為什么要這樣呢？因?yàn)槲蚁Ｍ蠹夷芸吹?，并記住，每一個(gè)函數(shù)的使用，背后為我們?nèi)祟?lèi)帶來(lái)了多少的方便，解決了多少讓人興奮的事情。這里面，太有趣了。

并且，我希望大家可以通過(guò)了解了幾種函數(shù)的背后的真相之后，用非常簡(jiǎn)單的方法，就把函數(shù)的各種應(yīng)用都能串聯(lián)起來(lái)，并在解題的時(shí)候得心應(yīng)手！

在我們上一篇對(duì)數(shù)的科普之后，相信我們對(duì)于這個(gè)復(fù)雜難認(rèn)的對(duì)數(shù)函數(shù)式，已經(jīng)有了很切實(shí)的認(rèn)識(shí)。

而本篇文章，我們要與大家分享的，是對(duì)數(shù)的運(yùn)算。

要做好對(duì)數(shù)的運(yùn)算，只要一個(gè)招式。

而在講這個(gè)招式，我們需要用到上一篇的口訣：

在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，有兩個(gè)最為基礎(chǔ)的運(yùn)算公式：

如果我們用上面的口訣來(lái)去理解這兩條公式，設(shè)logaM=m，logaN=n。

則a^m等于M；aⁿ等于N。a^m*aⁿ=M*N=a^m+n。

也就是說(shuō)，a的(m+n)次方等于M*N。

用對(duì)數(shù)的表示方法，就可以得到：

同樣地，a^m/aⁿ=M/N=a^m-n

即有：

用同樣的方法（最重要就是我們前面說(shuō)的那個(gè)口訣），我們一點(diǎn)點(diǎn)理清對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的互逆關(guān)系（也叫反函數(shù)關(guān)系），也就是把兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系理清楚，就能把對(duì)數(shù)運(yùn)算，全部都弄清楚。

從兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們正式推開(kāi)，對(duì)【函數(shù)】的認(rèn)識(shí)。

不知道大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，我們?cè)趯W(xué)函數(shù)的時(shí)候，有三個(gè)基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，還有三角函數(shù)等，但是有一組長(zhǎng)得很像函數(shù)的式子，我們卻不叫函數(shù)——圓錐曲線。

圓錐曲線，被單獨(dú)歸成一類(lèi)，最為重要的原因，是它們并不符合函數(shù)的基礎(chǔ)定義：

對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。

這一個(gè)定義，是我們現(xiàn)代所使用的函數(shù)的定義。

偉大的數(shù)學(xué)家們，在研究物理運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)之間的依附關(guān)系，比如當(dāng)行走的速度一定的時(shí)候，行走的路程與行走的時(shí)間有著依附關(guān)系，換句話來(lái)說(shuō)就是：按一定的速度，走的時(shí)間超長(zhǎng)，路程也就越長(zhǎng)。

這看似一個(gè)常識(shí)性的問(wèn)題，但是要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，在最早的時(shí)候并不是那樣簡(jiǎn)單的一件事情。

這也是函數(shù)誕生的雛形。

而從這里開(kāi)始，經(jīng)歷了：伽俐略、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲等等這樣一批如雷貫耳的偉大名字，歷時(shí)一百多年，才由柏努力、歐拉等數(shù)學(xué)家，在前人的研究基礎(chǔ)之上，把函數(shù)的定義書(shū)寫(xiě)了明白。

繼而在柯西（就是柯西不等式發(fā)明者）、傅里葉的改良，最后由狄利克雷作出了我們剛才所引用的定義。

從那個(gè)時(shí)候開(kāi)始，時(shí)至今天，函數(shù)的定義依然在被改寫(xiě)與優(yōu)化中。

而我們剛才說(shuō)到，圓錐曲線并未被納入到函數(shù)的范疇中，是因?yàn)?，我們所定義的函數(shù)是，對(duì)于定義域內(nèi)任何一個(gè)X的取值，有且只有一個(gè)Y值與之對(duì)應(yīng)。

而在圓錐曲線中，X取一個(gè)值的時(shí)候，往往會(huì)有兩個(gè)Y值可以與它對(duì)應(yīng)，這就超出了函數(shù)的定義。

但現(xiàn)在問(wèn)題是：為什么這些偉大的數(shù)學(xué)家們，要如此絕決地要求，對(duì)于一個(gè)X值，只能有一個(gè)Y值與之對(duì)應(yīng)呢？

這就延伸到了我們的數(shù)學(xué)家們，在做各種研究的時(shí)候（有時(shí)候是物理研究、有時(shí)候是化學(xué)、或是生物或天文學(xué)等），并非每次都從【因】推至【果】。

打一個(gè)比方，愛(ài)迪生發(fā)現(xiàn)鎢絲用作電燈，是經(jīng)歷了大量反復(fù)的實(shí)驗(yàn)才得到的一個(gè)結(jié)果，在獲得了【鎢絲作為電燈燈芯可以持久耐用】的這一個(gè)結(jié)果之后，才推論出來(lái)鎢絲的性質(zhì)。

類(lèi)似的研究舉不勝舉，往往科研的結(jié)果不是從因推到果，而是通過(guò)嘗試獲得結(jié)果之后，再推論到因。

再拿我們前面說(shuō)的，時(shí)間與路程的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，雖然我們會(huì)知道S=Vt，其中 t 可以被看成是自變量，S可以看成是因變量，但是在實(shí)際的過(guò)程中，我們并不是每次都先知道 t，才知道S。有很多時(shí)候，我們是通過(guò)我們行走了多少的路程，來(lái)反推我們使用了多少的時(shí)間。如果對(duì)于一個(gè)自變量，如 t ，會(huì)有兩個(gè)甚至多個(gè)S的取值可以與之對(duì)應(yīng)的話，那么我們?cè)诙嘌芯恐芯蜁?huì)容易限入困境，如我們知道了 t ，也還是不能確定S的取值。

所以數(shù)學(xué)家們，把可以一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)因變量的關(guān)系，稱為函數(shù)關(guān)系。

從此，當(dāng)我們說(shuō)到函數(shù)的時(shí)候，我們就會(huì)知道，如果我們對(duì)自變量X取一個(gè)值，那么我們的因變量Y，就一定要被確定了；同時(shí)，當(dāng)我們獲得了一個(gè)因變量Y的值，那么自變量X的可能值也同時(shí)被確定了。

我們把這種關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系，當(dāng)我們說(shuō)一對(duì)變量是函數(shù)關(guān)系的時(shí)候，說(shuō)的正是這種關(guān)系。

那如果我們現(xiàn)在碰到的一對(duì)變量的關(guān)系不符合這個(gè)規(guī)律的話該怎么辦？

那就另起爐灶，為他們命名過(guò)另外的名字，比如圓錐曲線。

而我們從高中開(kāi)始，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就是要把這樣的函數(shù)思維，也就是它們的對(duì)應(yīng)思維清晰掌握。

【函數(shù)思維】在很多的解釋當(dāng)中，指的是：用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維策略。

但今天，我希望同學(xué)們可以從另外的一個(gè)角度，更符合數(shù)學(xué)發(fā)展歷程、科學(xué)研究狀態(tài)的角度來(lái)去理解【函數(shù)思維】——因果關(guān)系。

在一對(duì)相互依附的變量中，一個(gè)變量的變化，決定了另外一個(gè)變量的變化。

有因，即有果；有果也必有因。

明確由因?qū)С龉倪^(guò)程，就是我們建立函數(shù)的過(guò)程。