1 正相關(guān)與負(fù)相關(guān)

1.1 相關(guān)性

事物之間可能會(huì)有關(guān)系，這可以通過(guò)數(shù)據(jù)看出。比如要買房的人越多（下圖的城鎮(zhèn)化率可以簡(jiǎn)單理解為進(jìn)城買房的人數(shù)），房?jī)r(jià)就越高，兩者的關(guān)系稱為 正相關(guān) ：

城鎮(zhèn)化有另外一個(gè)反作用，降低出生率。城鎮(zhèn)化和出生率之間的關(guān)系就是負(fù)相關(guān) ，也就是說(shuō)城鎮(zhèn)化率越高、出生率會(huì)越低，所以說(shuō)，“城鎮(zhèn)化是最好的避孕藥”：

1.2 股票組合

在現(xiàn)實(shí)生活中了解相關(guān)性是很有用處的，比如下面有三支股票，年度收益都是 10% ：

可以看到藍(lán)色、綠色這兩只股票走勢(shì)基本一致，也就是這兩者正相關(guān)；而藍(lán)色、紅色走勢(shì)相反，藍(lán)色上漲的時(shí)候紅色下跌，也就是這兩者負(fù)相關(guān)?；鸾?jīng)理會(huì)傾向于把負(fù)相關(guān)的兩支股票做成一個(gè)組合，這樣收益率也還是 10% ，但是整個(gè)組合波動(dòng)會(huì)很小，整體看上去平穩(wěn)上升。

這種相關(guān)性可以通過(guò)下面要介紹的 協(xié)方差 和 相關(guān)系數(shù) 來(lái)表示和計(jì)算。

2.1 顏色

假設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量，身高  和體重  ，很顯然這兩者應(yīng)該是正相關(guān)

，也就是說(shuō)身高增加體重也會(huì)隨著增加。

但是怎么通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)呢？我們來(lái)看一個(gè)例子，下面是某班同學(xué)的身高體重：

這兩個(gè)隨機(jī)變量可以構(gòu)成二維平面上的點(diǎn)  ，可以把它們畫在直角坐標(biāo)系上。我們先畫出表中的前兩個(gè)點(diǎn)：

很顯然，相對(duì)于第一個(gè)點(diǎn)（152，45）而言，第二個(gè)點(diǎn)（160，54）橫坐標(biāo)增加了，同時(shí)縱坐標(biāo)也增加了；也就是說(shuō)第二個(gè)點(diǎn)代表的同學(xué)，身高增加了的同時(shí)體重也增加了，這兩個(gè)點(diǎn)是正相關(guān)的，我們?cè)趦烧咧g畫一個(gè)紅色的矩形表示這兩者是正相關(guān)的關(guān)系：

現(xiàn)在加入第三個(gè)點(diǎn)（172，44），這位同學(xué)可能比較瘦高，他和第一、第二位同學(xué)負(fù)相關(guān)，用藍(lán)色的矩形來(lái)表示：

接著增加第四個(gè)點(diǎn)（175，64），它和前面三個(gè)點(diǎn)都是正相關(guān)；最后增加第五個(gè)點(diǎn)（180，80），它和去前面四個(gè)點(diǎn)全是正相關(guān)。所以這些矩形全是紅色的：

畫完之后整體看上去是紅色的，這說(shuō)明  、  這兩個(gè)隨機(jī)變量整體上是正相關(guān)的關(guān)系，雖然其中間雜著兩個(gè)藍(lán)色的矩形。

2.2 面積

從圖形上可以看出紅色有優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明是正相關(guān)。下面來(lái)看看如何通過(guò)代數(shù)計(jì)算出這個(gè)結(jié)果。從第一個(gè)紅色矩形開(kāi)始：

可以算出這個(gè)紅色矩形的面積為正：

而某個(gè)藍(lán)色矩形：

它的“面積”為負(fù)：

所以把所有的矩形的“面積”加起來(lái)，如果為正那么說(shuō)明就是紅色矩形占優(yōu)勢(shì)，也就是正相關(guān)；反之則是負(fù)相關(guān)；為0的話說(shuō)明哪個(gè)都不占優(yōu)勢(shì)，則是不相關(guān)。就這里的具體問(wèn)題而言，很顯然紅色更占優(yōu)勢(shì)，所以算出來(lái)為正（總共有  個(gè)矩形），是正相關(guān)。

2.3 一般化

如果有  個(gè)點(diǎn)的話，可以用：

來(lái)表示組成矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，那么所有矩形的面積的和就可以表示為：

那么：

可以看出要計(jì)算面積還是挺麻煩的，數(shù)學(xué)家給出了一個(gè)簡(jiǎn)化的方案。

3.1 簡(jiǎn)化

按照剛才的計(jì)算方法，比如說(shuō)某一個(gè)點(diǎn)  ，需要和所有的  配對(duì)，然后計(jì)算出得到的矩形的面積和。數(shù)學(xué)家就想用  的均值也就是期望  來(lái)代替所有的  ，以及用  的均值也就是期望  來(lái)代替所有的  ：

這樣之前的面積計(jì)算公式就從：

變?yōu)榱耍?/span>

如此，計(jì)算就被大大簡(jiǎn)化了。下面用這種方法重新算下剛才的例子。

3.2 具體的例子

首先以  為原點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系，它會(huì)把平面分為4個(gè)象限：

容易知道，一、三象限的點(diǎn)和  正相關(guān)，而二、四象限的點(diǎn)和  負(fù)相關(guān)。所以在一、三象限中各選一個(gè)點(diǎn)，它們和  構(gòu)成的矩形是紅色的：

在第四個(gè)象限中有一個(gè)點(diǎn)，它和   構(gòu)成的矩形是藍(lán)色的：

把所有矩形都畫出來(lái)的話（總共只有5個(gè)矩形，按照上節(jié)給出的算法總共需要畫10個(gè)矩形，可見(jiàn)現(xiàn)有算法確實(shí)大大簡(jiǎn)化了，點(diǎn)越多簡(jiǎn)化的效果越好），可以看到還是紅色占優(yōu)，因此總體來(lái)看  、  依然是正相關(guān)的：

3.3 協(xié)方差

還要考慮一點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的概率是不一樣的，因此各個(gè)矩形的面積并非是平等的，或者說(shuō)權(quán)重是不一樣的，所以需要對(duì)面積和進(jìn)行加權(quán)平均，也就是對(duì)面積和計(jì)算數(shù)學(xué)期望，這就得到了：

設(shè)  是一個(gè)二維隨機(jī)變量，若  存在，則稱此數(shù)學(xué)期望為  與  的 協(xié)方差（Covariant），記作：

特別地有  。

很顯然會(huì)有：

• 時(shí)，   、 正相關(guān)，即兩者有同時(shí)增加或者減少的傾向

•  時(shí)，   、  負(fù)相關(guān)，即兩者有反向增加或者減少的傾向 

•   時(shí)，  、  不相關(guān)

之前求出來(lái)的協(xié)方差是有單位的，比如身高  （單位：厘米）與體重   、  （單位：公斤）的協(xié)方差  的單位是：厘米 · 公斤。

假如又有一個(gè)隨機(jī)變量，同學(xué)的年齡  （單位：歲），它和體重的協(xié)方差  的單位為：歲 · 公斤。那么到底體重與身高更正相關(guān)，還是體重與歲數(shù)更正相關(guān)？，因?yàn)閱挝坏脑驅(qū)е挛覀儧](méi)有辦法進(jìn)行比較，所以：

對(duì)于二維隨機(jī)變量  ，各自的方差為：

則：

稱為隨機(jī)變量  和  的 相關(guān)系數(shù) 。

之前介紹過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差是有單位的，比如剛才舉的例子身高  （單位：厘米）、體重  （單位：公斤）以及年齡  （單位：歲），相除之后：

單位就約掉了，變成沒(méi)有單位的數(shù)了，就可以進(jìn)行比較了。比如剛才提到的身高  ，體重  以及年齡  ，假如說(shuō)根據(jù)數(shù)據(jù)算出來(lái)：

馬上可以知道相對(duì)于年齡，身高與體重之間的正相關(guān)關(guān)系更強(qiáng)烈。

“正相關(guān)”或者“負(fù)相關(guān)”實(shí)際指的是  和  之間線性相關(guān)（此處證明省略了，對(duì)推導(dǎo)感興趣的可以參加我們的課程《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》）：

  和  除了“線性相關(guān)”之外，其實(shí)還可能是別的關(guān)系（下圖標(biāo)出了相關(guān)系數(shù)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)不為0時(shí)，也就是說(shuō)“正相關(guān)”或“負(fù)相關(guān)”時(shí)，在圖中都或多或少地呈現(xiàn)線性關(guān)系；當(dāng)不具備線性關(guān)系時(shí)，比如說(shuō)W形、圓圈形等，相關(guān)系數(shù)為0）：