【考試要求】

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；

4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.

【知識梳理】

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

【考點聚焦】

考點一　平面向量數(shù)量積的運算

【規(guī)律方法】　1.數(shù)量積公式a·b＝|a||b|cos θ在解題中的運用，解題過程具有一定的技巧性，需要借助向量加、減法的運算及其幾何意義進(jìn)行適當(dāng)變形；也可建立平面直角坐標(biāo)系，借助數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，較為簡捷、明了.

2.在分析兩向量的夾角時，必須使兩個向量的起點重合，如果起點不重合，可通過“平移”實現(xiàn).

考點二　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

角度1　平面向量的垂直

【規(guī)律方法】

1.當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運算.

2.數(shù)量積的運算a·b＝0?a⊥b中，是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.

角度2　平面向量的模

【規(guī)律方法】

1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(2)幾何法，利用向量的幾何意義.

2.求向量模的最值(范圍)的方法：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解.

角度3　平面向量的夾角

【規(guī)律方法】

1.研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點”；兩個非零共線向量的夾角可能是0或π；注意向量夾角的取值范圍是[0，π]；若題目給出向量的坐標(biāo)表示，可直接套用公式cos θ＝求解.

2.數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.

考點三　平面向量與三角函數(shù)

【規(guī)律方法】　平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路：

(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.

(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.

【反思與感悟】

1.計算向量數(shù)量積的三種方法

定義、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.

2.求向量模的常用方法

利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算.

3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.

【易錯防范】

數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量.數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，(a·b)·c不一定等于a·(b·c).

【核心素養(yǎng)提升】

【數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建?！俊矫嫦蛄颗c三角形的“四心”

1.數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)平面向量與三角形的“四心”，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.

2.數(shù)學(xué)建模要求在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，理解數(shù)學(xué)建模的意義.本系列通過學(xué)習(xí)平面向量與三角形的“四心”模型，能夠培養(yǎng)學(xué)生用模型的思想解決相關(guān)問題.

類型1　平面向量與三角形的“重心”

類型3　平面向量與三角形的“垂心”問題

類型4　平面向量與三角形的“外心”問題