問題討論●沖 量 方 向 剖 析

束義福(安徽省廬江第二中學 , 231500)　　

關于沖量的方向 ,一些教科書及資料中說“沖量方向就是力的方向”,“沖量方向由力的方向決定”.筆者認為 ,這種說法值得商榷 ,因為這樣說過于籠統(tǒng) ,且容易使學生產(chǎn)生誤解 .一、關于沖量的定義討論沖量方向應從沖量定義出發(fā).沖量分兩種情況.1.恒力的沖量: 當作用在物體上的外力 F是恒力時 ,其沖量等于恒力 F與恒力的作用時間 t的乘積 ,即　　　　　　　 I= Ft. ①因恒力方向不變 ,沖量方向與恒力方向相同.2.變力的沖量: 當作用在物體上的外力 F是變力時 ,應將變力 F作用的時間 t 分成無限個極短的時間間隔 dt i ,在每個 dt i 內的外力 F i都可視為不變 .根據(jù)恒力沖量的定義 ,可得外力 Fi 在時間 dt i 內的微分沖量為dI= F i dt i .變力 F在作用時間 t= t 2 - t 1 內的沖量為　　　　　 I=t 2t 1Fdt. ②這表明: 變力沖量的大小和方向由變力作用時間內所有微分沖量的矢量和決定.②式是普遍情況 ,①式是當 F為恒力的特殊情況.二、關于沖量方向的確定微分沖量 F i dt i 的方向可認為與這個時間間隔 dt i 內的力 F i 的方向相同 .如果外力 F是大小改變方向不變的變力 ,各微分沖量的方向都與外力 F的方向相同 ,因此它們的矢量和方向即外力的沖量方向 ,應與外力方向相同.如果外力是方向改變的變力 ,各微分沖量的方向并不相同 ,它們矢量和的方向即外力的沖量方向 ,不僅與力的大小和方向有關 ,而且與力的作用時間有關 .

例如 ,質量為 m 的物體 ,停在水平面上某點 ,在時間 t 1 內 ,受到大小為 F 1 、方向沿正北的外力作用 ,接著又在時間 t 2 內 ,受到大小為 F 2 、方向沿正東的外力作用 ,則在時間 t1和 t2 內外力的沖量的大小 (如圖 1,建立坐標 )為· 10 · I= ( F 1 t 1 )2 + ( F 2 t 2)2,外力的沖量方向可由它與 y軸的夾角 θ決定:θ= tg- 1 F 2 t 2F 1 t 1 .圖 1這是 變力方向改變時 ,確定沖量方向的最簡單例子.如果 外力方向連續(xù)變化 ,則直接求微分沖量的矢量和往往很困難 ,即使將各個微分沖量投影到直角坐標軸上 ,把矢量的疊加變成代數(shù)運算 ,也還相當麻煩.在這種情況下 ,如果根據(jù)力的時間積累效應 ,即沖量的效應來確定沖量方向 ,就要簡單得多 .牛頓本人對牛頓第二定律提出的形式是F=d(mv )dt=dpdt.可知力在極短時間內的微分沖量為Fdt= dp.力在時間 t= t 2 - t 1 內的沖量為I=t 2t 1Fdt=p 2p 1dp= p2- p1 .上式表明: 物體所受合外力的沖量等于物體動量的增量 .沖量是過程量 ,而動量的增量是過程始末兩時刻動量的矢量差 ,因此可以用動量的增量來確定沖量的大小和方向 .

例題　長為 L 的繩子一端系一質量為 m的小球 ,另一端固定 ,使小球在豎直面內做圓周運動 ,小球在最高點 A時的速度為 v A ,方向水平向右.求經(jīng)過14 、12 圓弧過程中合外力的沖量.解析　小球受到重力和繩子的拉力作用 ,顯然這里合外力是大小和方向都隨時間不斷發(fā)生改變的變力 .設小球經(jīng)過14 、12 圓弧到達B、C點的速度為 v B 、v C ,如圖 2a所示 .根據(jù)動量定理 ,小球經(jīng)過14 圓弧的時間內合外力的沖量如圖 2b所示 ,其大小為I 1 = (mv A )2 + (mvB )2,設沖量的方向由 θ角決定 ,可得θ= tg- 1 mv Bmv A.圖 2如圖 2c所示 ,取水平向右方向為正方向 ,小球經(jīng)12 圓弧時間內合外力的沖量為I 2 = - mv C - mv A ,負號表示該沖量方向水平向左.至于 vB和 vC 的大小 ,由機械能守恒定律易得出v B = v A2 + 2gL; v C =v A2 + 4gL .由以上討論可見 ,沖量的方向不能籠統(tǒng)地說是力的方向.

一般情況下 ,沖量矢量是在作用時間內矢量對這段時間的積分而不是簡單的力和力作用時間的乘積.如果在作用時間內力的方向不斷變化 ,沖量的方向可能跟任何時刻力的方向都不相同 ,就不能取決于某一瞬時的外力方向 ,而取決于物體動量增量的方向.至于沖量的量值 ,盡管外力在運動中隨時改變 ,物體速度也逐點不同 ,沖量大小卻完全決定于物體始末兩狀態(tài)動量矢量差的絕對值 ,而與運動過程中物體在各點的動量無關.只有在作用時間內力的方向不變時 ,沖量的方向就是力的方向.因此 ,某些教科書及資料中關于沖量的方向“就是力的方向” ,“由力的方向決定”的說法僅適用于方向不變的力的情況 ,而不適用于方向改變的力的情況.

綜上所述 ,筆者認為: “沖量的方向就是動量增量的方向”這一論述應該著重強調 ,并使學生理解和掌握 .不論是恒力的沖量 ,還是變力的沖量 ,其方向及大小都可由動量的增量來確定.如果是恒力 ,就可用力的方向確定沖量的方向 ,這樣確定沖量方向簡便;如果是變力 ,沖量的方向則由動量增量的方向來確定 .這樣講學生易于接受和理解 ,也便于運用

11 ·Vol. 26　 No. 11Nov. 1997

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束義福(安徽省廬江第二中學 , 231500)