hello，大家好。咱們又見面了，我就是傳播知識傳播愛的吳老師。

初中幾何圖形中的輔助線做法可以說是中考中的重點，難點和熱點，往往如何添加合適的輔助線孩子們經(jīng)常是一頭霧水，其實還是本質上對常見的數(shù)學模型不夠熟悉，只有真正的吃透輔助線的做法和一些基本的幾何模型，解題的時候才能有文思泉涌，如有神助。

初中的幾何變換強調(diào)的是以動態(tài)思想去處理靜態(tài)幾何問題，初中數(shù)學幾何變換主要有三大類：平移，翻折和旋轉。而往往輔助線的添加是建立在這三大類幾何變換上，比如我們這次會講到的將軍飲馬模型，角平分線模型等等。

一：將軍飲（yìn）馬模型（“飲”讀第四聲，讓馬喝水的意思）

歷史典故：據(jù)說，在古希臘有一位聰明過人的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請教了一個問題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點？提起路線最短的問題，大家知道：連結兩點之間所有線中，最短的是線段。這個題中馬走的是一條折線。這又該怎么辦呢？

解決辦法：那聰明的海倫是這樣解決的

首先他任意選取A,B兩個定點中的一個，假設選取的為B點。

然后過B點作動點P所在直線的對稱點B'。

最后連接對稱點B'和A點與直線的交點就是所求點。

解決思路：同側點轉化為異側點，再利用兩點之間線段最短解決問題。

推導過程：通過構造對稱點，就相當于把之前的折現(xiàn)給它拽直了，轉化成直線問題。由對稱性質我們知道，PB=PB'。

∴PA+PB=PA+PB'>=AB',當P,A,B三點共線時取等。

例題：大家可以動手做一做

以上就是將軍飲馬模型的基本圖形，而關于將軍飲馬模型的變形圖形實在是太多了，接下來我們拓展一種比較常見的變形圖形：

問題背景：假設我現(xiàn)在比較任性，從A點騎著馬兒，先去OM這條河上的c點，讓馬兒喝口水，然后在騎著馬去ON這塊草坪上D點讓馬吃過口草，最后再回到B點，問怎樣走能夠使得路徑最短？

解決思路：分別過定點A,B做兩條直線的對稱點A',B'，然后連接兩對稱點，與直線OM和ON的交點C,D就是所求點。

所以我們可以總結將軍飲馬類題型的輔助線做法特點：

做定點關于動點所在直線的對稱點，

幾個動點就做幾次對稱。

二：角平分線的輔助線做法

模型一：雙垂模型

輔助線思路：當題干中角平分線上有一點向一邊作垂線，可以選擇再做一條垂線，構造雙錘模型。

例題賞析：如圖所示，在△ABC中，PB、PC分別是∠ABC的外角的平分線，求證：∠1=∠2

模型2：截取等長造全等

輔助線思路：在角的兩邊截取相等的線段構造全等三角形。

例題賞析：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．?求證：AB=AC+CD．

模型三：單垂模型

輔助線思路：當角平分線上有垂線，并且垂足在角平分線上，一般延長垂線構造單垂模型。

例題賞析：?如圖4，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD=∠DAC+∠C.

模型四：角平分線+平行線→等腰三角形

輔助線思路：過∠AOB平分線OC上的一點P，作PE∥OB，交OA于點E，則EO=EP.

在整個初中階段，幾何類綜合題目當題干中給出角平分線的時候，如果需要添加輔助線，基本上99%都是上面總結的4種輔助線添加，根據(jù)題目條件靈活選用即可。

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