圖 1: 某些多項式可以分割成更小的單元。Hannah Li https://www./為量子雜志所作

素數(shù)萬眾矚目，它們是無數(shù)流行故事中的明星，更活躍在最著名的數(shù)學(xué)猜想里。然而，另一個同樣基本的數(shù)學(xué)現(xiàn)象卻并未受到太多的關(guān)注：這就是素多項式。

素多項式是指不能被任何其它多項式整除的多項式。像素數(shù)一樣，它們在廣闊的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中處于核心地位。對于許多特殊問題，如果你能掌握一些有關(guān)素多項式的知識，你會發(fā)現(xiàn)你已經(jīng)回答了你想解決的問題。

以色列特拉維夫大學(xué)的 Lior Bary-Soroker¹說：“當我們遇到問題時，我們可以將它約化到考慮素數(shù)的一些情況，多項式完全類似！”

正如素數(shù)一樣，關(guān)于素多項式的最基本問題是：它們出現(xiàn)的頻率是多少？在過去的一年里，數(shù)學(xué)家在這個問題上取得了重大的進展。在（2018 年）10 月底發(fā)表的一篇論文²中，劍橋大學(xué)的 Emmanuel Breuillard³和 PéterVarjú⁴證明了某種類型的幾乎所有多項式都是素的。

這意味著，與稀疏⁵的素數(shù)相比，素多項式更豐富。這篇新論文解決了一個已有 25 年歷史的猜想，它的解決具有深遠的影響，從在線加密到隨機數(shù)學(xué)，到處可見。

數(shù)學(xué)中的許多問題可以歸結(jié)為關(guān)于多項式的問題。比如  和  這類多項式，它們由帶有系數(shù)的變量的方冪組成。

這些多項式在許多方面表現(xiàn)得與普通數(shù)字一樣：你可以對它們進行加、減、乘、除四則運算。和數(shù)字一樣，很自然會問哪些多項式可以表示為兩個較小多項式的乘積？例如：多項式  等于 。

當一個多項式不能分解成兩個較小多項式的乘積時，數(shù)學(xué)家稱它是不可約的。數(shù)學(xué)家想知道不可約多項式出現(xiàn)的頻率。

試圖在所有可能的（任意元、任意次、任意系數(shù)）多項式中對不可約多項式出現(xiàn)的頻率做出描述極其困難。因此，數(shù)學(xué)家通過限制冪次數(shù)（例如，考慮任意元都不高于五次的多項式）或?qū)⑾禂?shù)限制在較小范圍內(nèi)來攻克問題的較弱版本。2017 年 10 月，Bary-Soroker 和以色列魏茲曼科學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家 Gady Kozma⁶共同證明⁷：系數(shù)限定在一定范圍內(nèi)的幾乎所有多項式都是不可約的。

Breuillard 和 Varjú 解決了一個稍微有點不同的問題。他們考慮任意長度的任意系數(shù)的任意次多項式（唯一的限制是系數(shù)的范圍是有限的）。

Breuillard 和 Varjú 的方法讓他們能夠解決更簡單的問題。1993 年，如今的明尼蘇達大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Andrew Odlyzko⁸和如今的麻省理工學(xué)院的 Bjorn Poonen⁹猜測：當你考慮越來越復(fù)雜的系數(shù)為 0 或 1 的多項式時，可約多項式在“素”多項式的海洋中變得極為罕見。Odlyzko-Poonen 猜想將多項式的系數(shù)限制為兩個，這是解決這個重大問題的一個值得努力的方向。

Bary-Soroker 稱：“如果你想研究一些東西并且你無法證明很多結(jié)論時，那么最好從簡單的情況著手。”

他們的猜想也是從基礎(chǔ)算術(shù)中得到啟發(fā)。素數(shù)在前 10 個數(shù)字中很常見，隨著數(shù)的增多，素數(shù)變得越來越少。要想成為素數(shù)，這個數(shù)字需要避免被任何小于它自身的正整數(shù)（除去數(shù)字 1）整除。隨著數(shù)字越來越大，可以整除它的因數(shù)越來越多，大數(shù)字比小數(shù)字更難通過素性檢驗。

而對于多項式，會出現(xiàn)不同的動態(tài)。為了使多項式可約，其系數(shù)必須彼此保持正確的關(guān)系。多項式  可以分解為 ，因為這兩個數(shù)字 2 和 3 加起來恰好得到第二個系數(shù) 5，乘起來恰好得到第三個系數(shù) 6。含有更多項的多項式的系數(shù)之間必須滿足更復(fù)雜的限制關(guān)系。隨著系數(shù)個數(shù)的增多，找到滿足所有系數(shù)的因式變得不太可能。

Odlyzko 稱：“對于可約多項式，你必須碰到巧合，系數(shù)之間存有一些特殊的關(guān)系。而對高次多項式來講，需要滿足更多的關(guān)系?！?/p>

Breuillard 和 Varjú  最初并沒有打算研究多項式的不可約性，而是對隨機游走的數(shù)學(xué)感興趣。在隨機游走中，想象自己站在表盤上，數(shù)字 1 到 11 均勻標出。你從標 1 的位置上開始，拋擲一枚硬幣：出現(xiàn)反面，你將所在位置的數(shù)字和你提前選好的另一個數(shù)字乘起來，然后前進到表盤上數(shù)字對應(yīng)的位置。（在這樣的表或“模”算術(shù)系統(tǒng)中，如果結(jié)果大于11，你只需要沿著表盤順時針繼續(xù)向前，直到你前進該走的空格數(shù)。）如果拋擲硬幣出現(xiàn)正面，你將所在位置的數(shù)字和你提前選好的另一個數(shù)字乘起來之后再加一，然后再前進到相應(yīng)的位置。

圖 2: Lucy Reading-Ikkanda 量子雜志

給定這些條件，Breuillard 和 Varjú 想要了解兩件事：你需要多長時間才能到達圓周上的每一點？你需要多長時間才能讓到達每個點的次數(shù)大致相同？

這些問題被數(shù)學(xué)家稱為“混合問題”，并且它們與多項式的不可約性有關(guān)。Breuillard 和 Varjú 認識到隨機游走的路徑可以用系數(shù)為 0 或 1 的多項式來描述。隨機游走的“混合時間”與大多數(shù)描述隨機游走的多項式是否不可約密切相關(guān)。

Varjú 說：“我們發(fā)現(xiàn)，如果知道哪些多項式是不可約的，那么我們就可以對想要搞清楚的問題提出一些見解”。

為了檢測不可約性，Breuillard 和 Varjú 采用了一個在 20 世紀 80 年代發(fā)展的技巧，這個技巧將不可約性與數(shù)論聯(lián)系起來。他們想知道給定的多項式在給定的模算術(shù)系統(tǒng)中有多少解。以前的工作表明多項式的解的個數(shù)反映了因式的個數(shù)。因此，如果多項式在模算術(shù)系統(tǒng)中平均有三個解，那么它有三個因式。如果只有一個解，那么它就只有一個因式。如果多項式只有一個因式，就意味著它是不可約的。

將這種方法應(yīng)用于基于素數(shù)的模算術(shù)系統(tǒng)，Breuillard 和 Varjú 證明了當你考慮越來越大（系數(shù)為 0 或 1）的多項式時，不可約多項式的占比越來越接近 100％。

他們的證明有一處需要警覺的地方。該證明基于另一個猜想成立：黎曼假設(shè)¹⁰。這是數(shù)學(xué)中最重要的也是最令人怯步的未解之謎。但是，黎曼假設(shè)被廣泛接受，這支撐著 Breuillard 和 Varjú 的工作。

他們的結(jié)果具有廣泛的影響。在實踐層面上，對在線加密來說并不會產(chǎn)生意外消息，因為可約多項式可能會破壞常用的數(shù)字加密方案。也許更重要的是，它是朝著理解這些多項式的本質(zhì)邁出的一大步，這些多項式在生活和數(shù)學(xué)中比比皆是，但很難從總體上來描述。

Odlyzko 說：“以前對這些不可約多項式所占的比例的估計要弱得多，現(xiàn)在這些人說幾乎所有的多項式都是不可約的！”

譯者注