【考試要求】

1.理解直線的方向向量及平面的法向量；

2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；

3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理；

4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題；

5.能用向量方法解決點(diǎn)到平面、相互平行的平面的距離問題；

6.并能描述解決夾角和距離的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.

【知識(shí)梳理】

1.直線的方向向量和平面的法向量

【微點(diǎn)提醒】

1.平面的法向量是非零向量且不唯一.

2.建立空間直角坐標(biāo)系要建立右手直角坐標(biāo)系.

3.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos θ＝|cos〈a，n〉|.

4.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ).

【規(guī)律方法】

(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.

(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.

【規(guī)律方法】

(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.

(2)用向量證明垂直的方法

①線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

②線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

考點(diǎn)三　用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問題

角度1　與平行有關(guān)的探索性問題

【規(guī)律方法】　解決立體幾何中探索性問題的基本方法

(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.

(2)探索性問題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x，y，z)；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0，如xOy面上的點(diǎn)為(x，y，0)；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0，如z軸上的點(diǎn)為(0，0，z)；④直線(線段)AB上的點(diǎn)P，可設(shè)為＝λ，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，或直接利用向量運(yùn)算.

【反思與感悟】

1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.

2.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.

3.用向量的坐標(biāo)法證明幾何問題，建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，以下三種情況都容易建系：(1)有三條兩兩垂直的直線；(2)有線面垂直；(3)有兩面垂直.

【易錯(cuò)防范】

1.用向量知識(shí)證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

2.用向量證明立體幾何問題，寫準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵，要充分利用中點(diǎn)、向量共線、向量相等來確定點(diǎn)的坐標(biāo).