為什么會(huì)出現(xiàn)CORDIC算法呢？

對(duì)于三角函數(shù)計(jì)算，理論接觸較多的應(yīng)該就是級(jí)數(shù)展開的方法 ，通過逼近的方式進(jìn)行計(jì)算，比如泰勒級(jí)數(shù)。但是因?yàn)檫@種多項(xiàng)式函數(shù)在計(jì)算的過程中需要大量使用到浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算，而對(duì)于缺乏硬件乘法器的器件而言這種計(jì)算方式的實(shí)現(xiàn)是很困難的。有了問題，自然就會(huì)有人出來解決，1959年J. Volder就首次提出了CORDIC算法，只需要進(jìn)行移位和加減運(yùn)算的快速算法。

CORDIC算法能干什么？

這里只介紹關(guān)于三角函數(shù)方面CORDIC的作用：

1、得到坐標(biāo)軸上一點(diǎn)的角度（相位信息）；

2、得到坐標(biāo)軸上一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的和（幅值信息）。

ps：使用cordic計(jì)算幅值的方法不好，可以選擇更好的，比如查找表的方法，因此這里不再過多介紹計(jì)算幅值的方法。

CORDIC算法的原理是什么？

對(duì)于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的相位，就是和x軸正半軸（后面統(tǒng)稱x軸）的夾角。求一個(gè)點(diǎn)的相位也就是將要求的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與x軸第一次重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)過的相位大小就是這個(gè)點(diǎn)的相位。CORDIC算法通俗來講就是把這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程變成了“離散”旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)特定的角度，旋轉(zhuǎn)N次。在旋轉(zhuǎn)過程中不停的判斷，如果落在x軸就停止，如果發(fā)現(xiàn)在x軸上方就逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（相位增加），如果發(fā)現(xiàn)在x軸下方就順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（相位減小），將旋轉(zhuǎn)過程中的相位變化進(jìn)行累加，最終就可以得到一個(gè)點(diǎn)的相位。這里可以總結(jié)這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程有兩點(diǎn)要求：

1、旋轉(zhuǎn)過程中能夠?qū)崟r(shí)得到y(tǒng)的值，因?yàn)槲覀冃枰獃的值來判斷我們旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)是否到達(dá)了x軸（點(diǎn)在第一象限的話，y=0則表明點(diǎn)落在了x軸上）；

2、每次旋轉(zhuǎn)需要知道旋轉(zhuǎn)的角度，以便于計(jì)算相位。

有了上面的原理，現(xiàn)在需要做的就是得到一個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上旋轉(zhuǎn)和相位的關(guān)系式。

首先假設(shè)坐標(biāo)軸上有任意一點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到，如下圖所示：

因?yàn)槭切D(zhuǎn)，幅值相等，則可以推導(dǎo)公式：

ps：這里介紹一種方便的方法推導(dǎo)，使用復(fù)變函數(shù)推導(dǎo)相位旋轉(zhuǎn)，有興趣化簡一下即可對(duì)應(yīng)上面的公式：

這里可以把()看作是輸入點(diǎn)，上面的公式的確滿足了旋轉(zhuǎn)的第一個(gè)要求，也就是可以實(shí)時(shí)計(jì)算出旋轉(zhuǎn)后的y值，但是這個(gè)公式中包含了，它們計(jì)算起來已經(jīng)很復(fù)雜了，怎么辦呢？接下來就是取巧的過程：

1、對(duì)于而言，只是影響y值的大小，但是并不影響判斷點(diǎn)是否落在x軸上，因此這里直接將省略；

2、對(duì)于任意的的確不好求其結(jié)果，但是我們可以限制每次旋轉(zhuǎn)的角度，使的值是特殊值，這里選擇的值是（1，1/2，1/4，...，1/（2^n））。這里值的選擇是方便硬件進(jìn)行計(jì)算，可以直接進(jìn)行算術(shù)右移，最大限度簡化操作。

3、既然的值有了，那么對(duì)于每次旋轉(zhuǎn)的角度值而言也就是確定的了（45，26.565051177078，14.0362434679265等等）。對(duì)于實(shí)際工程而言，旋轉(zhuǎn)次數(shù)（迭代）肯定是有限的，這個(gè)次數(shù)是和浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)數(shù)精度有關(guān)的。比如轉(zhuǎn)化精度是浮點(diǎn)數(shù)1轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)數(shù)256，則45°對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)數(shù)是45*256=11520，且能分辨的最小值是1/256=0.00390625°。因?yàn)橛凶钚》直媛氏拗?，如果角度再小也就沒有意義了，因此如果轉(zhuǎn)化倍數(shù)是256，則最大迭代次數(shù)是15次。

ps:CORDIC算法只是一個(gè)近似計(jì)算，也就是說15次迭代后點(diǎn)不一定是落在x軸上的。轉(zhuǎn)化精度也高，迭代次數(shù)越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。

有了上面的推論，相位旋轉(zhuǎn)公式可以寫成：

對(duì)于旋轉(zhuǎn)過程中相位累加的公式可以寫成：

這里的z是有初始值的，初始值和象限有關(guān)，第一象限和第四就是z=0（x>0），第二象限就是z=90（y>0），第三象限就是z=-90（y<>在下面給出的示例代碼中，是默認(rèn)輸入值x>0的。如果想將程序擴(kuò)展到四個(gè)象限，判斷輸入點(diǎn)的象限，然后取z的不同初始值和對(duì)輸入點(diǎn)進(jìn)行象限變換（比如輸入點(diǎn)在第二象限(x0,y0)，則將點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到新點(diǎn)(y0,-x0)）即可，有興趣的可以進(jìn)行添加。

以下是示例代碼：