名師系列 | 淺析數學競賽中的抽象函數方程問題

昵稱47813312 2019-08-13

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作者簡介：

任小平，任教于四川省西充中學，中學高級教師，特級教師，四川省骨干教師、優(yōu)秀班主任，南充市模范班主任，多次榮獲高考數學科一等獎。

一、前言

對于抽象函數及其函數方程問題的解答，其關鍵在于捕捉題目的信息特征，發(fā)現解決問題的突破口，尋求合理、簡潔的解題方法，達到化繁為簡、化難為易的目的。

二、例題分析

抽象函數及其函數方程問題越來越多地受到命題者的青睞，不僅要求對函數的本質有著深刻的理解，而且解題方法靈活多變，求解技巧性強，同時涉及的范圍較廣，對學生掌握所學知識之間的內在聯系要求較高。對學生的數學素養(yǎng)提出了較高要求，因此是數學競賽的熱點和難點。本文歸納了一些求解抽象函數的方法和技巧，以達到拋磚引玉的目的。

題型一:

巧取特殊值，求解函數解析式

對于多個變量的抽象函數方程，可將其中的某個變量視為主元，進行恰當的賦值，形成“關系鏈”，從而簡化運算，達到特殊引路，探求一般規(guī)律的目的和效果。

例1:2011印度奧林匹克

數學第六感

評注：巧取特殊值，簡化運算，形成“關系鏈”，起到了“特殊探路把門敲，化繁為簡層次高”的效果，從而優(yōu)化解題技巧。

題型二:

巧構結構式，求解函數解析式

對于一些多變量的抽象函數方程，當變量的取值范圍對等時，往往可以通過變換變量的位置，將隱含的結構關系式外顯化，然后通過外顯的結構特征和性質，使問題得以轉化，達到解決問題的目的。

例2:2004年高中聯合競賽

數學第六感

評注：在解一些抽象函數方程、方程組時，通過變換、轉化，將內在的信息特征外顯化，發(fā)現可用于構造的因素，引入新的形式，借助新形式的性質，使復雜的運算和推證變得容易處理，使問題變得清晰可解。

題型三:巧用換元法，求解函數解析式

對于一些結構復雜的函數方程，利用變量代換的方法，將抽象的函數方程式轉化為新變量形式，以整體形式代入，轉化為各字母的方程組形式，從而解出具體的函數解析式。

例3:第12屆韓國奧林匹克

數學第六感

評注：通過代換，形成新的關系，將產生新的表達式看成整體，得到一個或幾個新的函數方程，再將它們與原方程組聯立，轉化為方程組問題，降低問題的難度和維度，轉化問題，使問題獲解。

題型四:

利用不動點，求解函數解

析式

在數學中，不動點定理是指函數f（x）在某種特定情況下，至少有一個不動點存在，即至少有一個點x，能使f（x）=x。通過研究函數不動點的性質，使問題獲解，達到解題的目的。

例4:2007年高聯河南預賽

數學第六感

例5:第35屆IMO

數學第六感

評注：通過將討論的變量限定在一定的范圍內，獲得熟悉的函數結構，再通過探求不動點，研究不動點的性質，利用不動點的性質將使問題得以巧妙解決。

題型五:利用函數奇偶性，求解函數解析式

對于一些復雜的函數方程，此類函數方程中往往包含著奇函數或者偶函數。而利用奇偶函數的特性，適當地選取值帶入方程，將問題轉換為方程組問題。

例6:2006年高中聯賽

數學第六感

評注：利用函數的奇偶性，適當地選取特殊值，代入方程，達到將復雜方程簡化的目的。

題型六:利用待定系數，求解函數解析式

對于一些所求函數是多項式的情況，往往通過待定系數的方法，求解方程組，求出多項式的系數，從而求出解析式。

例7:1990年CMO

數學第六感

評注：此方法適用于所求函數式是多項式的情況。首先根據題意確定多項式的次數，再設出多項式的一般表示形式，再利用恒等式的形式，結合待定系數法，列出方程組，求解方程組，求出待定系數的值，從而求出函數的解析式。

題型七:利用遞歸，求解函數解析式

遞歸法是數列中常見的一種方法，而數列和函數之間又存在著緊密聯系，因此將遞歸法遷移到函數中來，也是求函數解析式的一個重要的方法。

例8：2005年上海高中聯賽

數學第六感

評注：此方法是一種借助數列來研究函數方程的方法．利用數列中常用的遞歸方法對函數進行遞歸，若已知初始值和遞推關系，則可用遞歸解決函數解析式問題。

題型八:利用柯西法，求解函數解析式

此類方法是柯西最早研究的，因此叫作柯西法，此類方程就叫作柯西函數方程。這種解法的每一步都是后面推理的基礎，因此又被形象地叫作爬坡式推理法。

例9：2013年高中聯賽

數學第六感

評注：相比于其他方法，此類方法的技巧性較強，而這種爬坡式的方法在其他地方運用得也相當廣泛。有許多的其他方程，都可以適當地轉換為柯西函數方程，從而獲得解答。

三、結束語

數學競賽試題因其內容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的數學思想、方法。而恰當的思想、方法較大程度上來源于對試題信息以及所涉及知識的內在聯系的準確把握上，因此，在數學競賽培訓過程中，加強學生對試題結構的分析及問題本質的把握訓練，有利于進一步揭示數學的本質。開發(fā)學生的智力，拓寬學生數學視野．加強學生對不同題型進行自主探究、分析提煉、合作交流、抽象概括的訓練，有利于激發(fā)學生探索與創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學生頑強的意志品質和嚴謹的數學思維。

來源：微信公眾號：數學第六感