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列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展，從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等． 二、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟 和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步也是： “審、設(shè)、列、解、答”． (1)“審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，這一步是解決問題的基礎(chǔ)，可以利用輔助表格幫助理清數(shù)量關(guān)系 (2)“設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要．恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易； (3)“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程．找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵，但是如果第1步（'審'）理清了數(shù)量關(guān)系，列方程并不難 (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)'驗'就是檢驗，分兩部分：一是檢驗所得的未知數(shù)值是不是方程的解；二是檢驗是否符合實際情況(需格外留心隱含條件)，尤其一元二次方程一般有兩個根，檢驗是否都滿足 (6)“答”就是書寫答案，要詳實規(guī)范，并注意單位 三、一些常見問題的做題技巧 （1）數(shù)與數(shù)字的關(guān)系 兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10＋個位數(shù)字 三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100＋(十位數(shù)字)×10＋個位數(shù)字 （2）'翻一番' '翻一番'即表示為原量的2倍，'翻兩番'即表示為原量的4倍． （3）平均增長率問題 n次增長/下降，且增長率相等的問題的基本等量關(guān)系式為： （4）商品銷售問題 與一元二次方程相關(guān)的商品銷售問題，一般會直接或間接給出一個一次函數(shù)關(guān)系，我們往往會把這個當(dāng)作'突破口' 四、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵點 很多老師在講解列方程解決實際問題時，把找等量關(guān)系作為重點，但是通過Leo老師與孩子的深入接觸，發(fā)現(xiàn)如果把找等量關(guān)系作為重點，反而使其成為難點。Leo老師認(rèn)為應(yīng)該把列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵點在于理清數(shù)量關(guān)系上，因為只要把各數(shù)量之間的關(guān)系理清楚了，等量關(guān)系就'手到擒來'了，常采用的輔助工具有：輔助表格，線段圖，尤其輔助表格最為常用，而線段圖常用于解決行程和工程問題 五、常見類型 【類型一】商品銷售問題 基本工具：
突破口：找到并會利用題目中的一次函數(shù)關(guān)系 1、 某商店購進一種商品，進價30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價X(元)滿足關(guān)系：P=100-2X，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤，那么每件商品的售價應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？ 【分析】一次函數(shù)關(guān)系直接給出 題目中直接給出了一個一次函數(shù)式P=100-2X，于是我們可以設(shè)每件商品的售價為x元，則每天的銷售量為(100-2x)件，結(jié)合輔助表格分析數(shù)量關(guān)系： 請注意，這里有個隱含條件：銷售量P≥0，即100-2x≥0，又x≥0，得0≤x≤50，所以一定要檢驗所求得的根是否滿足上述條件 2、某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？ 【分析】一次函數(shù)關(guān)系間接給出 根據(jù)'若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克'可找到日銷售量P與漲價錢數(shù)X的函數(shù)關(guān)系，P=500-20X，于是我們設(shè)每千克應(yīng)漲x元，則日銷售量為(500-20x)千克，漲價后每千克盈利(10+x)元，根據(jù)'單件利潤×銷售量=總利潤'，可列方程：(10+x)(500-20x)=6000① 請注意這里的隱含條件：銷售量P≥0，即500-20x≥0，得x≤25 方程①解得：x=5或x=10 要使顧客得到實惠，所以x=5 【類型二】平均增長率問題 基本工具： 3、青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200公斤，2003年平均每公頃產(chǎn)8450公斤，水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為多少？ 【分析】 4、某種商品的標(biāo)價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同． (1)求該種商品每次降價的百分率； 【分析】 （2）設(shè)第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品(100?m)件 第一次降價后的單件利潤為： (400×(1?10%)?300=60(元/件)； 第二次降價后的單件利潤為： 324?300=24(元/件)， 依題意得：60m+24×(100?m)=36m+2400?3210， ∵m為正整數(shù) ∴m?23， 答：第一次降價后至少要售出該種商品2323件． 【類型三】面積問題 判斷清楚要設(shè)什么是關(guān)鍵 【分析】 【總結(jié)】 【方法1】為直接設(shè)元，【方法2】為間接設(shè)元，雖然間接設(shè)元不能直接得到所要求的量，但是由于有時這種設(shè)元列方程簡單或計算簡單，所以同學(xué)們應(yīng)多積累，多總結(jié)，并靈活掌握。 |
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