1 對數(shù)與對數(shù)表

先看下面兩個(gè)等式：

(10^2)*(10^3)=10^(2+3)

(10^2)^3=10^(2*3)

似乎用某一種巧妙的方式可以將冪運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘運(yùn)算，乘運(yùn)算可以轉(zhuǎn)換為加運(yùn)算。

這種巧妙的運(yùn)算就是對數(shù)表，對數(shù)是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，如a^x=N，x就是以a為底，真數(shù)N的對數(shù)。通過表格的形式建立真數(shù)與對數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，就是對數(shù)表。

常用對數(shù)是指以10為底的對數(shù)。

10的正整數(shù)冪的常用對數(shù)，等于真數(shù)里0的個(gè)數(shù)，如lg1000＝3；

正數(shù)的常用對數(shù)的首數(shù)，是真數(shù)的整數(shù)部分的位數(shù)減去1的一個(gè)整數(shù)。如lg97254的首數(shù)必然是4；

上述性質(zhì)也是常用對數(shù)稱為常用的原因（后面會(huì)敘述自然對數(shù)自然的原因）。

對數(shù)的運(yùn)算法則：

log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N

log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

log(a) M^n=nlog(a) M

log(a)b*log(b)a=1

log(a) b=log (c) b÷log (c) a

利用常用對數(shù)表對乘、冪的化簡運(yùn)算：

真數(shù)表由首列、首行組成，其它是對應(yīng)的對數(shù)。

2 歷史上尋找對數(shù)的底的過程

以前人們做乘法就用乘法，很麻煩，發(fā)明了對數(shù)這個(gè)工具后，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb。

但是能夠這么做的前提是，我要有一張對數(shù)表，能夠知道loga和logb是多少，然后求和，能夠知道log多少等于這個(gè)和。雖然編對數(shù)表很麻煩，但是編好了就是一勞永逸的事情，因此有個(gè)大數(shù)學(xué)家開始編對數(shù)表。但他遇到了一個(gè)麻煩，就是這個(gè)對數(shù)表取多少作為底數(shù)最合適？10嗎？或是2？為了決定這個(gè)底數(shù)，他做了如下考慮：

2.1 真數(shù)的考量：所有乘數(shù)/被乘數(shù)都可以化到0-1之內(nèi)的數(shù)乘以一個(gè)10的幾次方（科學(xué)記數(shù)法）。

2.2 底的考量：那么只考慮做一個(gè)0-1之間的數(shù)的對數(shù)表了，那么我們自然用一個(gè)0-1之間的數(shù)做底數(shù)（如果用大于1的數(shù)做底數(shù)，那么真數(shù)（取值0-1之間）取完對數(shù)就是負(fù)數(shù)，不夠直觀）。

2.3 這個(gè)0-1間的底數(shù)不能太小，比如0.1就太小了，這會(huì)導(dǎo)致很多數(shù)的對數(shù)都是零點(diǎn)幾；而且“相差很大的兩個(gè)數(shù)的對數(shù)值卻相差很小”，比如0.1做底數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)相差10倍時(shí)，對數(shù)值才相差1。換句話說，像0.5和0.55這種相差不大的數(shù)，如果用0.1做底數(shù)，那么必須把對數(shù)表做到精確到小數(shù)點(diǎn)以后很多位才能看出他們對數(shù)的差別。

2.4 為了避免這種缺點(diǎn)，底數(shù)盡量要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。總的來說就是1 - 1/X ，X越大越好。在選了一個(gè)足夠大的X（X越大，對數(shù)表越精確，但是算出這個(gè)對數(shù)表就越復(fù)雜）后，你就可以算:

（1-1/X）^¹ = P1 ，

（1-1/X）^² = P2 ，

……

那么對數(shù)表上就可以寫上P1的對數(shù)值是1，P2的對數(shù)值是2……（以1-1/X作為底數(shù)）。而且如果X很大，那么P1、P2、P3、……之間都靠得很緊，基本可以滿足均勻地覆蓋了0.1-1之間的區(qū)間。

2.5 最后數(shù)學(xué)家納皮爾用（1- 1/X）^^X作為底，這樣P1的對數(shù)值就是1/X，P2的對數(shù)值就是2/ X，……PX的對數(shù)值就是1，這樣不至于讓一些對數(shù)值變得太大，這樣調(diào)整之后，各個(gè)數(shù)的對數(shù)值基本在0-1之間。兩個(gè)值之間最小的差為1/X。

2.6 讓對數(shù)表更精確，那么X就要更大，數(shù)學(xué)家算了很多次，1000，1萬，十萬，最后發(fā)現(xiàn)，X變大時(shí)，這個(gè)底數(shù)（1 - 1/X）^X趨近于一個(gè)值。這個(gè)值就是1/e，自然對數(shù)底的倒數(shù)（雖然那個(gè)時(shí)候還沒有給它取名字）。其實(shí)如果我們第一步不是把所有值放縮到0.1-1之間，而是放縮到1-10之間，那么同樣的討論，最后的出來的結(jié)果就是e了--- 這個(gè)大數(shù)學(xué)家就是著名的歐拉(Euler)，自然對數(shù)的名字e也就來源于歐拉的姓名。

3 試編碼一個(gè)以1.0001為底的對數(shù)表

使用C++代碼枚舉：

運(yùn)行后結(jié)果：

1.0001^1 :1.00011.0001^2 :1.00021.0001^3 :1.00031.0001^4 :1.00041.0001^5 :1.00051.0001^6 :1.00061.0001^7 :1.00071.0001^8 :1.00081.0001^9 :1.00091.0001^9990 :2.715431.0001^9991 :2.71571.0001^9992 :2.715971.0001^9993 :2.716241.0001^9994 :2.716521.0001^9995 :2.716791.0001^9996 :2.717061.0001^9997 :2.717331.0001^9998 :2.71761.0001^9999 :2.717871.0001^10000 :2.718151.0001^10001 :2.718421.0001^10002 :2.718691.0001^10003 :2.718961.0001^10004 :2.719231.0001^10005 :2.719511.0001^10006 :2.719781.0001^10007 :2.720051.0001^10008 :2.720321.0001^10009 :2.720591.0001^23020 :9.9931.0001^23021 :9.9941.0001^23022 :9.9951.0001^23023 :9.9961.0001^23024 :9.9971.0001^23025 :9.9981.0001^23026 :9.9991.0001^23027 :10

其中的一個(gè)值是：

其實(shí)就是lim(1+1/n)^n(n→∞）的雛形。

如果以此值為對數(shù)的底來編制一張對數(shù)表會(huì)怎樣？

4 一個(gè)最大值問題

假設(shè)a*b=N

當(dāng)a取什么值時(shí)，a^b的值最大？（a,b可以是小數(shù)）。

用一個(gè)C++程序來枚舉一下：

#include #include using namespace std;void main(){	int n=10; float i=0.1;	for(int k=1;i*k<=n;++k,i*k) {=""><><'\t ^=""><>

輸出：

當(dāng)n取不同值時(shí)，滿足a*b=n，a在2.7附近時(shí)，a^b的值最大。

n、i取任意值，如n=5，i=0.01時(shí)，也可以看到這種規(guī)律。

設(shè)f(x)=x^(K/x)，x>0，K是大于0的常數(shù)。對f求導(dǎo)，即可得x=e時(shí)f取極大值，也是最大值。

二進(jìn)制存儲(chǔ)的計(jì)算機(jī)，一個(gè)32位的的機(jī)器使用了32個(gè)1和0，也就是64個(gè)元素，可以表達(dá)2^32=4.29*10^9個(gè)精度的數(shù)字。同樣是64個(gè)元素，假設(shè)表達(dá)成3^21.3=1.45*10^10，即使是3^21也有1.05*10^10個(gè)精度，也就是說，如果用三進(jìn)制，可以有更多的組合，而四進(jìn)制呢？組合數(shù)又變小了（其實(shí)e進(jìn)制有最多的組合數(shù)）。

5 自然常數(shù)e

e^x的泰勒展開式，當(dāng)x=1時(shí)，e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!。

自然常數(shù)e又叫銀行家常數(shù)。是指當(dāng)連續(xù)復(fù)利（計(jì)息分期無限擴(kuò)大，且利滾利）時(shí)，本息和不會(huì)無限擴(kuò)大，而是會(huì)趨于一個(gè)定值，這個(gè)定期就與e有關(guān)。

連續(xù)復(fù)利表達(dá)式：本金*（1+r/n）^(n*t)＝本金*e^(r*t)。其中r是利率，t是期數(shù)。

假設(shè)本金是1000，年利率是36%，期限是1年?？伤愕美⒑褪?360。

如果按月算復(fù)利，其本息和是1000*（1+0.36/12）^(12*1)＝1425.76。

如果按天算復(fù)利，其本息和是1000*（1+0.36/365）^(365*1)＝433.08。

如果是連續(xù)復(fù)利，其本息和是1000*e^0.36＝1433.33。

也就是，不管你怎樣對1年進(jìn)行細(xì)分，進(jìn)行復(fù)滾利，其本息和并不會(huì)無限擴(kuò)大，本金是1000，年利率是36%時(shí)，其本息和不會(huì)超過1433.33。

如果一群單細(xì)胞生物每24小時(shí)全部分裂一次，單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的指數(shù)增長所能達(dá)到的極限值就是e，這個(gè)值是自然增長的極限。

因?yàn)閑=2.7182818284... ，極為接近循環(huán)小數(shù)2.71828(1828循環(huán))，那就把循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數(shù)約率，精確度高達(dá)99.9999999(7個(gè)9)% 。

6 自然常數(shù)e的收斂性

7 比較e^π 與π^e的大小

（e=2.71828……，π=3,14159……）

從上面的最值可以簡單判斷，e*π一定時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)接近2.7時(shí)，e^π有較大值。

也可從以下思路推理：

可以用計(jì)算器計(jì)算出相關(guān)值：

8 自然常數(shù)相關(guān)表達(dá)式與導(dǎo)數(shù)

(x^n)'=nx^(n-1)。

(a^x)'=a^xlnx。

(e^x)' = e^x，其導(dǎo)數(shù)（變化率竟然是自身）。

我們一般用指數(shù)增長來表示很快的一個(gè)增長速度，而指數(shù)增長中，其中底數(shù)是e的指數(shù)增長，是最快速的指數(shù)增長。

(logax)'=1/(xlna)。

(lnx)' = 1/x。

自然對數(shù)的變化率（導(dǎo)數(shù)）是最簡潔的。

9 自然對數(shù)表與為什么用自然常數(shù)做為底

先看一下使用自然對數(shù)表的一個(gè)實(shí)例：

試想要編制一張對數(shù)表，如果知道了對數(shù)函數(shù)的變化率（導(dǎo)數(shù)），根據(jù)相鄰很小間隔（如0.01）的真數(shù)就可以求出相鄰的對數(shù)值，而自然對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是所有對數(shù)函數(shù)中最簡潔的：

最簡潔的表達(dá)式：(lnx)'=1/x，大道至簡，大道自然。

10 用c代碼近似計(jì)算e值

10.1 用級數(shù)1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+...+1/n!+...近似e值

#include 'stdafx.h'

#include

int factorial(int j)

{

int sum;

if(j == 0)

sum = 1;

if(j == 0)

sum = 1;

else

sum = j * factorial(j-1);

return sum;

}

void main()

{

int i;

double sum1 = 0.0;

for(i=0;i<>

sum1 = sum1 + (1.0/factorial(i));

}

printf('0: %d %d %f ',i,factorial(i),sum1);

}

//運(yùn)行結(jié)果：0: 13 1932053504 2.718282

10.2 用公式lim(1+1/n)^n(n→∞)近似e值

#include 'stdafx.h'

#include

void main()

{

int i;

double sum1,sum2;

for(i=1;i<>

sum1 = (1.0+(1.0/i));

sum2 = pow(sum1,i);

printf('%d %f ',i,sum2);

}

printf(' ');

for(i=90;i<>

sum1 = (1.0+(1.0/i));

sum2 = pow(sum1,i);

printf('%d %f ',i,sum2);

}

printf(' ');

for(i=99990;i<>

sum1 = (1.0+(1.0/i));

sum2 = pow(sum1,i);

printf('%d %f ',i,sum2);

}

printf(' ');

}

1 2.000000

2 2.250000

3 2.370370

4 2.441406

5 2.488320

6 2.521626

7 2.546500

8 2.565785

9 2.581175

10 2.593742

90 2.703332

91 2.703495

92 2.703654

93 2.703810

94 2.703962

95 2.704112

96 2.704258

97 2.704401

98 2.704542

99 2.704679

100 2.704814

99990 2.718268

99991 2.718268

99992 2.718268

99993 2.718268

99994 2.718268

99995 2.718268

99996 2.718268

99997 2.718268

99998 2.718268

99999 2.718268

100000 2.718268

－End－