【導語】學習邏輯回歸模型，今天的內(nèi)容輕松帶你從0到100！阿里巴巴達摩院算法專家、阿里巴巴技術(shù)發(fā)展專家、阿里巴巴數(shù)據(jù)架構(gòu)師聯(lián)合撰寫，從技術(shù)原理、算法和工程實踐3個維度系統(tǒng)展開，既適合零基礎(chǔ)讀者快速入門，又適合有基礎(chǔ)讀者理解其核心技術(shù)；寫作方式上避開了艱澀的數(shù)學公式及其推導，深入淺出。

0、前言

簡單理解邏輯回歸，就是在線性回歸基礎(chǔ)上加一個 Sigmoid 函數(shù)對線性回歸的結(jié)果進行壓縮，令其最終預測值 y 在一個范圍內(nèi)。這里 Sigmoid 函數(shù)的作用就是將一個連續(xù)的數(shù)值壓縮到一定范圍內(nèi)，它將最終預測值 y 的范圍壓縮到在 0 到 1 之間。雖然邏輯回歸也有回歸這個詞，但由于這里的自變量和因變量呈現(xiàn)的是非線性關(guān)系，因此嚴格意義上講邏輯回歸模型屬于非線性模型。邏輯回歸模型通常用來處理二分類問題，如圖 4-4 所示。在邏輯回歸中，計算出的預測值是一個 0 到 1 的概率值，通常的，我們以 0.5 為分界線，如果預測的概率值大于 0.5 則會將最終結(jié)果歸為 1 這個類別，如果預測的概率值小于等于 0.5 則會將最終結(jié)果歸為 0 這個類別。而 1 和 0 在實際項目中可能代表了很多含義，比如 1 代表惡性腫瘤，0 代表良性腫瘤，1 代表銀行可以給小王貸款，0 代表銀行不能給小王貸款等等。

圖4-4 邏輯回歸分類示意圖

雖然邏輯回歸很簡單，但它被廣泛應用在實際生產(chǎn)之中，而且通過改造邏輯回歸也可以處理多分類問題。邏輯回歸不僅本身非常受歡迎，它同樣也是我們將在第 5 章介紹的神經(jīng)網(wǎng)絡的基礎(chǔ)。普通神經(jīng)網(wǎng)絡中，常常使用 Sigmoid 對神經(jīng)元進行激活。關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡的神經(jīng)元，第 5 章會有詳細的介紹（第 5 章會再次提到 Sigmoid 函數(shù)），這里只是先提一下邏輯回歸和神經(jīng)網(wǎng)絡的關(guān)系，讀者有個印象。

1、Sigmoid 函數(shù)

Sigmoid 的函數(shù)表達式如下：

該公式中，e 約等于 2.718，z 則是線性回歸的方程式，p 為計算出來的概率，范圍在 0 到 1 之間。接下來我們將這個函數(shù)繪制出來，看看它的形狀。使用 Python 的 Numpy 以及 Matplotlib 庫進行編寫，代碼如下：

效果如圖 4-5 所示： 

圖4-5 Sigmoid函數(shù)

我們對上圖做一個解釋，當 x 為 0 的時候，Sigmoid 函數(shù)值為 0.5，隨著 x 的不斷增大，對應的 Sigmoid 值將無線逼近于 1；而隨著 x 的不斷的減小，Sigmoid 值將不斷逼近于 0 。所以它的值域是在 (0,1) 之間。由于 Sigmoid 函數(shù)將實數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)值壓縮到（0,1）之間，因此也被稱為壓縮函數(shù)。但這里多提一下，壓縮函數(shù)其實可以有很多，比如 tanh 可以將實數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)值壓縮到（-1,1）之間，因此 tanh 有時也會被成為壓縮函數(shù)。

2、 梯度下降法

在學習 4.1.1 小節(jié)的時候，我們在介紹一元線性回歸模型的數(shù)學表達之后又介紹了一元線性回歸模型的訓練過程。類似的，在 4.2.1 小節(jié)學習完邏輯回歸模型的數(shù)學表達之后我們來學習邏輯回歸模型的訓練方法。首先與 4.1.1 小節(jié)類似，我們首先需要確定邏輯回歸模型的評價方式，也就是模型的優(yōu)化目標。有了這個目標，我們才能更好地“教”模型學習出我們想要的東西。這里的目標也和 4.1.1 一樣，定義為

接下來是選擇優(yōu)化這個目標的方法，也就是本小節(jié)中重點要介紹的梯度下降法。

首先帶大家簡單認識一下梯度下降法。梯度下降算法（Gradient Descent Optimization）是常用的最優(yōu)化方法之一?！白顑?yōu)化方法”屬于運籌學方法，它指在某些約束條件下，為某些變量選取哪些的值，使得設(shè)定的目標函數(shù)達到最優(yōu)的問題。最優(yōu)化方法有很多，常見的有梯度下降法、牛頓法、共軛梯度法等等。由于本書重點在于帶大家快速掌握“圖像識別”技能，因此暫時不對最優(yōu)化方法進行展開，感興趣的讀者可以自行查閱相關(guān)資料進行學習。由于梯度下降是一種比較常見的最優(yōu)化方法，而且在后續(xù)第 5 章、第 7 章的神經(jīng)網(wǎng)絡中我們也將用到梯度下降來進行優(yōu)化，因此我們將在本章詳細介紹該方法。

接下來我們以圖形化的方式帶領(lǐng)讀者學習梯度下降法。

我們在 Pycharm 新建一個 python 文件，然后鍵入以下代碼：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltif __name__ == '__main__':    plot_x = np.linspace(-1, 6, 141) #從-1到6選取141個點    plot_y = (plot_x - 2.5) ** 2 – 1 #二次方程的損失函數(shù)    plt.scatter(plot_x[5], plot_y[5], color='r') #設(shè)置起始點，顏色為紅色    plt.plot(plot_x, plot_y)    # 設(shè)置坐標軸名稱    plt.xlabel('theta', fontproperties='simHei', fontsize=15)    plt.ylabel('損失函數(shù)', fontproperties='simHei', fontsize=15)    plt.show()

通過上述代碼，我們就能畫出如圖 4-6 所示的損失函數(shù)示意圖，其中 x 軸代表的是我們待學習的參數(shù) （theta），y 軸代表的是損失函數(shù)的值（即 loss 值），曲線 y 代表的是損失函數(shù)。我們的目標是希望通過大量的數(shù)據(jù)去訓練和調(diào)整參數(shù)，使損失函數(shù)的值最小。想要達到二次方程的最小值點，可以通過求導數(shù)的方式，使得導數(shù)為 0 即可。也就是說，橫軸上 2.5 的位置對應損失最小，在該點上一元二次方程 切線的斜率則為 0。暫且將導數(shù)描述為 ，其中 J 為損失函數(shù)，為待求解的參數(shù)。

梯度下降中有個比較重要的參數(shù)：學習率 （讀作eta，有時也稱其為步長），它控制著模型尋找最優(yōu)解的速度。加入學習率后的數(shù)學表達為  。

圖4-6 損失函數(shù)示意圖

接下來我們畫圖模擬梯度下降的過程。

1. 首先定義損失函數(shù)及其導數(shù)

2. 通過 Matplotlib 繪制梯度下降迭代過程，具體代碼如下：

theta = 0.0 #初始點theta_history = [theta]eta = 0.1 #步長epsilon = 1e-8 #精度問題或者eta的設(shè)置無法使得導數(shù)為0while True:    gradient = dJ(theta) #求導數(shù)    last_theta = theta #先記錄下上一個theta的值    theta = theta - eta * gradient #得到一個新的theta    theta_history.append(theta)    if(abs(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon):       break #當兩個theta值非常接近的時候，終止循環(huán)plt.plot(plot_x,J(plot_x),color='r')plt.plot(np.array(theta_history),J(np.array(theta_history)),color='b',marker='x')plt.show()      #一開始的時候?qū)?shù)比較大，因為斜率比較陡，后面慢慢平緩了print(len(theta_history)) #一共走了46步

我們來看下所繪制的圖像是什么樣子的，可以觀察到  從初始值 0.0 開始不斷的向下前進，一開始的幅度比較大，之后慢慢趨于緩和，逐漸接近導數(shù)為 0，一共走了 46 步。如圖 4-7 所示：

圖4-7 一元二次損失函數(shù)梯度下降過程示意圖

3、學習率的分析

上一小節(jié)我們主要介紹了什么是梯度下降法，本小節(jié)主要介紹學習率對于梯度下降法的影響。

第一個例子，我們將  設(shè)置為 0.01（之前是 0.1 ），我們會觀察到，步長減少之后，藍色的標記更密集，說明步長減少之后，從起始點到導數(shù)為 0 的步數(shù)增加了。步數(shù)變?yōu)榱?424 步，這樣整個學習的速度就變慢了。效果如圖 4-8 所示：

圖4-8 學習率時，一元二次損失函數(shù)梯度下降過程示意圖

第二個例子，我們將  設(shè)置為 0.8，我們會觀察到，代表藍色的步長在損失函數(shù)之間跳躍了，但在跳躍過程中，損失函數(shù)的值依然在不斷的變小。步數(shù)是 22 步，因此當學習率為 0.8 時，優(yōu)化過程時間縮短，但是最終也找到了最優(yōu)解。效果如圖 4-9 所示：

圖4-9 學習率  時，一元二次損失函數(shù)梯度下降過程示意圖

第三個例子，我們將設(shè)置為1.1，看一下效果。這里注意，學習率本身是一個 0 到 1 的概率，因此 1.1 是一個錯誤的值，但為了展示梯度過大會出現(xiàn)的情況，我們暫且用這個值來畫圖示意。我們會發(fā)現(xiàn)程序會報這個錯誤 OverflowError: ( 34, 'Result too large' )。我們可以想象得到，這個步長跳躍的方向?qū)е铝藫p失函數(shù)的值越來越大，所以才報了“Result too large”效果，我們需要修改下求損失函數(shù)的程序：

i_iter= 0    n_iters = 10    while i_iter < n_iters:        gradient = dJ(theta)        last_theta = theta        theta = theta - eta * gradient        i_iter  = 1        theta_history.append(theta)        if (abs(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon):            break # 當兩個theta值非常接近的時候，終止循環(huán)

另外我們需要增加一下循環(huán)的次數(shù)。

我們可以很明顯的看到，我們損失函數(shù)在最下面，學習到的損失函數(shù)的值在不斷的增大，也就是說模型不會找到最優(yōu)解。如圖 4-10 所示：

圖4-10  學習率時，一元二次損失函數(shù)不收斂

通過本小節(jié)的幾個例子，簡單講解了梯度下降法，以及步長  的作用。從三個實驗我們可以看出，學習率是一個需要認真調(diào)整的參數(shù)，過小會導致收斂過慢，而過大可能導致模型不收斂。

4、邏輯回歸的損失函數(shù)

邏輯回歸中的 Sigmoid 函數(shù)用來使值域在（0，1）之間，結(jié)合之前所講的線性回歸，我們所得到的完整的公式其實是：,其中的   就是之前所介紹的多元線性回歸。

現(xiàn)在的問題就比較簡單明了了，對于給定的樣本數(shù)據(jù)集 X，y，我們?nèi)绾握业絽?shù) theta ，來獲得樣本數(shù)據(jù)集 X 所對應分類輸出 y（通過p的概率值）

需要求解上述這個問題，我們就需要先了解下邏輯回歸中的損失函數(shù)，假設(shè)我們的預測值為：

損失函數(shù)假設(shè)為下面兩種情況，y 表示真值；表示為預測值：

結(jié)合上述兩個假設(shè)，我們來分析下，當 y 真值為 1 的時候，p 的概率值越?。ㄔ浇咏?），說明y的預測值偏向于0，損失函數(shù) cost 就應該越大；當 y 真值為 0 的時候，如果這個時候 p 的概率值越大則同理得到損失函數(shù) cost 也應該越大。在數(shù)學上我們想使用一個函數(shù)來表示這種現(xiàn)象，可以使用如下這個：

我們對上面這個函數(shù)做一定的解釋，為了更直觀的觀察上述兩個函數(shù)，我們通過 Python 中的 Numpy 以及 Matplotlib 庫進行繪制。

我們先繪制下 ，代碼如下：

 如下圖4-9所示：

圖4-9 損失函數(shù)if y=1

當p=0的時候，損失函數(shù)的值趨近于正無窮，根據(jù) 說明y的預測值  偏向于0，但實際上我們的 y 真值為 1 。當 p 達到 1 的時候，y 的真值和預測值相同，我們能夠從圖中觀察到損失函數(shù)的值趨近于 0 代表沒有任何損失。

我們再來繪制一下，代碼如下：

import numpy as npimort matplotlib.pyplot as plt def logp2(x):    y = -np.log(1-x)    return y
plot_x = np.linspace(0, 0.99, 50) #取0.99避免除數(shù)為0plot_y = logp2(plot_x)plt.plot(plot_x, plot_y)plt.show()

 效果如圖4-10所示：

圖4-10 損失函數(shù) if y=0

當p=1的時候，損失函數(shù)的值趨近于正無窮，根據(jù) 說明y的預測值  偏向于 1，但實際上我們的 y 真值為 0 。當 p 達到 0 的時候，y 的真值和預測值相同，我們能夠從圖中觀察到損失函數(shù)的值趨近于 0 代表沒有任何損失。

我們再對這兩個函數(shù)稍微整理下，使之合成一個損失函數(shù)：

對這個函數(shù)稍微解釋下，當 y=1 的時候，后面的式子就變?yōu)榱?0 ，所以整個公式成為了；當 y=0 的時候前面的式子變?yōu)榱?0，整個公式就變?yōu)榱?/span>。

最后就變?yōu)榱?，對m個樣本，求一組值使得損失函數(shù)最小。

公式如下：

(其中 = sigmoi；其中  代表了；恒等于1；為列向量)。

當公式變?yōu)樯鲜龅臅r候，對于我們來說，只需要求解一組使得損失函數(shù)最小就可以了，那么對于如此復雜的損失函數(shù)，我們一般使用的是梯度下降法進行求解。

5、Python實現(xiàn)邏輯回歸

結(jié)合之前講的理論，本小節(jié)開始動手實現(xiàn)一個邏輯回歸算法。首先我們定義一個類，名字為 LogisticRegressionSelf ，其中初始化一些變量：維度、截距、theta 值，代碼如下：

接著我們實現(xiàn)下在損失函數(shù)中的  這個函數(shù)，我們之前在

Sigmoid 函數(shù)那個小節(jié)已經(jīng)實現(xiàn)過了，對于這個函數(shù)我們輸入的值為多元線性回歸中的（其中恒等于1），為了增加執(zhí)行效率，我們建議使用向量化來處理，而盡量避免使用 for 循環(huán)，所以對于我們使用來代替，具體代碼如下： 

    def _sigmoid(x):        y = 1.0 / (1.0   np.exp(-x))        return y

接著我們來實現(xiàn)損失函數(shù)，

代碼如下：

然后我們需要實現(xiàn)下?lián)p失函數(shù)的導數(shù)。具體求導過程讀者可以自行百度，我們這邊直接給出結(jié)論，對于損失函數(shù)cost，得到的導數(shù)值為：  ,其中，之前提過考慮計算性能盡量避免使用 for 循環(huán)實現(xiàn)累加，所以我們使用向量化計算。

完整代碼如下：

import numpy as np

class LogisticRegressionSelf:
    def __init__(self):        '''初始化Logistic regression模型'''        self.coef_ = None #維度        self.intercept_ = None #截距        self._theta = None
    #sigmoid函數(shù)，私有化函數(shù)    def _sigmoid(self,x):        y = 1.0 / (1.0   np.exp(-x))        return y
    def fit(self,X_train,y_train,eta=0.01,n_iters=1e4):        assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], '訓練數(shù)據(jù)集的長度需要和標簽長度保持一致'
        #計算損失函數(shù)        def J(theta,X_b,y):            p_predcit = self._sigmoid(X_b.dot(theta))            try:                return -np.sum(y*np.log(p_predcit)   (1-y)*np.log(1-p_predcit)) / len(y)            except:                return float('inf')
        #求sigmoid梯度的導數(shù)        def dJ(theta,X_b,y):            x = self._sigmoid(X_b.dot(theta))            return X_b.T.dot(x-y)/len(X_b)
        #模擬梯度下降        def gradient_descent(X_b,y,initial_theta,eta,n_iters=1e4,epsilon=1e-8):            theta = initial_theta            i_iter = 0            while i_iter < n_iters:                gradient = dJ(theta,X_b,y)                last_theta = theta                theta = theta - eta * gradient                i_iter  = 1                if (abs(J(theta,X_b,y) - J(last_theta,X_b,y)) < epsilon):                    break            return theta
        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train),1)),X_train])        initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1]) #列向量        self._theta = gradient_descent(X_b,y_train,initial_theta,eta,n_iters)        self.intercept_ = self._theta[0] #截距        self.coef_ = self._theta[1:] #維度        return self
    def predict_proba(self,X_predict):        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])        return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))
    def predict(self,X_predict):        proba = self.predict_proba(X_predict)        return np.array(proba > 0.5,dtype='int')

小結(jié) 

以上內(nèi)容主要講述了線性回歸模型和邏輯回歸模型，并做了相應的實現(xiàn)。其中線性回歸是邏輯回歸的基礎(chǔ)，而邏輯回歸經(jīng)常被當做神經(jīng)網(wǎng)絡的神經(jīng)元，因此邏輯回歸又是神經(jīng)網(wǎng)絡的基礎(chǔ)。我們借邏輯回歸模型介紹了機器學習中離不開的最優(yōu)化方法，以及最常見的最優(yōu)化方法——梯度下降。了解本節(jié)內(nèi)容會對接下來第 5 章神經(jīng)網(wǎng)絡的學習有著很大的幫助。