中點模型

【模型1】倍長

1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點遇平行線延長相交

【模型2】遇多個中點，構造中位線

1、直接連接中點；2、連對角線取中點再相連

【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC＝60°，G是DF的中點，連接GC、GE．

（1）如圖1，當點E在BC邊上時，若AB＝10，BF＝4，求GE的長；

（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段GE、GC有怎樣的數量和位置關系，寫出你的猜想，并給予證明；

（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，（2）問中的關系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明．

【解答】

（1）延長EG交CD于點H

易證明△CHG≌△CEG，則GE＝3√3

（2）延長CG交AB于點I，

易證明△BCE≌△FIE，則△CEI是等邊三角形，GE＝√3GC，且GE⊥GC

（3）

【例2】如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上一點，連接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF.

（1）求證：CE＝CF；

（2）若∠ABC＝120°，點G是線段AF的中點，連接DG、EG，求證：DG⊥EG.

【解答】

（1）證明△ABE≌△ADF即可；

（2）延長DG與AB相交于點H，連接HE，證明△HBE≌△EFD即可

【例3】如圖，在凹四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F分別為BC、AD的中點，BA交EF延長線于G點，CD交EF于H點，求證：∠BGE＝∠CHE.

【解答】

取BD中點可證，如圖所示：

角平分線模型

【模型1】構造軸對稱

【模型2】角平分線遇平行構等腰三角形

【例4】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC邊于E，EF⊥AE交邊CD于F點，交AD邊于H，延長BA到G點，使AG＝CF，連接GF.若BC＝7，DF＝3，EH＝3AE，則GF的長為_______.

【解答】

延長FE、AB交于點I，易得CE＝CF，BA＝BE，設CE＝x，則BA＝CD＝3＋x，BE＝7－x，

3＋x＝7－x，x＝2，AB＝BE＝5，AE＝，作AJ⊥BC，連接AC，求得GF＝AC＝3

手拉手模型

【條件】OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD

【結論】△OAC≌△OBD，∠AEB＝∠AOB＝∠COD（即都是旋轉角）；OE平分∠AED

【例5】（2014重慶市A卷）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且，連接BE．過點C作CF⊥BE，垂足是F，連接OF，則OF的長為________．

【答案】6√5/5

【例6】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E在AC邊上，連接BE，AG⊥BE于F，交BC于點G，求∠DFG．

【答案】45°

【例7】（2014重慶B卷）如圖，在邊長為6√2的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線一點，BE＝DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE、BH．若BH＝8，則FG＝_____________．

【答案】5√2

鄰邊相等對角互補模型

【模型1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°

【結論】AC平分∠BCD

【模型2】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°

【結論】① ∠ACB＝∠ACD＝45°； ② BC＋CD＝√2AC

【例8】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，G為CD中點，DE＝DG，FG⊥BE于F，則DF為_____.

【答案】9√5/5

【例9】如圖，正方形ABCD的邊長為3，延長CB至點M，使BM＝1，連接AM，過點B作BN⊥AM，垂足為N，O是對角線AC、BD的交點，連結ON，則ON的長為__________.

【答案】6√5/5

【例10】如圖，正方形ABCD的面積為64，△BCE是等邊三角形，F是CE的中點，AE、BF交于點G，則DG的長為___________.

【答案】4√3 4

半角模型

【模型1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EAF＝

1/2∠BAD， 點E在直線BC上，點F在直線CD上【結論】BE、DF、EF滿足截長補短關系

【模型2】

【條件】如圖，在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與對角線BD交于點M、N．

【結論】①BE＋DF＝EF；

②

；③AH＝AB；

④

；⑤BM2＋DN2＝MN2；

⑥△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM（由AO：AH＝AO：AB＝1： √2可得到△ANM和△AEF相似比為1： √2）

⑦

⑧△AOM∽△ADF；△AON∽△ABE；

⑨△AEN為等腰直角三角形，∠AEN＝45°，△AFM為等腰直角三角形，∠AFM＝45°；⑩A、M、F、D四點共圓，A、B、E、N四點共圓，M、N、F、C、E五點共圓．

【模型2變形】

【條件】在正方形ABCD中，已知E、F分別是CB、DC延長線上的點，且滿足∠EAF＝45°

【結論】BE＋EF＝DF

【模型2變形】

【條件】在正方形ABCD中，已知E、F分別是BC、CD延長線上的點，且滿足∠EAF＝45°

【結論】DF＋EF＝BE

【例11】如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，射線EF與線段AB相交于點G，與射線CA相交于點Q.若AQ＝12，BP＝3，則PG＝__________.

【解答】連接AE，題目中有一線三等角模型和半角模型

設AC＝x，由△BPC∽△CEQ得

BP/CE=BE/CQ， 3/(（√2/2)x）＝(√2/2)x/（x＋12），解得x＝12

設PG＝y，由AG2＋BP2＝PG2得32＋(12－3－x)2＝x2，解得x＝5

【例12】如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD，點E、F在AB、AD上，且AE＝DF．連接BF與DE交于點G，連接CG與BD交于點H，若CG＝1，則S四邊形BCDQ＝__________．

【解答】√3/4

一線三等角模型

【條件】∠EDF＝∠B＝∠C，且DE＝DF

【結論】△BDE≌△CFD

【例13】如圖，正方形ABCD中，點E、F、G分別為AB、BC、CD邊上的點，EB＝3，GC＝4，連接EF、FG、GE恰好構成一個等邊三角形，則正方形的邊為__________.

【解答】如圖，構造一線三等角模型，△EFH≌△FGI

則BC＝BF＋CF＝HF－BH＋FI－CI＝GI－BH＋HE－CI＝7√3/3

弦圖模型

【條件】正方形內或外互相垂直的四條線段

【結論】新構成了同心的正方形

【例14】如圖，點E為正方形ABCD邊AB上一點，點F在DE的延長線上，AF＝AB，AC與FD交于點G，∠FAB的平分線交FG于點H，過點D作HA的垂線交HA的延長線于點I.若AH＝3AI，FH＝2√2，則DG＝__________．

【解答】17√2/4

【例15】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E是AC中點，連接BE，作AG⊥BE于F，交BC于點G，連接EG，求證：AG＋EG＝BE．

【解答】過點C作CH⊥AC交AG的延長線于點H，易證

最短路徑模型

【兩點之間線段最短】

1、將軍飲馬

2、費馬點

【垂線段最短】

【兩邊之差小于第三邊】

【例16】如圖，矩形ABCD是一個長為1000米，寬為600米的貨場，A、D是入口，現擬在貨場內建一個收費站P，在鐵路線BC段上建一個發(fā)貨站臺H，設鋪設公路AP、DP以及PH之長度和為l，求l的最小值．

【解答】600 500√3，點線為最短．

【例17】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE＝DF，連接CF交BD于G，連接BE交AG于H，若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值為______________________．

【解答】如圖，取AB中點P，連接PH、PD，易證PH≥PD-PH即DH≥√5-1．

課后練習題

【練習1】如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長分別為3、5，求三角形OBE的面積．

【解答】5/2

【練習2】已知：如圖1，正方形ABCD中，為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

求證：EG＝CG且EG⊥CG；

將圖1中△BEF繞B逆時針旋轉45°，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG，問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？

【解答】

略

方法一：如圖所示

方法二：如圖所示

（3）

方法一：

方法二：