)然，將平移后直線與x軸的交點(diǎn)，與點(diǎn)O，點(diǎn)A連接，方法是一致的，均歸為本題的法1．

解答：