一、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c(a≠0)，則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二、二次函數(shù)的三種表達式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，此時拋物線的頂點坐標為P(h，k)交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時，x1、x2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為A(x1，0)和B(x2，0))，對稱軸所在的直線為x=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-

　　三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。

　　四、拋物線的性質(zhì)

       1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

       2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-，)。當x=-時，y最值=，當a>0時，函數(shù)y有最小值;當a<0時，函數(shù)y有最大值。當-=0時，P在y軸上(即交點的橫坐標為0);當Δ=b2-4ac=0時，P在x軸上(即函數(shù)與x軸只有一個交點)。

       3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當a>0時，拋物線開口向上;當a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等;若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數(shù)。

       4.二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當對稱軸在y軸左邊時，a與b同號(即ab>0);當對稱軸在y軸右邊時，a與b異號(即ab<0)。

       5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置，拋物線與y軸交于點(0，c)。

       6.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點，對應方程有兩個不相同的實數(shù)根;Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應方程有兩個相同的實數(shù)根。Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點，對應方程沒有實數(shù)根。

　　五、二次函數(shù)與一元二次方程

        二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c(a≠0)，當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。(參考四-6)

　　六、常用的計算方法

        1、求解析式的時候：若給定三個普通點的坐標，則設為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)，分別將三點坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點坐標或?qū)ΨQ軸、最值，則設為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的頂點式即可求出解析式;若給定有與x軸的交點坐標，則設為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的交點式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內(nèi)的正負號。

        2、若求函數(shù)與x軸的交點坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標;
 
        3、若求函數(shù)的頂點坐標，用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式;
 
        4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點坐標)。
 
        5、當需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸沒有交點時，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ<0，同理，與x軸只有一個交點時，Δ=0，與x軸有兩個交點時，Δ>0。對Δ的判定方法仍然是用配方的方法。