本文是高等微積分的話題。

結(jié)論不過是一句話的事。先把這句話放這里。作為集合，全體自然數(shù)、全體正整數(shù)、全體復(fù)整數(shù)、全體有理數(shù)、全體正有理數(shù)、全體負(fù)有理數(shù)、全體奇數(shù)、全體偶數(shù)、全體分量取有理數(shù)的n維向量，通通對(duì)等，也就是元素一樣多。雖然有點(diǎn)啰嗦，其實(shí)讀完本文，你還可以啰嗦更多。

你只要理解對(duì)等（等價(jià)）和可列（可數(shù)）這兩個(gè)個(gè)詞。故事有點(diǎn)長(zhǎng)。取材的課本是麻省理工rudin的大作《數(shù)學(xué)分析原理》。這本書妥妥的世界一流。

別廢話，來啊。

一、有限集合的對(duì)等，抽屜原理

現(xiàn)在考慮，比方說，你有兩個(gè)有限集合，要比較其元素的多少。要明白，元素的個(gè)數(shù)與元素是什么，完全沒有關(guān)系。比方說，兩個(gè)蘋果形成的集合，兩個(gè)香蕉形成的集合，兩個(gè)菜雞形成的集合，都是兩個(gè)元素。

完全可以這樣想，把一個(gè)集合的元素想象成若干個(gè)抽屜，而另一個(gè)集合想象成若干只菜雞?，F(xiàn)在把每只菜雞都放到抽屜里，確保同一個(gè)抽屜不能有兩只菜雞。那么抽屜的個(gè)數(shù)與菜雞的個(gè)數(shù)相等這件事，就是，每個(gè)抽屜恰好有一只菜雞。既沒有放不進(jìn)去的菜雞，也沒有沒放雞的抽屜。這就是抽屜原理。重要的是，一個(gè)特殊的放雞到抽屜的方式，就是一個(gè)特定的一一映射--每只雞對(duì)應(yīng)著他的抽屜；每個(gè)抽屜對(duì)應(yīng)著他的雞。

二、無限集合的對(duì)等

因?yàn)槭菬o限集合，其元素個(gè)數(shù)是無窮，所以你不能談“元素的個(gè)數(shù)”，只能談“集合的勢(shì)”、“集合的基數(shù)”。這是因?yàn)?strong>無窮這個(gè)東西，根本不是數(shù)。請(qǐng)想想“無窮比無窮型”不定式這個(gè)詞。能想到無窮的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)不同，所以不可能是實(shí)數(shù)，也不可能是復(fù)數(shù)，也行。能想起羅比達(dá)法則，也行。

現(xiàn)在，牢牢抓住一一映射，就是一個(gè)抽屜一只雞，這個(gè)想法。

1.能和自然數(shù)（或者正整數(shù)）建立一一映射的集合，就叫做可數(shù)無限集合。雖然很多書用可數(shù)這個(gè)詞，但是有時(shí)候用“可列”更好一些。因?yàn)檫@個(gè)一一映射，無非是用自然數(shù)做標(biāo)簽，貼到每一個(gè)元素上，只要每個(gè)元素有且只有一個(gè)標(biāo)簽；這就是序列的定義。

自然數(shù)是可列的。只要取恒等映射，就是元素自己對(duì)應(yīng)自己。寫出來就是，f（n）=n。

負(fù)自然數(shù)是可列的。明擺著的事，相當(dāng)于每個(gè)自然數(shù)都加個(gè)負(fù)號(hào)，雖然改變了性質(zhì)，卻沒有增或者減元素。寫出來就是，f（n）=-n。

自然數(shù)里去掉任何一個(gè)自然數(shù)，得到的集合是可列的。比如你去掉自然數(shù)k，那么只要從1到k-1，取恒等映射，而從n=k 1開始，定義f（n）=n-1。這明擺著是一一映射。

進(jìn)一步，自然數(shù)里再去掉一個(gè)，仍然可列；去掉任意有限個(gè)，仍然可列。這里你理解了一個(gè)非常奇葩的結(jié)論“無窮集合，能跟它的真子集對(duì)等”這明顯是與有限集的抽屜原理矛盾的。

但是自然數(shù)里去掉無窮多個(gè)，就難說了。不過你能堅(jiān)持讀完本文，你肯定知道答案。

全體整數(shù)是可列的。這件事，隱含的說法，就是，“兩個(gè)可數(shù)集的并集，是可數(shù)的”。記號(hào)：A是全體整數(shù)，J是自然數(shù)。

只要定義映射

這是一一映射。

現(xiàn)在，全體奇數(shù)可列?？紤]（n 1）/2

全體偶數(shù)可列。考慮n/2

2.重點(diǎn)來了。如果看證明困難，不妨直接記住結(jié)論。這就足夠牛逼了。

“可列個(gè)（可列集）之并，是可列集”。證明的辦法叫做Contor對(duì)角線法。重要的提示，注意，下面16的第一行是可列無限集；而所有個(gè)位數(shù)下標(biāo)沒有出現(xiàn)。因此，整個(gè)矩陣是至多可數(shù)，因?yàn)闊o限，所以必須可數(shù)。

“分量取可列個(gè)值的n元向量的全體，是可列集”，特別的，因?yàn)?strong>有理數(shù)---作為既約分?jǐn)?shù)--可以看做一個(gè)二元向量，（分子，分母），是可列的。這一段容易些了。

既然有理數(shù)可列，那么負(fù)有理數(shù)也可列?，F(xiàn)在前面聲稱的那些，都有了。

佩服，也感謝你能堅(jiān)持到這。本文主題結(jié)束。

既然都堅(jiān)持到這里了，就多說幾句。正常智力的人，可能自學(xué)非常困難，或許，先背一輩，是最好的選擇。因?yàn)橛洸蛔「拍?，沒法推理。推理次數(shù)多了，也就理解概念了。

讀rudin的大作《數(shù)學(xué)分析原理》，被卡住三次，無法繼續(xù)。現(xiàn)在大部分內(nèi)容都能背了。

第一次，卡在基礎(chǔ)拓?fù)?；于是我讀了麻省理工munkres的《拓?fù)鋵W(xué)》

第二次，卡在微分形式；于是讀了龔昇《簡(jiǎn)明微積分》、munkres《流形上的分析》、還有spivak的書

第三次，卡在lebesgue理論，于是讀了鄧東皋《實(shí)變函數(shù)》等等一堆，才體會(huì)實(shí)變函數(shù)學(xué)十遍。