經(jīng)歷圖形研究 體悟概念生成——《全等圖形》課堂實錄與評析

概念教學需要以典型豐富的實例為載體, 引導學生展開觀察、分析各實例的屬性, 抽象概括共同本質(zhì)屬性, 從而歸納形成數(shù)學概念.概念的建構(gòu)必須著眼于數(shù)學現(xiàn)實, 概念的理解需要經(jīng)歷數(shù)學思考, 概念的應用需要體悟數(shù)學抽象.

圖形研究;數(shù)學思考;概念教學;

基金：江蘇省中小學教學研究第十二期課題“基于核心素養(yǎng)發(fā)展的初中數(shù)學實驗教學研究”[編號:2017JK12-L117]的研究成果;

筆者執(zhí)教蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學》八年級上冊《全等圖形》一課時, 通過建構(gòu)操作活動, 引領(lǐng)學生經(jīng)歷圖形研究的過程, 體悟概念生成, 收到很好的教學效果, 受到同行的一致好評.現(xiàn)將課堂實錄及感悟整理成文, 與同行交流研討.

師:德國數(shù)學家萊布尼茲曾說過:“世界上沒有兩片完全相同的葉子.”

【解析】用數(shù)學的眼光來看這兩片葉子, 我們不再關(guān)注它作為生物的一種特性, 只關(guān)注它的數(shù)量關(guān)系和空間形式.

(演示課件) 師:如果把這兩片葉子疊合到一起去, 你會有什么發(fā)現(xiàn)?

生:重合!

師:你能再舉點這樣的例子嗎?

生:比如黑板、教室的窗戶等.師:這一類圖形有何特質(zhì)?

生:通過平移或旋轉(zhuǎn)后會重合.

師:能完全重合的圖形稱為“全等圖形”.

【解析】學生對現(xiàn)實世界中的全等現(xiàn)象是熟悉的, 但對其數(shù)學屬性并不了解, 因此, 筆者設(shè)計了用數(shù)學的眼光觀察世界, 引導學生從一類圖形的共性特征中抽象出全等圖形的概念.

探究活動1:觀察與驗證.

師:如圖1, 觀察下列圖形, 請找出其中的全等圖形并連線, 再運用實驗材料進行驗證.

圖1   下載原圖

師:你是怎么找到的?

生:目測.

師:眼見未必為實, 你有辦法來驗證嗎?

生:旋轉(zhuǎn)透明紙上的菱形, 發(fā)現(xiàn)它們能夠重合.

師:非常好, 請坐!要判斷兩個圖形是否全等, 只要把它疊合到一起去, 看是否完全重合.但是這個圖形是拿不出來的, 利用透明紙把圖形“拿”出來比較, 就可以判斷了.

【解析】紙上呈現(xiàn)的圖形是不可移動的, 學生只能依靠“目測”來判斷, 但這種“目測”并不嚴謹.因此, 筆者通過提供和圖1完全一樣的透明材質(zhì)的操作材料, 引導學生通過數(shù)學實驗將圖形運動從不可操作轉(zhuǎn)化為可操作, 真正讓學生經(jīng)歷圖形研究的過程.

師:如果把一個圖形平移 (如圖2) , 平移后的圖形跟原圖形全等嗎?

生:是.

師:為什么?

生:因為平移時沒有改變圖形的形狀、大小.

師:如果旋轉(zhuǎn)后像圖3這樣全等嗎?

生:也是.

師:翻折后像圖4這樣呢?.

生:也是

【解析】從人的思維角度而言, 既然判斷圖形是否全等可以借助平移、旋轉(zhuǎn)、翻折來驗證圖形是否重合, 那么反過來呢?結(jié)論還成立嗎?

探究活動2:同一張底片沖印出來的1寸照片和2寸照片.

師:這兩張照片是全等圖形嗎?

生:不是, 大小不同.

探究活動3:如圖5, 下列兩個由三個邊長為1的小正方形組成的圖形全等嗎?

生:不是, 因為它們形狀不一樣.

師:那么你有辦法讓它們變成一樣嗎?

(學生上臺操作, 如圖6)

師:這個方法很好, 有其他辦法嗎?

(學生上臺操作, 如圖7、圖8)

【解析】通過控制形狀和大小這兩個變量讓學生深度理解概念.

蜇 ^{(三) 用數(shù)學語言表達問題——對全等關(guān)}系的深入研究

復雜中抽象基本, 訓練學生識圖技能

探究活動4:操作與實踐.

師:如圖9, 觀察圖形, 你能找出圖中的全等圖形嗎?

圖9   下載原圖

(學生小組活動)

生:可以找一下對稱軸, 依據(jù)對稱軸可以找出對稱圖形.比如說豎著的, 橫著的也行.

師:怎樣才能不重復和遺漏呢?

生:我們對它進行分解或分類.

師:最小的三角形有幾個?

生:12個.

師:再找哪個?

生:邊長為3的三角形有6個, 最大的三角形有2個.

師:三角形找完了, 應該找……

生:四邊形.

師: (邊演示邊說) 還有梯形, 還有更大的梯形, 還有最大的梯形……還有不規(guī)則的圖形, 同學們可以找出非常多的全等圖形, 如圖10.

師:找全等圖形時需要把握什么樣的特征呢?

生:我認為是形狀相同, 大小也要相等.

師:很好, 你抓住了全等圖形的基本特征.

^{【解析】通過這樣的識圖訓練}, ^{一方面可以讓學生在概念的形成過程中提升自己的思維}能力, 因為只有在思維過程中獲得的經(jīng)驗才更_{有價值;另一方面}, _{可以讓學生進一步體悟分類討論的思想.}?

2.運動中感悟本質(zhì), 培養(yǎng)學生空間觀念

探究活動5:操作與實踐.

師:如圖11, 圖中 (2) 是由 (1) 經(jīng)過怎樣的運動得到的?

圖1 1   下載原圖

生:向右平移5個單位.

師:按照這樣的規(guī)律, 你能在操作紙上畫出下一個圖形嗎?除了平移, 再進行翻折又是怎么樣?

(教師展示學生的作品, 如圖12、圖13、圖14)

生:圖12中的 (3) 是由 (2) 繼續(xù)向右平移5個單位得到的.

生:圖13中的 (3) 是由 (2) 繼續(xù)向右平移3個單位, 然后翻折過來得到的.

師:如果先翻折再平移是不是一樣的呢?

生:是.

師:那圖14呢?誰來說說?

生:由圖 (1) 先順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖 (2) , 再由圖 (2) 旋轉(zhuǎn)90°并翻折過來得到圖 (3) .

^師:^{你觀察得非常仔細}.^{運動只是改變了}圖形的位置、形狀和大小不變.今后我們將會經(jīng)常用運動的視角來研究圖形, 運動前后的兩_{個圖形全等}.?

【解析】筆者設(shè)計了“描述圖形的運動和變化, 并依據(jù)語言的描述來畫出圖形”這一操作活動, 讓學生盡可能多地觀察、操作、類比, 從而發(fā)展學生的空間觀念.

變化中尋找不變, 體悟數(shù)學抽象思維

小組討論:如圖15, 你能用不同的方法, 沿網(wǎng)格線將正方形分割成兩個全等的圖形嗎?

(學生小組合作, 5分鐘后學生上臺演示, 展示成果, 如圖16)

師:說說看, 你們是怎么找到這些分割線的?

生:我們是一條一條試出來的.

師:有沒有一般的方法呢?

(生沉默)

師:橫向與縱向其實是一樣的, 因此, 我們只要找到一個方向就可以了.我們不妨選擇橫向.大家仔細觀察一下, 分割后兩個圖形是什么關(guān)系?

生:全等.

師:這些分割線都經(jīng)過一個什么點?

生:中心點.

師:你能想清楚為什么嗎??

生:因為分割后的兩個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)是能夠重合的.換句話說, 這個分割線也一定被中心點分割成兩個全等圖形.

師:你的發(fā)現(xiàn)真妙!其實我們尋找分割線, 就是要找從左側(cè)邊界上的點到中心點的連線就可以了.如圖17, 這兩個點之間沿網(wǎng)格線有幾條可連的分割線呢?

生:四條.

師:還有別的發(fā)現(xiàn)嗎?

生:左側(cè)中間那個點與中心點之間也有兩條可連的分割線.

師:同學們再畫時, 是不是就簡單了?只要畫出左半邊的分割線, 根據(jù)全等圖形的特征, 另外半邊就馬上可以補出來了.

【解析】引導學生在變化中尋找不變, 由全等的概念展開聯(lián)想, 從而抽象出兩個點之間的連線, 讓學生經(jīng)歷數(shù)學思考的過程, 從而提升學生的思維能力.

本節(jié)課是《全等三角形》單元的起始課, 又是學習平面圖形關(guān)系的引言課, 隱含地指出平面幾何的研究對象是圖形的形狀和大小, 把對稱、平移和旋轉(zhuǎn)作為研究平面幾何的基本工具, 把圖形的分割與拼接作為研究平面幾何的基本方法.

概念教學的核心是概括, 需要以典型豐富的實例為載體, 引導學生展開觀察、分析各實例的屬性, 抽象概括共同本質(zhì)屬性, 從而歸納形成數(shù)學概念.對全等圖形數(shù)學特質(zhì)的描述是一個看似簡單、卻又有豐富內(nèi)涵的過程.教材將全等圖形的概念描述為“能夠完全重合的圖形稱之為全等圖形”, 其特征為“形狀相同、大小相等”.那么, 為什么不直接將全等圖形定義為“形狀相同、大小相等”呢?筆者認為, 根源在于難于進行觀察和運算, 用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的形狀、大小的難度要比“重合”要高.從這個意義上來說, 圖形全等的數(shù)學本質(zhì)就是“重合”.因此建構(gòu)“全等圖形”的概念必須引導學生用數(shù)學眼光來觀察身邊的“重合”現(xiàn)象, 從而提煉出這一類圖形的共性特征.

就教師而言, “全等圖形”無疑是一個非常簡單的概念, 但這種“簡單”其實是我們在數(shù)學學習過程中歷經(jīng)千辛萬苦、長期積累才得到的.由于數(shù)學概念的高度抽象性, 學生對貌似簡單的數(shù)學概念往往需要費很大周折才能真正理解.如果忽視這一點, 就會造成教師以為學生很懂, 而學生實質(zhì)“懵懂”的教學現(xiàn)象.因此, 在教學中, 教師必須要追溯概念本源, 展現(xiàn)其形成過程, 充分挖掘概念的內(nèi)涵和外延, 幫助學生理解全等圖形的特征.

本課例首先借助“數(shù)學實驗”幫助學生從感性上來體悟圖形的全等.由于缺少對圖形的數(shù)量關(guān)系的描述, 學生對于兩個圖形是否“完全重合”的判斷只能依賴目測, 猜想圖形“全等”.這種驗證方法并不可靠.顯然, 印在紙上的平面圖形無法運動, 但是, 借助數(shù)學實驗材料——透明紙, 就能實現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折, 從而判斷圖形是否全等.

其次利用“逆向思維”建構(gòu)認知沖突來思辨概念.既然可以用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來檢驗圖形是否重合, 那么平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后的圖形是否和原圖形全等?這樣的想法自然產(chǎn)生, 而通過對這個問題的說理思辨可以讓學生進一步加深對“完全重合”這一概念的理解.

最后通過控制“形狀”“大小”這兩個變量來挖掘概念的內(nèi)涵和外延.筆者先利用“同一底片”來控制形狀, 再“利用3個邊長為1的正方形”來控制大小, 讓學生感悟“完全重合”的特征就是“形狀、大小相同”, 而形狀、大小是可以用數(shù)量關(guān)系來描述的, 通過有趣且有效的數(shù)學活動讓學生深度理解全等圖形的特征.

數(shù)學抽象要以基于感知和操作所得到的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ), 通過典型實例引導學生比較、分析, 充分討論、理解歸納共同屬性.本節(jié)課站在系統(tǒng)思維的高度引領(lǐng)學生經(jīng)歷圖形研究的過程, 體悟概念生成的基本方法.一是通過從復雜圖形中抽象出基本的全等圖形, 培養(yǎng)學生的識圖能力, 感悟分類討論的數(shù)學思想.二是根據(jù)圖形變換規(guī)律畫圖, 讓學生在畫圖過程中描述圖形的運動和變化, 并依據(jù)語言描述來畫出圖形, 發(fā)展學生的空間觀念.三是沿網(wǎng)格線分割正方形, 借助一個有挑戰(zhàn)性的活動來積累圖形研究的經(jīng)驗, 筆者在教學過程中引導學生從他們所畫的圖形中尋找共性, 進而引導學生發(fā)現(xiàn)所有的分割線均隱藏在三個特殊“點”之間的連線上.