01、我知我無(wú)知

02、二分法悖論（dichotomy paradox）

03、飛矢不動(dòng)（arrow paradox）

04、忒修斯之船（Ship of Theseus paradox）

05、上帝無(wú)所不能？

06、托里拆利小號(hào)（Gabriel's Horn）

07、理發(fā)師悖論（Russell's Paradox的別稱）

08、第二十二條軍規(guī)（Catch-22）

09、有趣數(shù)悖論（Interesting Number Paradox）

10、飲酒悖論（drinking paradox）

11、球與花瓶（Balls and Vase Problem）

12、土豆悖論（potato paradox）

13、生日悖論（birthday paradox）

14、朋友悖論（friendship paradox）

15、祖父悖論（bootstrap paradox）

16、外星文明

【1】

我知我無(wú)知

蘇格拉底有句名言：“我只知道一件事，那就是我一無(wú)所知?！?/strong>

這個(gè)說(shuō)法本身就是悖論，展現(xiàn)了自我參照的表述（self-referential statement）的復(fù)雜性。而這也是西方哲學(xué)先賢帶給我們的重要啟示：你得問(wèn)你以為你知道的一切。越是問(wèn)東問(wèn)西問(wèn)長(zhǎng)問(wèn)短打破砂鍋問(wèn)到底，越會(huì)發(fā)現(xiàn)身邊正有一大波悖論呼嘯而過(guò)。

【2】

二分法悖論（dichotomy paradox）

概述：運(yùn)動(dòng)是不可能的。你要到達(dá)終點(diǎn)，必須先到達(dá)全程的1/2處；要到達(dá)1/2處，必須先到1/4處……每當(dāng)你想到達(dá)一個(gè)點(diǎn)，總有一個(gè)中點(diǎn)需要先到，因此你是永遠(yuǎn)也到不了終點(diǎn)的。

古希臘哲學(xué)家芝諾（Zeno）提出了一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)不可分性的哲學(xué)悖論，二分法悖論就是其中之一。直到19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們才為無(wú)限過(guò)程的問(wèn)題給出了形式化的描述，類似于0.999……等于1的情境。

那么究竟我們是如何到達(dá)目的地的呢？二分法悖論只是空谷傳音般放大了問(wèn)題。若想妥善解決這個(gè)問(wèn)題，還得靠物質(zhì)、時(shí)間和空間是否無(wú)限可分等等這些20世紀(jì)的衍生理論。

腦洞：無(wú)限二分16寸芝士乳酪蛋糕卻不能吃的快感，你值得擁有。

【3】

飛矢不動(dòng)（arrow paradox）

概述：一根箭是不可能移動(dòng)的。飛行過(guò)程中的任何瞬間，它都有一個(gè)暫時(shí)的位置，由此可知一枝動(dòng)的箭是所有不動(dòng)的集合。

芝諾又一著名悖論，他認(rèn)為時(shí)間的單位是瞬間。事實(shí)上，運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生在任何特定時(shí)刻，并不意味著運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的詭辯學(xué)代表人物惠施也曾說(shuō)：“飛鳥(niǎo)之影，未嘗動(dòng)也?！?/p>

“飛矢不動(dòng)”實(shí)際上暗示了量子力學(xué)的觀點(diǎn)。以狹義相對(duì)論為背景，物體在靜止與運(yùn)動(dòng)時(shí)是不同的。根據(jù)相對(duì)論，對(duì)于以不同速度移動(dòng)的物體，觀察者會(huì)產(chǎn)生不同感受，對(duì)周圍的世界也會(huì)持有不同看法。

腦洞：看到漂亮妞心動(dòng)3秒，上去要電話慘遭拒絕?？瓤?，飛矢不動(dòng)，我沒(méi)心動(dòng)。

【4】

忒修斯之船（Ship of Theseus paradox）

概述：如果忒修斯的船上的木頭被逐漸替換，直到所有的木頭都不是原來(lái)的木頭，這艘船還是原來(lái)的那艘船嗎？

基于同一性的古希臘著名悖論，引發(fā)了赫拉克利特、蘇格拉斯、柏拉圖等的各種討論。近代啟蒙運(yùn)動(dòng)中，英國(guó)的兩位大哲學(xué)家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes）、約翰·洛克（John Locke）也曾嘗試解答這個(gè)問(wèn)題。答案始終是是非非，難以一錘定音。

腦洞：人體細(xì)胞每七年更新一次，七年后，鏡子里是另一個(gè)你。

【5】

上帝無(wú)所不能？

概述：無(wú)所不能的上帝，能不能創(chuàng)造出他自己搬不動(dòng)的石頭？

關(guān)于上帝無(wú)所不能的邏輯悖論不勝枚舉。教徒們有無(wú)數(shù)理由證明上帝的神圣，而在他們看來(lái)，這些悖論的理由根本無(wú)關(guān)緊要。

腦洞：裝備此邏輯，與自稱為上帝的自戀狂魔們大戰(zhàn)幾百回合不掉血。

【6】

托里拆利小號(hào)（Gabriel's Horn）

概述：體積有限的物體，表面積卻可以無(wú)限。

17世紀(jì)的幾何悖論。意大利數(shù)學(xué)家托里拆利（Evangelista Torricelli）將y=1/x中x≥1的部分繞著x軸旋轉(zhuǎn)了一圈，得到了上面的小號(hào)狀圖形（注：上圖只顯示了一部分圖形）。然后他得出：這個(gè)小號(hào)的表面積無(wú)窮大，可體積卻是 π。

腦洞：原來(lái)也有平胸不一定能為國(guó)家省布料的時(shí)候。

【7】

理發(fā)師悖論（Russell's Paradox的別稱）

概述：小城的理發(fā)師放出豪言：“我只幫城里所有不自己刮臉的人刮臉?！蹦敲磫?wèn)題來(lái)了，理發(fā)師給自己刮臉么？如果他給自己刮臉，就違反了只幫不自己刮臉的人刮臉的承諾；如果他不給自己刮臉，就必須給自己刮臉，因?yàn)樗某兄Z說(shuō)他只幫不自己刮臉的人刮臉。兩種假設(shè)都說(shuō)不通。

赫赫有名的羅素悖論，由英國(guó)數(shù)學(xué)家勃蘭特·羅素教授于20世紀(jì)初提出。這條悖論證明了19世紀(jì)的集合論是有漏洞的，幾乎改變了數(shù)學(xué)界20世紀(jì)的研究方向。

腦洞：對(duì)于不刮胡子的女理發(fā)師不成立。

【8】

第二十二條軍規(guī)（Catch-22）

概述：瘋子才能獲準(zhǔn)免于飛行，但必須由本人提出申請(qǐng)；凡能意識(shí)到飛行有危險(xiǎn)而提出免飛申請(qǐng)的，屬頭腦清醒者，應(yīng)繼續(xù)執(zhí)行飛行任務(wù)。即“如果你能證明自己發(fā)瘋，那就說(shuō)明你沒(méi)瘋”，諸如此類。

《第二十二條軍規(guī)》由約瑟夫·海勒（Joseph Heller）根據(jù)自己在二戰(zhàn)中的親身經(jīng)歷創(chuàng)作。該書(shū)的主角為了逃避危險(xiǎn)的作戰(zhàn)任務(wù)而裝瘋，可逃避的愿望本身又證明了他的神志清醒。

Catch-22已成為英語(yǔ)詞典中的常用詞匯，用來(lái)形容自相矛盾的死循環(huán)，或是人們處于荒謬的兩難之中。

腦洞：“一等獎(jiǎng)：iPhone6 Plus”，但是“本商場(chǎng)擁有本次活動(dòng)的最終解釋權(quán)”。

【9】

有趣數(shù)悖論（Interesting Number Paradox）

概述：1是非零的自然數(shù)，2是最小的質(zhì)數(shù)，3是第一個(gè)奇質(zhì)數(shù),4是最小的合數(shù)等等；如果你找不到這個(gè)數(shù)字有趣的特征，那它就是第一個(gè)不有趣的數(shù)字，這也很有趣。

于是，量子計(jì)算領(lǐng)域的研究猿納撒尼爾·約翰斯（Nathaniel Johnston）把這些有趣的整數(shù)定義為一個(gè)整體，并將這些整體排成序列，像是質(zhì)數(shù)、斐波那契數(shù)列、畢達(dá)哥拉斯數(shù)等?；谶@個(gè)定義，約翰斯在2009年6月的博客里提出，第一個(gè)沒(méi)有出現(xiàn)在序列里的數(shù)字是11630。2013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的無(wú)趣數(shù)。

腦洞：n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿，撲通n聲跳下水……你想起數(shù)列是個(gè)什么鬼了嗎？

【10】

飲酒悖論（drinking paradox）

概述：酒吧里會(huì)發(fā)生這種情況：如果有人在喝酒，那么每個(gè)人都在喝酒。乍看起來(lái)是一個(gè)人喝酒導(dǎo)致了所有人喝酒。實(shí)際上，如果酒吧里至少有一個(gè)人沒(méi)在喝酒，那么按照數(shù)學(xué)中的實(shí)質(zhì)條件（material conditional），對(duì)那些沒(méi)喝酒的人來(lái)說(shuō)，有些人在喝酒，這些人中的每個(gè)人都在喝酒，情況依然成立。

實(shí)質(zhì)條件的示意圖如下：

“飲酒悖論”由于雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）的書(shū)而出名，這本書(shū)的名字就叫《這本書(shū)叫什么名字》（What Is the Name of this Book?）。

【11】

球與花瓶（Balls and Vase Problem）

概述：假設(shè)無(wú)限個(gè)球和一個(gè)花瓶，現(xiàn)在要進(jìn)行一系列操作，且每次操作都一樣：往花瓶里放10個(gè)球，然后取出1個(gè)球。那么，無(wú)窮多次這樣的操作之后，花瓶里有多少個(gè)球呢？

答案千奇百怪。最直接的是無(wú)限個(gè)，也有數(shù)學(xué)家認(rèn)為，每個(gè)球都會(huì)被取出來(lái)。邏輯學(xué)家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托馬斯·泰馬祖科（Thomas Tymoczko）提出花瓶里的球最終可以是任意數(shù)目，甚至有具體的構(gòu)造方法。

1976 年謝爾登·羅斯（Sheldon Ross）在他的《概率論第一課》（A First Course in Probability）介紹了這個(gè)問(wèn)題，所以它被稱為“羅斯·利特爾伍德悖論”（Ross-Littlewood Paradox）。

腦洞：小學(xué)奧林匹克暗袋摸球概率題終極版。

【12】

土豆悖論（potato paradox）

概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出了2%，還剩98%的水分，它將只重50克。即100克的土豆含有1克干物質(zhì)（dry material），當(dāng)還剩98%的水分時(shí)，1克將對(duì)應(yīng)2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。

腦洞：理科生們笑到內(nèi)傷。

【13】

生日悖論（birthday paradox）

概述：隨機(jī)挑選一組人，其中就會(huì)有兩人同一天生日。

用抽屜原理來(lái)計(jì)算，只要人群樣本達(dá)到367，存在兩人同天生日的可能性就能達(dá)到100%（一年雖然只有365天，但是有366個(gè)生日，包括2月29日）。然而，如果只是達(dá)到99%的概率，只需要57個(gè)人；達(dá)到50%只需要23個(gè)人。這種結(jié)論的前提是一年中每天生日的概率相等，可憐的2月29日除外。

腦洞：顫抖吧人類，該方法已應(yīng)用于常見(jiàn)的黑客密碼攻擊：生日攻擊。

【14】

朋友悖論（friendship paradox）

概述：你的基友總是比你擁有更多基友。

這都是數(shù)學(xué)惹的禍，詭異的統(tǒng)計(jì)學(xué)能證明你的好基友擁有更多朋友，身材更棒，學(xué)習(xí)更好，工資更高……而你就是個(gè)杯具。

腦洞：這類似于，問(wèn)：長(zhǎng)這么大你遇到過(guò)的最優(yōu)秀的人是？答：別人家的孩子

【15】

祖父悖論（bootstrap paradox）

概述：如果你乘坐哆啦A夢(mèng)的時(shí)光機(jī)，回到你爺爺奶奶相遇之前，殺死你的爺爺會(huì)發(fā)生什么？如果殺死了你的爺爺，那么你就從未誕生；如果你從未誕生，如何回到以前殺死你的爺爺？

祖父悖論看似杜絕了人為操縱命運(yùn)的可能，過(guò)去無(wú)法改變，爺爺一定會(huì)在孫子的謀殺中幸存下來(lái)；還有種可能是，你進(jìn)入了另一個(gè)平行宇宙，這是你從未生活過(guò)的世界，但你的爺爺奶奶卻也在這里。

這個(gè)關(guān)于時(shí)間旅行的悖論源自羅伯特·海因萊因的短篇小說(shuō)，近來(lái)又出現(xiàn)在諾蘭導(dǎo)演的《星際穿越》中。

腦洞：如果你重返二戰(zhàn)前，殺死希特勒，成功阻止了二戰(zhàn)的爆發(fā)。然而，如果沒(méi)有發(fā)生二戰(zhàn)，回去刺殺希特勒的理由是什么？時(shí)間旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在質(zhì)疑本身。

【16】

外星文明

概述：天文學(xué)的基本假設(shè)是，蒼茫宇宙間，地球是一顆在平常不過(guò)的星球。NASA（美國(guó)宇航局）的開(kāi)普勒衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)，銀河系內(nèi)很可能存在著110億個(gè)類似地球的星球。

我們的文明是有聲的，廣播電視和無(wú)線電信號(hào)都是人為的。如果確實(shí)存在與地球相像的文明，我們應(yīng)該有能力找到證據(jù)。

目前，因?yàn)殄e(cuò)綜復(fù)雜的原因，我們無(wú)法切實(shí)證明宇宙有其他文明。龐大的宇宙空間使溝通變得困難。盡管我們使用電磁波和外星聯(lián)系，但由于電磁頻譜極寬，我們無(wú)法確定外星人使用哪種頻譜。再加上那些星球的文明發(fā)展度可能過(guò)高、過(guò)低，抑或是生活著與人類不同的生命形式，又大大降低了準(zhǔn)確交流的可能。

腦洞：我們堅(jiān)信來(lái)自星星的都教授的存在！