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對(duì)當(dāng)方陣一般模式及其應(yīng)用?
周家發(fā) 1. 對(duì)當(dāng)方陣 1.1 對(duì)當(dāng)方陣簡(jiǎn)介 在古典形式邏輯的“直接推理”中，“對(duì)當(dāng)關(guān)系推理”是最重要的一種，這種推 理是指四個(gè)量化句之間的邏輯推理關(guān)系。 古典邏輯學(xué)家把這四個(gè)量化句排成以下 圖形，稱為“對(duì)當(dāng)方陣”(square of opposition)：
在上圖中，四個(gè)量化句分別簡(jiǎn)記作 A、E、I 和 O，這四句都含有“全稱量詞”(表 現(xiàn)為“所有”)或“存在量詞”(表現(xiàn)為“有”)。請(qǐng)注意上圖中的 E 句“所有 S 不是 P”和 O 句“有 S 不是 P”在邏輯上分別等價(jià)于“沒(méi)有 S 是 P”和“并非所有 S 是 P”。以下 當(dāng)提及 E 句或 O 句時(shí)，我們會(huì)視乎情況選用這兩種等價(jià)形式中的一種。 上述四個(gè)量化句之間共有四類邏輯推理關(guān)系，下表列出這四類關(guān)系的定義 (在以下定義中，p、q 為任意命題或命題函項(xiàng))： 名稱 差等關(guān)系 矛盾關(guān)系 反對(duì)關(guān)系 定義 p 單向衍推 q (即若 p 真，則 q 真；若 q 真，則 p 可真可假) p 與 q 不可同真且不可同假 (即若 p 真，則 q 假；若 p 假，則 q 真) p 與 q 不可同真，但可同假 (即若 p 真，則 q 假；若 p 假，則 q 可真可假)
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本文是蔣嚴(yán)(主編)《走近形式語(yǔ)用學(xué)》(上海教育出版社 2011 年出版)中一篇論文的作者手稿， 本文的最終刊印本載于《走近形式語(yǔ)用學(xué)》第 104－121 頁(yè)。 1
下反對(duì)關(guān)系
p 與 q 不可同假，但可同真 (即若 p 假，則 q 真；若 p 真，則 q 可真可假)
根據(jù)“假言易位律”，上表中的定義都可寫(xiě)成其他等價(jià)形式，例如“矛盾關(guān)系”也可 以寫(xiě)成“若 q 真，則 p 假；若 q 假，則 p 真”。 請(qǐng)注意對(duì)于命題函項(xiàng)而言， 上述對(duì)當(dāng)關(guān)系應(yīng)被理解為把適當(dāng)?shù)某ｍ?xiàng)代入命題 函項(xiàng)中的所有變項(xiàng)后所得命題之間的關(guān)系。 舉例說(shuō)， 當(dāng)我們說(shuō)“所有 S 是 P”與“所 有 S 不是 P”處于反對(duì)關(guān)系時(shí)，我們的意思是，把任何適當(dāng)?shù)某ｍ?xiàng)代入這兩個(gè)命 題函項(xiàng)中的 S 和 P 后，所得命題處于反對(duì)關(guān)系。 1.2 古典對(duì)當(dāng)方陣的變體 古典對(duì)當(dāng)方陣有多種變體。周禮全(1994)介紹了模態(tài)邏輯和時(shí)態(tài)邏輯的對(duì)當(dāng) 方陣， 這兩個(gè)方陣都可以看成古典對(duì)當(dāng)方陣的變體，它們跟古典對(duì)當(dāng)方陣的區(qū)別 在于量化的對(duì)象不同。舉例說(shuō)，下面這個(gè)“真勢(shì)模態(tài)對(duì)當(dāng)方陣”的量化對(duì)象是“可 能世界”，“必然 p”的意思就是“在所有可能世界中 p 都真”，而“可能 p”的意思則 是“在至少一個(gè)可能世界中 p 真”，所以“必然”相當(dāng)于一個(gè)全稱量詞，“可能”相當(dāng) 于一個(gè)存在量詞：
同樣， 下面這個(gè)“過(guò)去時(shí)態(tài)對(duì)當(dāng)方陣”的量化對(duì)象是過(guò)去時(shí)間， 我們可以把“一 直”看成全稱量詞，“曾經(jīng)”看成存在量詞：
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我們認(rèn)為還可以進(jìn)一步推廣周禮全(1994)的思想，找出古典對(duì)當(dāng)方陣的更多 變體。比如說(shuō)，我們可以把命題 p 和 q 作為量化的對(duì)象，那么便可得到以下這個(gè) “命題邏輯對(duì)當(dāng)方陣”。在這個(gè)方陣中，命題聯(lián)結(jié)詞“和”相當(dāng)于全稱量詞，“或”則 相當(dāng)于存在量詞。請(qǐng)注意現(xiàn)代命題邏輯里的 “德.摩根律”在這個(gè)方陣中表現(xiàn)為兩 個(gè)矛盾關(guān)系：
我們還可以把空間上的點(diǎn)作為量化的對(duì)象，從而得到以下這個(gè)“空間關(guān)系對(duì) 當(dāng)方陣”。在這個(gè)方陣中，“在...之內(nèi)”相當(dāng)于全稱量詞， “重疊”則相當(dāng)于存在量 詞：
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2. 對(duì)當(dāng)方陣一般模式 2.1 全新的對(duì)當(dāng)方陣 自從古典時(shí)代以來(lái)， 千百年來(lái)，邏輯學(xué)家所認(rèn)識(shí)的對(duì)當(dāng)方陣就只有前述的古 典對(duì)當(dāng)方陣， 上一小節(jié)介紹的對(duì)當(dāng)方陣都是從古典對(duì)當(dāng)方陣變出來(lái)的。現(xiàn)在的問(wèn) 題是， 究竟有沒(méi)有其他不含全稱量詞和存在量詞的對(duì)當(dāng)方陣？我們認(rèn)為答案是肯 定的，例如周訓(xùn)偉(2006)提到的以下這個(gè)“數(shù)量比較對(duì)當(dāng)方陣”就是全新的對(duì)當(dāng)方 陣：
現(xiàn)在讓我們來(lái)看看這個(gè)對(duì)當(dāng)方陣究竟有甚么特點(diǎn)。首先，我們可以把方陣中 的 I 和 O 句分別分解為“x > y ? x = y”和“x < y ? x = y”。其次，從數(shù)學(xué)上我們知 道對(duì)于任何實(shí)數(shù) x、y 而言，在“x > y”、“x = y”和“x < y”這三個(gè)命題中，有且只 有一個(gè)是真的，數(shù)學(xué)上把這種情況稱為“三分關(guān)系” (trichotomy)，即這三個(gè)命題 兩兩互斥，而且合起來(lái)窮盡一切可能性。 請(qǐng)注意我們可以把前面分解 I 和 O 句的方法套用于古典對(duì)當(dāng)方陣。 首先， 對(duì) 1 于非空的 S 而言 ， 可以把古典對(duì)當(dāng)方陣的 I 句“有 S 是 P”分解為“所有 S 是 P ? 部
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S 非空稱為“主語(yǔ)存在預(yù)設(shè)”，這是使古典對(duì)當(dāng)方陣上的差等關(guān)系得以成立的必要條件。 4
分 S 是 P”2，而 O 句“并非所有 S 是 P”則可分解為“沒(méi)有 S 是 P ? 部分 S 是 P”。 其次，我們看到在“所有 S 是 P”、“部分 S 是 P”和“沒(méi)有 S 是 P”這三個(gè)命題中， 有且只有一個(gè)是真的，就是說(shuō)這三個(gè)命題構(gòu)成一個(gè)三分關(guān)系。 2.2 對(duì)當(dāng)方陣一般模式的兩種形式 從上一小節(jié)的討論中， 我們看到古典對(duì)當(dāng)方陣以及“數(shù)量比較對(duì)當(dāng)方陣”具有 一些共同點(diǎn)， 即兩者都和某種三分關(guān)系有關(guān)，由此可以歸納出對(duì)當(dāng)方陣的一般模 式。 “對(duì)當(dāng)方陣一般模式”(General Pattern of Squares of Opposition)可以有兩種表述 形式，以下首先介紹“第一形式”。設(shè)有三個(gè)互不等價(jià)的非平凡命題3(或命題函項(xiàng)) p、q、r，它們構(gòu)成一個(gè)三分關(guān)系，即這三個(gè)命題兩兩互斥，而且合起來(lái)窮盡一 切可能性(用形式化方式表達(dá)就是：p ? q ≡ q ? r ≡ r ? p ≡ F；p ? q ? r ≡ T)4，那么 我們可以用 p、q、r 構(gòu)造如下的對(duì)當(dāng)方陣：
容易證明這個(gè)方陣上的關(guān)系是成立的，根據(jù)命題邏輯的知識(shí)，兩個(gè)差等關(guān)系顯然 成立，兩個(gè)矛盾關(guān)系則是 p、q、r 之間三分關(guān)系的直接結(jié)果。根據(jù) p、q、r 的互 斥性，我們知道 p 和 r 不可同真，但可同假(當(dāng) q 真時(shí))，由此證得 p 與 r 之間的 反對(duì)關(guān)系。類似地，由于 p ? q 和 r ? q 不可同假(因兩者的否定分別等于 r 和 p， 而 r 和 p 不可同真)，但可同真(當(dāng) q 真時(shí))，由此證得 p ? q 與 r ? q 之間的下反對(duì) 關(guān)系。 回顧古典對(duì)當(dāng)方陣，可以看到該方陣的左、右兩側(cè)是兩個(gè)單向衍推關(guān)系(即 差等關(guān)系 )，而且由于存在矛盾關(guān)系，這兩個(gè)單向衍推關(guān)系互為對(duì)方的 “逆否命 題”，由此可以歸納出“對(duì)當(dāng)方陣一般模式”的“第二形式”。設(shè)有兩個(gè)互不等價(jià)的 非平凡命題(或命題函項(xiàng)) s 和 t，它們滿足單向衍推關(guān)系，即 s 衍推 t，但 t 并不 衍推 s，以下記作 s ?u t，其中下標(biāo)“u”代表“unilateral” (單向)，那么我們可以用 s
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這里“部分 S 是 P”的意思是“有但非全部 S 是 P”。 非平凡命題是指既非恒真亦非恒假的命題。 這里用“T”和“F”分別代表“真”和“假”。 5
和 t 構(gòu)造以下的對(duì)當(dāng)方陣：
容易證明這個(gè)方陣上的關(guān)系是成立的。首先，差等關(guān)系和矛盾關(guān)系顯然成立。其 次看反對(duì)關(guān)系，若 s 真，那么根據(jù)差等關(guān)系，必有 t 真，所以~t 必假；同理若~(yú)t 真，則 s 必假。此外，由于 t 并不衍推 s，所以可出現(xiàn) t 真且 s 假的情況，亦即 s 與~t 可同假。綜上所述，s 和~t 之間的反對(duì)關(guān)系得證。最后看下反對(duì)關(guān)系，若 t 假，即~t 真，那么根據(jù) E 與 O 句的差等關(guān)系，必有~s 真；同理若~(yú)s 假，必有 t 真。 此外， 由于前面已證明了 s 與~t 可同假，這等價(jià)于~s 與 t 可同真。綜上所述， ~s 和 t 之間的下反對(duì)關(guān)系得證。 2.3 第一形式與第二形式的聯(lián)系 前面介紹了“對(duì)當(dāng)方陣一般模式”的兩種表述形式，這兩種形式的區(qū)別在于 “第一形式”是基于某種“三分關(guān)系”， 而“第二形式”則是基于某種“單向衍推關(guān)系”。 雖然“第一形式”和“第二形式”互有區(qū)別， 但是它們是可以互相轉(zhuǎn)換的。 首先， 給定一個(gè)符合“第一形式”的對(duì)當(dāng)方陣， 那么 p 與 p ? q 構(gòu)成一個(gè)“單向衍推關(guān)系”。 利用這個(gè)單向衍推關(guān)系，便可構(gòu)造一個(gè)符合“第二形式”的對(duì)當(dāng)方陣。 反之， 給定一個(gè)符合“第二形式”的對(duì)當(dāng)方陣， 那么 s、 ~t 和~s ? t 構(gòu)成一個(gè)“三 分關(guān)系”，證明如下：首先，由于 s 和~t 存在反對(duì)關(guān)系，我們有 s ? ~t ≡ F。其 次，顯然有 s ? (~s ? t) ≡ (~s ? t) ? ~t ≡ F。由此證得 s、~t 和~s ? t 兩兩互斥。 此外，我們亦有 s ? ~t ? (~s ? t) ≡ (s ? ~t ? ~s) ? (s ? ~t ? t) ≡ T。由此證得 s、 ~t 和~s ? t 合起來(lái)窮盡一切可能性。綜合以上結(jié)果，s、~t 和~s ? t 構(gòu)成一個(gè)“三分 關(guān)系”。利用這個(gè)三分關(guān)系，便可構(gòu)造一個(gè)符合“第一形式”的對(duì)當(dāng)方陣。 上段所述的結(jié)果可以用下圖表示：
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在上圖中， 我們把命? s 和 t 表示為集合，命?之間的“單向衍推關(guān)系”和“合取關(guān) 系”?分?表示為集合之間的“真包含關(guān)系”和“交關(guān)系”。上圖顯示，若 s 是 t 的真 子集，則 s、~t 和~s ? t 構(gòu)成論域的一個(gè)劃分(partition)。
3. 對(duì)當(dāng)方陣一般模式的應(yīng)用 3.1 第一形式的應(yīng)用 3.1.1 百分比對(duì)當(dāng)方陣 利用“對(duì)當(dāng)方陣一般模式”，可以構(gòu)造出很多前人沒(méi)有提過(guò)的對(duì)當(dāng)方陣。首先 看“第一形式”的應(yīng)用例子。 設(shè) 50 < n < 100， 其中 n 為實(shí)數(shù)， 那么 0 < 100 ? n < 50。 由此可知[0, 100 ? n)、[100 ? n, n]、(n, 100]構(gòu)成區(qū)間[0, 100]的一個(gè)劃分。換句話 說(shuō)，“少于(100 ? n)%的 S 是 P”、“介于(100 ? n)%和 n%的 S 是 P”、“多于 n%的 S 是 P”這三個(gè)命題構(gòu)成一個(gè)“三分關(guān)系”。 利用這個(gè)“三分關(guān)系”， 便可構(gòu)造以下的“百 分比對(duì)當(dāng)方陣”：
請(qǐng)注意為了使上述方陣左右兩邊的語(yǔ)句更整齊，我們使用了如下等值關(guān)系： “少 于(100 ? n)%的 S 是 P” ≡ “多于 n%的 S 不是 P”； “最多 n%的 S 是 P” ≡ “至少 (100 ? n)%的 S 不是 P”。把不同的實(shí)數(shù)代入 n，便可得到無(wú)限多個(gè)不同的對(duì)當(dāng)方 陣。
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3.1.2 “除…外對(duì)當(dāng)方陣” “第一形式”的另一個(gè)用途是，幫助我們判斷哪些命題可構(gòu)成對(duì)當(dāng)方陣，哪些 不能。舉例說(shuō)，在自然語(yǔ)言中，存在以下推理關(guān)系： (1) 并非除 John 外，還有學(xué)生穿 T 恤。? 除 John 外，沒(méi)有學(xué)生穿 T 恤。
上述推理的有趣之處在于，若把這兩句譯成英語(yǔ)，那么前句的 “除... 外 ”應(yīng)譯成 “besides”，而后句卻應(yīng)譯成“except”。由此我們想，能否構(gòu)造一個(gè)包含 “besides” 和“except”的對(duì)當(dāng)方陣？但若細(xì)心一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)情況頗為復(fù)雜，這是因?yàn)楦?據(jù) John 是否具有某性質(zhì)(即上例中的“穿 T 恤”)以及 John 以外的其他人是否具有 該性質(zhì)，我們將得到一個(gè)“四分關(guān)系”而非“三分關(guān)系”，構(gòu)不成對(duì)當(dāng)方陣。為此， 我們必須把情況簡(jiǎn)化。一種可行辦法是把“John 具有某性質(zhì) P” (以下簡(jiǎn)稱“John 是 P”)作為古典對(duì)當(dāng)方陣中四個(gè)語(yǔ)句的“附加預(yù)設(shè)” (這里還須假設(shè) John 屬于主語(yǔ) 集 合 S) 。 請(qǐng) 注 意 這 里 的 “John 是 P” 是 作 為 “ 預(yù) 設(shè) ”(presupposition) 而 非 “ 斷 言”(assertion)出現(xiàn)的，這樣做是為了保證當(dāng)我們否定對(duì)當(dāng)方陣中某一語(yǔ)句時(shí)，作 為“預(yù)設(shè)”的“John 是 P”不會(huì)被否定，例如盡管(1)中的兩句互相矛盾，“John 穿 T 恤”這個(gè)事實(shí)在這兩句中都保持不變?；谝陨嫌懻摚覀兛梢詷?gòu)造以下的“除... 外對(duì)當(dāng)方陣”：
3.1.3 三分概念對(duì)當(dāng)方陣 “對(duì)當(dāng)方陣一般模式”的應(yīng)用范圍并不限于量化句， 而且可以應(yīng)用于一般的謂 詞(即概念)。事實(shí)上，對(duì)于每一組三分概念，都可構(gòu)造相應(yīng)的對(duì)當(dāng)方陣。以下讓 我們來(lái)看一個(gè)有趣的例子， 法國(guó)大革命前該國(guó)的三級(jí)會(huì)議內(nèi)共有三個(gè)等級(jí)： 教士、 貴族、市民，它們構(gòu)成一個(gè)“三分關(guān)系”，即任何一個(gè)三級(jí)會(huì)議的成員屬于且只屬 于這三個(gè)等級(jí)之一?，F(xiàn)在如果我們以三級(jí)會(huì)議的成員作為論域，?把“教士或貴
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族”統(tǒng)稱為“特權(quán)等級(jí)”； “市民或貴族”統(tǒng)稱為“世俗等級(jí)”， 那么便可構(gòu)造以下的“三 級(jí)會(huì)議對(duì)當(dāng)方陣”：
看到這里，有些人可能會(huì)指出，根據(jù) 2.2 小節(jié)，p、q、r 應(yīng)為“命題”(或命題函項(xiàng))， 但這里的“教士”、“貴族”、“市民”卻是“謂詞”。不過(guò)，由于當(dāng)“謂詞”與適當(dāng)數(shù)目 的“個(gè)體變項(xiàng)”結(jié)合后便可構(gòu)成“命題函項(xiàng)”，所以我們可以把這里的 “教士”、“貴 族”、“市民”看成命題函項(xiàng)“x 是教士”、“ x 是貴族”、“ x 是市民”的簡(jiǎn)寫(xiě)。 3.2 第二形式的應(yīng)用 3.2.1 符號(hào)學(xué)方陣 如前所述，把一個(gè)“單向衍推關(guān)系”及其逆否命題左、右并排，便可得到一個(gè) 對(duì)當(dāng)方陣。這個(gè)原理其實(shí)也就是構(gòu)造最簡(jiǎn)單的“符號(hào)學(xué)方陣”(semiotic square，亦 作“語(yǔ)義方陣”)的原理5。根據(jù)黃衛(wèi)星(2008)，這種方陣乃建基于反對(duì)關(guān)系。事實(shí) 上，給定一對(duì)處于反對(duì)關(guān)系的概念，例如“黑”和“白”，立刻得到以下“單向衍推 關(guān)系”： (2) 黑 ?u 非白
由此便可應(yīng)用“第二形式”構(gòu)造以下的“黑白對(duì)當(dāng)方陣”6：
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根據(jù)黃衛(wèi)星(2008)，有多種符號(hào)學(xué)方陣，其中最簡(jiǎn)單的一種與本文內(nèi)容有直接聯(lián)系。 請(qǐng)注意以下對(duì)當(dāng)方陣也是由謂詞(而非命題)組成的對(duì)當(dāng)方陣。 9
在上述方陣中，“黑”與“白”必須理解為處于反對(duì)關(guān)系而非矛盾關(guān)系，否則便會(huì)有 “黑 ≡ 非白”和“白 ≡ 非黑”，上述方陣將不再成其為方陣。 3.2.2 模糊限制語(yǔ)對(duì)當(dāng)方陣 “對(duì)當(dāng)方陣一般模式”也可應(yīng)用于模糊限制語(yǔ)。盡管模糊限制語(yǔ)(例如“非?！?、 “相當(dāng)”、“頗為”、“有點(diǎn)”等)的語(yǔ)義很不確定，但這些詞語(yǔ)之間的某些衍推關(guān)系是 確定無(wú)疑的。舉例說(shuō)，雖然“非?！焙汀坝悬c(diǎn)”這兩個(gè)模糊限制語(yǔ)并無(wú)絕對(duì)分明的定 義，但前者表達(dá)的程度肯定比后者高，因此我們有 (3) S 非常 P ?u S 最低限度有點(diǎn) P
現(xiàn)在如果我們把“幾乎完全不”當(dāng)作“最低限度有點(diǎn)”的矛盾概念，便可構(gòu)造以下的 “模糊限制語(yǔ)對(duì)當(dāng)方陣”：
3.2.3 多重量化句對(duì)當(dāng)方陣
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單向衍推關(guān)系也可以存在于多重量化句(即包含多于一個(gè)量詞的命題或命題 函項(xiàng))之間。根據(jù)謂詞邏輯，全稱量詞與存在量詞之間存在一種 “轄域支配(scope dominance)關(guān)系”，即若 P 為二元謂詞，則有以下單向衍推關(guān)系： (4) ?y?x P(x,y) ?u ?x?y P(x,y)
利用上述關(guān)系以及謂詞邏輯中否定詞與量詞易位的定理： (5) (6) ~?y?x P(x,y) ≡ ?y?x ~P(x,y) ~?x?y P(x,y) ≡ ?x?y ~P(x,y)
并且把 x 和 y 分別看成從集合“男孩”和“女孩”上取值的個(gè)體變項(xiàng)，P 看成謂詞 “愛(ài)”，便可得到如下的“多重量化句對(duì)當(dāng)方陣”：
根據(jù)當(dāng)代學(xué)者 Ben-Avi and Winter (2004)和 Altman, Peterzil and Winter (2005) 的研究，自然語(yǔ)言的量詞還存在其他“轄域支配關(guān)系”，以下是一些實(shí)例： (7) (8) 大多數(shù)男孩不愛(ài)任何女孩 ?u 沒(méi)有任何女孩為大多數(shù)男孩所愛(ài) 并非每個(gè)男孩都愛(ài)至少一半女孩 ?u 至少一半女孩并非為每個(gè)男孩所愛(ài)
由此可見(jiàn)，把有關(guān)“轄域支配關(guān)系”的研究成果與“對(duì)當(dāng)方陣一般模式”加以結(jié)合， 將可構(gòu)造出更多“多重量化句對(duì)當(dāng)方陣”。 4. 對(duì)當(dāng)方陣與三角陣／ 六角陣的關(guān)系 4.1 反對(duì)三角陣、下反對(duì)三角陣和對(duì)當(dāng)六角陣
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回顧“對(duì)當(dāng)方陣一般模式”的“第一形式”，我們發(fā)現(xiàn)它是不對(duì)稱的：在 p、q、 r 這三個(gè)命題中，p 和 r 各自單獨(dú)出現(xiàn)于 A 和 E 角，而 q 卻是作為析取式的一部 分出現(xiàn)于 I 和 O 角。 這種不對(duì)稱性來(lái)自于對(duì)當(dāng)方陣上的兩個(gè)差等關(guān)系， 請(qǐng)注意在 對(duì)當(dāng)方陣的四類關(guān)系中，矛盾關(guān)系、反對(duì)關(guān)系和下反對(duì)關(guān)系都是對(duì)稱的，只有差 等關(guān)系是不對(duì)稱的。 為了達(dá)致對(duì)稱性， 當(dāng)代某些學(xué)者(例如 Blanché (1953)、 Béziau (2003)等)提出把古典對(duì)當(dāng)方陣中的 I 和 O 句合并為“I ? O”， 并把它稱為 Y， 從而 得到一個(gè)“反對(duì)三角陣”，以下稱為“AYE 反對(duì)三角陣”，這個(gè)三角陣上的三個(gè)語(yǔ)句 之間存在反對(duì)關(guān)系7。此外，他們也提出把 A 和 E 句合并為“A ? E”，并把它稱為 U，從而得到一個(gè)“下反對(duì)三角陣”，以下稱為“IOU 下反對(duì)三角陣”，這個(gè)三角陣 上的三個(gè)語(yǔ)句之間存在下反對(duì)關(guān)系。下圖顯示這兩個(gè)三角陣：
把上述兩個(gè)“三角陣”交疊在一起并連上各個(gè)頂點(diǎn)，便可得到下圖所示的 “對(duì)當(dāng)六 角陣”：
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根據(jù) Horn (1989)，Jespersen 也曾提出用三角陣代替方陣。 12
請(qǐng)注意上圖包含著“AEIO 對(duì)當(dāng)方陣”、 “AYE 反對(duì)三角陣”和“IOU 下反對(duì)三角陣”。 在上圖六個(gè)角之間共有 15 個(gè)關(guān)系，其中 10 個(gè)關(guān)系就是前述“AEIO 對(duì)當(dāng)方陣”、 “AYE 反對(duì)三角陣”和“IOU 下反對(duì)三角陣”上的關(guān)系，上圖列出其余 5 個(gè)關(guān)系8。 現(xiàn)在讓我們來(lái)看兩個(gè)“三角陣”跟“第一形式”的聯(lián)系。首先，“AYE 反對(duì)三角 陣”的三個(gè)角剛好對(duì)應(yīng)著“第一形式”中的 p、 q 和 r 命題， 這是因?yàn)楦鶕?jù)前述對(duì)“第 一形式”的表述， A 和 E 角分別對(duì)應(yīng)著 p 和 r 命題， 而 Y = I ? O 則對(duì)應(yīng)著(p ? q) ? (r ? q) ≡ (p ? r) ? q ≡ F ? q ≡ q。 其次，“IOU 下反對(duì)三角陣”的三個(gè)角則分別對(duì)應(yīng)著從 p、q 和 r 中任意抽取 兩個(gè)出來(lái)進(jìn)行析取的結(jié)果，即 I 對(duì)應(yīng)著 p ? q，O 對(duì)應(yīng)著 r ? q，而 U = A ? E 則對(duì) 應(yīng)著 p ? r。 總上所述，“對(duì)當(dāng)六角陣”的六個(gè)角對(duì)應(yīng)著以下六個(gè)命題：p、q、r、p ? q、r ? q、p ? r，因此它雖然像對(duì)當(dāng)方陣一樣包含差等關(guān)系，但卻克服了對(duì)當(dāng)方陣的 不對(duì)稱性。 4.2 梯級(jí)隱涵與三角化 根據(jù)古典對(duì)當(dāng)方陣，我們有以下邏輯衍推關(guān)系： (9) 所有小學(xué)生都穿 T 恤。? 有小學(xué)生穿 T 恤。
可是在日常語(yǔ)言使用中，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種特殊推理，稱為 “ 梯級(jí)隱涵 ”(scalar implicature)，例如： (10) 有小學(xué)生穿 T 恤。 +> 并非所有小學(xué)生都穿 T 恤。
上述推理是說(shuō)，當(dāng)某人說(shuō)出“有小學(xué)生穿 T 恤”時(shí)，他實(shí)際隱含著“并非所有小學(xué) 生都穿 T 恤”的意思。上式中的+>表示上述推理是一種語(yǔ)用“隱涵”(implicature)而 非邏輯“衍推”(entailment)(本文用?代表衍推)。當(dāng)然梯級(jí)隱涵只是日常語(yǔ)言中的 一種常規(guī)推理，這個(gè)常規(guī)并不總是成立。從概率或必然性的角度來(lái)理解，“衍推” 是必然性推導(dǎo)，若前提真，其結(jié)論必然真(概率為 1)；“隱涵”則是或然性推導(dǎo)， 若前提真，其結(jié)論只是很可能而非必然真(概率接近 1)。 梯級(jí)隱涵可以用前述對(duì)當(dāng)方陣與反對(duì)三角陣的關(guān)系來(lái)解釋，事實(shí)上，(10)等 同于
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周訓(xùn)偉(2006)提出的“邏輯餅”同樣包含這 15 個(gè)關(guān)系，所以在實(shí)質(zhì)上等同于“對(duì)當(dāng)六角陣 ”。 13
(11)
有小學(xué)生穿 T 恤。 +> 有但非所有小學(xué)生都穿 T 恤。
回顧前述的古典對(duì)當(dāng)方陣，(11)右端的命題等于 I 和 O 句的合取?？墒歉鶕?jù)前述 的反對(duì)三角陣，I ? O = Y 是反對(duì)三角陣上的一個(gè)命題。由此可見(jiàn)，(10)這樣的梯 級(jí)隱涵實(shí)際上就是把對(duì)當(dāng)方陣上的 I 句解讀為反對(duì)三角陣上的 Y 句， 也就是把對(duì) 當(dāng) 方 陣 轉(zhuǎn) 化 成 反 對(duì) 三 角 陣 的 過(guò) 程 ， Horn (2007) 把 這 種 轉(zhuǎn) 化 稱 為 “ 三 角 化”(triangulation)。 從信息量的角度看，“三角化”也可被看成提高 I 和 O 句信息量的過(guò)程。對(duì)于 命題 p 和 q，如果 p ?u q，我們就說(shuō) p 的信息量較 q 的信息量高。由于 A 和 E 句分別單向衍推 I 和 O 句， 所以后者相對(duì)于前者來(lái)說(shuō)具有較低信息量。 可是在“三 角化”后，I 和 O 句變成 Y 句，一方面，由于 Y = I ? O 單向衍推 I 和 O 句，Y 句 的信息量比 I 和 O 句的信息量都高。另一方面，由于 A、Y 和 E 處于反對(duì)關(guān)系， 三句互不衍推，具有平等的信息量。總括而言，“三角化”把本來(lái)信息量較低的 I 和 O 句變成了信息量較高的 Y 句。 上段所述跟 Levinson (2000)有關(guān)梯級(jí)蘊(yùn)涵的理論相吻合。Levinson (2000)把 梯級(jí)蘊(yùn)涵視為“一般化會(huì)話隱涵”(generalized conversational implicature，GCI)的一 種，而他認(rèn)為 GCI 是一種默認(rèn)推理(default reasoning)。默認(rèn)推理的典型特征為： 給定命題 p，在默認(rèn)的情況下，可以把它理解成 p ? q 9。舉例說(shuō)，當(dāng)有人說(shuō)10“紅 色立方體上有一個(gè)藍(lán)色正方錐體”時(shí)，在默認(rèn)的情況下，可以把這句理解成“紅色 立方體上有一個(gè)藍(lán)色正方錐體， 并且紅色立方體上沒(méi)有圓錐體，沒(méi)有紅色正方錐 體…”。由于 p ? q ?u p，所以默認(rèn)推理提高了命題的信息量，而這正是上段所 述“三角化”所達(dá)致的效果。總上所述，對(duì)當(dāng)方陣的“三角化”為梯級(jí)隱涵提供了一 種幾何解釋11。 5. 總結(jié) “對(duì)當(dāng)方陣一般模式”的思想在當(dāng)代某些學(xué)者的著述中其實(shí)已初見(jiàn)端倪， 例如 Blanché (1953)、Béziau (2003)等人提出“反對(duì)三角陣”，便是看到對(duì)當(dāng)方陣與“三 分關(guān)系”之間的聯(lián)系，這就是本文提出的 “第一形式”的基本思想。黃士平 (1998) 把對(duì)當(dāng)關(guān)系看成“對(duì)角關(guān)系”(即矛盾關(guān)系)與“周邊關(guān)系”(即其他對(duì)當(dāng)關(guān)系)中任一 關(guān)系互動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果；Jaspers (2005)則把對(duì)當(dāng)關(guān)系看成由 A- I 差等關(guān)系與 I-E
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至于 q 是甚么，當(dāng)然須視乎語(yǔ)境而定。此外，Levinson (2000)也提出了某些默認(rèn)推理的法則 (heuristic)，這些法則的詳細(xì)內(nèi)容跟本文的討論無(wú)關(guān)。 10 譯自 Levinson (2000)，Ch. 1，(11)，p. 31。 11 Moretti (2009) 認(rèn)為邏輯學(xué)與幾何學(xué)存在微妙的聯(lián)系，他所創(chuàng)立的 “n-對(duì)當(dāng)理論”(n-Opposition Theory)就是一種幾何化的邏輯學(xué)。本文顯示，梯級(jí)隱涵作為一種語(yǔ)用推理，也有其幾何解釋。 14
矛盾關(guān)系互動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果， 這兩位學(xué)者的結(jié)論跟本文提出的“第二形式”有相通 之處。不過(guò)，上述學(xué)者都沒(méi)有把他們的理論推廣為對(duì)當(dāng)方陣的一般模式，由此觀 之，本文是對(duì)前人已有結(jié)果的一項(xiàng)突破。 對(duì)當(dāng)關(guān)系推理是傳統(tǒng)邏輯中的重要課題， 傳統(tǒng)邏輯的特點(diǎn)是以貼近自然語(yǔ)言 的表達(dá)式(例如對(duì)當(dāng)方陣中的量化句“所有 S 都是 P”等)進(jìn)行推理， 可稱為“自然邏 輯”(natural logic)。 現(xiàn)代數(shù)理邏輯興起后， 傳統(tǒng)邏輯失去重要性， 在邏輯學(xué)中被“邊 緣化”。 但在當(dāng)代， 某些學(xué)者(例如 Sanchez Valencia (1991)、 Keenan (2003)、 van Eijck (2007)、van Benthem (2008)、Seuren (2010)等)重新提倡對(duì)自然邏輯的研究，本文 的研究結(jié)果豐富了自然邏輯的內(nèi)容。
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