1.三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)。

2.有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)。

3.有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)。

4.有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)。

①全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

②全等三角形的周長、面積相等。

③全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。

④全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。

⑤全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。

(1)可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

(2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；

(3)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；

(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。

三角形全等的證明中包含兩個要素：邊和角。

缺個角的條件：

1.關(guān)于角平分線的輔助線

當題目的條件中出現(xiàn)角平分線時，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。

角平分線具有兩條性質(zhì)：

①角平分線具有對稱性；

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：

(1)截取構(gòu)全等

如下左圖所示，OC是∠AOB的角平分線，D為OC上一點，F(xiàn)為OB上一點，若在OA上取一點E，使得OE=OF，并連接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

例：如上右圖所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一點F使得BF=BA，連結(jié)EF。

(2)角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等

利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如下左圖所示，過∠AOB的平分線OC上一點D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。

則有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180 

(3)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個等腰三角形（△OEF），垂足為底邊上的中點D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。

如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”。

例：如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點。

求證：DH=（AB-AC）

提示：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。

(4)作平行線構(gòu)造等腰三角形

作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況：

①如下左圖所示，過角平分線OC上的一點E作角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。

②如下右圖所示，通過角一邊OB上的點D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點H，從而構(gòu)造等腰三角形ODH。

2.由線段和差想到的輔助線

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：

①截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

②補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

截長補短法作輔助線。

在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求證：AB＝AC＋CD。

因為AD是∠BAC的角平分線

所以∠BAD=∠CAD

在AB上作AE=AC

又AD=AD

由SAS得：△EAD≌△CAD

所以∠EDA=∠CDA,ED=CD

又因為∠CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B

所以∠BDE=∠BDA-∠EDA

=(∠C+∠CAD)-∠CDA

=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）

=∠B

所以△BED為等腰三角形

所以EB=ED=CD

所以AB=AE+EB=AC+CD

對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。

在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。

例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；       （2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；       （3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

 ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法2）如圖1-2， 延長BD交 AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：      

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形兩邊之和大于第三邊） （1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）   （2）

DG＋GE＞DE（同上）     （3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。

分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置。

證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，

∴∠BDC＞∠BAC

證法二：連接AD，并延長交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

3.由中點想到的輔助線

在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。

(1)中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形

即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。

例1  如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。

(2)倍長中線

已知中點、中線問題應(yīng)想到倍長中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E，使得AD=AE，連結(jié)BE。

4.其他輔助線做法

(1)延長已知邊構(gòu)造三角形

在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決．

例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長．

延長AD、BC交于F,

∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,

∴∠DAE=∠CBE,

又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,

∴△ACF≌△BCE,

∴BE=AF,

∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,

∴△ABD≌△FBD,

∴AD=FD=1/2AF, AD為a

∴BE=2a

(2)連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC    求證：AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形全等來解決。

(3)連接已知點，構(gòu)造全等三角形

例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。

分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。

(4)取線段中點構(gòu)造全等三角形

例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。