我們都知道，計(jì)算機(jī)的底層都是使用二進(jìn)制數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)流傳輸?shù)?，那么為什么?huì)使用二進(jìn)制表示計(jì)算機(jī)呢？或者說，什么是二進(jìn)制數(shù)呢？在拓展一步，如何使用二進(jìn)制進(jìn)行加減乘除？二進(jìn)制數(shù)如何表示負(fù)數(shù)呢？本文將一一為你揭曉。

為什么用二進(jìn)制表示

我們大家知道，計(jì)算機(jī)內(nèi)部是由IC電子元件組成的，其中 CPU和內(nèi)存也是 IC 電子元件的一種，CPU和內(nèi)存圖如下

CPU

內(nèi)存

CPU 和 內(nèi)存使用IC電子元件作為基本單元，IC電子元件有不同種形狀，但是其內(nèi)部的組成單元稱為一個(gè)個(gè)的引腳。有人說CPU 和 內(nèi)存內(nèi)部都是超大規(guī)模集成電路，其實(shí)IC 就是集成電路(Integrated Circuit)。

IC元件切面圖

IC元件兩側(cè)排列的四方形塊就是引腳，IC的所有引腳，只有兩種電壓: 0V和5V，IC的這種特性，也就決定了計(jì)算機(jī)的信息處理只能用 0 和 1 表示，也就是二進(jìn)制來(lái)處理。一個(gè)引腳可以表示一個(gè) 0 或 1 ，所以二進(jìn)制的表示方式就變成 0、1、10、11、100、101等，雖然二進(jìn)制數(shù)并不是專門為 引腳 來(lái)設(shè)計(jì)的，但是和 IC引腳的特性非常吻合。

計(jì)算機(jī)的最小集成單位為 位，也就是比特(bit)，二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)一般為 8位、16位、32位、64位，也就是 8 的倍數(shù)，為什么要跟 8 扯上關(guān)系呢？因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)中，把 8 位二進(jìn)制數(shù)稱為一個(gè)字節(jié)， 一個(gè)字節(jié)有 8 位，也就是由 8個(gè)bit構(gòu)成。

為什么1個(gè)字節(jié)等于8位呢？因?yàn)?8 位能夠涵蓋所有的字符編碼，這個(gè)記住就可以了。

字節(jié)是最基本的計(jì)量單位，位是最小單位。

用字節(jié)處理數(shù)據(jù)時(shí)，如果數(shù)字小于存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的字節(jié)數(shù) ( = 二進(jìn)制的位數(shù))，那么高位就用 0 填補(bǔ)，高位和數(shù)學(xué)的數(shù)字表示是一樣的，左側(cè)表示高位，右側(cè)表示低位。比如 這個(gè)六位數(shù)用二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示就是100111，只有6位，高位需要用 0 填充，填充完后是00100111，占一個(gè)字節(jié)，如果用 16 位表示 就是0000 0000 0010 0111占用兩個(gè)字節(jié)。

我們一般口述的 32 位和 64位的計(jì)算機(jī)一般就指的是處理位數(shù)，32 位一次可以表示 4個(gè)字節(jié)，64位一次可以表示8個(gè)字節(jié)的二進(jìn)制數(shù)。

我們一般在軟件開發(fā)中用十進(jìn)制數(shù)表示的邏輯運(yùn)算等，也會(huì)被計(jì)算機(jī)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)處理。對(duì)于二進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)不會(huì)區(qū)分他是 圖片、音頻文件還是數(shù)字，這些都是一些數(shù)據(jù)的結(jié)合體。

什么是二進(jìn)制數(shù)

那么什么是二進(jìn)制數(shù)呢？為了說明這個(gè)問題，我們先把 00100111這個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)看一下，二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，直接將各位置上的值 * 位權(quán)即可，那么我們將上面的數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制表示圖

也就是說，二進(jìn)制數(shù)代表的 00100111轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制就是 39，這個(gè) 39 并不是 3 和 9 兩個(gè)數(shù)字連著寫，而是 3 * 10 + 9 * 1，這里面的10 , 1就是位權(quán)，以此類推，上述例子中的位權(quán)從高位到低位依次就是7 6 5 4 3 2 1 0。這個(gè)位權(quán)也叫做次冪，那么最高位就是2的7次冪，2的6次冪 等等。二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算每次都會(huì)以2為底，這個(gè)2 指得就是基數(shù)，那么十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)也就是 10 。在任何情況下位權(quán)的值都是數(shù)的位數(shù) - 1，那么第一位的位權(quán)就是 1 - 1 = 0， 第二位的位權(quán)就睡 2 - 1 = 1，以此類推。

那么我們所說的二進(jìn)制數(shù)其實(shí)就是 用0和1兩個(gè)數(shù)字來(lái)表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，它的數(shù)值就是每個(gè)數(shù)的位數(shù) * 位權(quán)再求和得到的結(jié)果，我們一般來(lái)說數(shù)值指的就是十進(jìn)制數(shù)，那么它的數(shù)值就是 3 * 10 + 9 * 1 = 39。

移位運(yùn)算和乘除的關(guān)系

在了解過二進(jìn)制之后，下面我們來(lái)看一下二進(jìn)制的運(yùn)算，和十進(jìn)制數(shù)一樣，加減乘除也適用于二進(jìn)制數(shù)，只要注意逢 2 進(jìn)位即可。二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算，也是計(jì)算機(jī)程序所特有的運(yùn)算，因此了解二進(jìn)制的運(yùn)算是必須要掌握的。

首先我們來(lái)介紹移位運(yùn)算，移位運(yùn)算是指將二進(jìn)制的數(shù)值的各個(gè)位置上的元素坐左移和右移操作，見下圖

移位過程

上述例子中還是以 39 為例，我們先把十進(jìn)制的39 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的 0010 0111，然后向左移位 <<一個(gè)字節(jié)，也就變成了0100 1110，那么再把此二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)就是上面的78， 十進(jìn)制的78 竟然是 十進(jìn)制39 的2倍關(guān)系。我們?cè)谧?code>0010 0111左移兩位，也就是1001 1100，得出來(lái)的值是 156，相當(dāng)于擴(kuò)大了四倍！

因此你可以得出來(lái)此結(jié)論，左移相當(dāng)于是數(shù)值擴(kuò)大的操作，那么右移 >>呢？按理說右移應(yīng)該是縮小 1/2，1/4 倍，但是39 縮小二倍和四倍不就變成小數(shù)了嗎？這個(gè)怎么表示呢？請(qǐng)看下一節(jié)

便于計(jì)算機(jī)處理的補(bǔ)數(shù)

剛才我們沒有介紹右移的情況，是因?yàn)橛乙浦罂粘鰜?lái)的高位數(shù)值，有 0 和 1 兩種形式。要想?yún)^(qū)分什么時(shí)候補(bǔ)0什么時(shí)候補(bǔ)1，首先就需要掌握二進(jìn)制數(shù)表示負(fù)數(shù)的方法。

二進(jìn)制數(shù)中表示負(fù)數(shù)值時(shí)，一般會(huì)把最高位作為符號(hào)來(lái)使用，因此我們把這個(gè)最高位當(dāng)作符號(hào)位。符號(hào)位是 0 時(shí)表示正數(shù)，是 1 時(shí)表示負(fù)數(shù)。那么 -1 用二進(jìn)制數(shù)該如何表示呢？可能很多人會(huì)這么認(rèn)為：因?yàn)?1 的二進(jìn)制數(shù)是0000 0001，最高位是符號(hào)位，所以正確的表示 -1 應(yīng)該是1000 0001，但是這個(gè)答案真的對(duì)嗎？

計(jì)算機(jī)世界中是沒有減法的，計(jì)算機(jī)在做減法的時(shí)候其實(shí)就是在做加法，也就是用加法來(lái)實(shí)現(xiàn)的減法運(yùn)算。比如 100 - 50 ，其實(shí)計(jì)算機(jī)來(lái)看的時(shí)候應(yīng)該是 100 + (-50)，為此，在表示負(fù)數(shù)的時(shí)候就要用到二進(jìn)制補(bǔ)數(shù)，補(bǔ)數(shù)就是用正數(shù)來(lái)表示的負(fù)數(shù)。

為了獲得補(bǔ)數(shù)，我們需要將二進(jìn)制的各數(shù)位的數(shù)值全部取反，然后再將結(jié)果 + 1 即可，先記住這個(gè)結(jié)論，下面我們來(lái)演示一下。

-1 取反過程

具體來(lái)說，就是需要先獲取某個(gè)數(shù)值的二進(jìn)制數(shù)，然后對(duì)二進(jìn)制數(shù)的每一位做取反操作(0 ---> 1 , 1 ---> 0)，最后再對(duì)取反后的數(shù) +1 ，這樣就完成了補(bǔ)數(shù)的獲取。

補(bǔ)數(shù)的獲取，雖然直觀上不易理解，但是邏輯上卻非常嚴(yán)謹(jǐn)，比如我們來(lái)看一下 1 - 1 的這個(gè)過程，我們先用上面的這個(gè) 1000 0001(它是1的補(bǔ)數(shù)，不知道的請(qǐng)看上文，正確性先不管，只是用來(lái)做一下計(jì)算)來(lái)表示一下

1 - 1 分析圖

奇怪，1 - 1 會(huì)變成 130 ，而不是0，所以可以得出結(jié)論 1000 0001表示 -1 是完全錯(cuò)誤的。

那么正確的該如何表示呢？其實(shí)我們上面已經(jīng)給出結(jié)果了，那就是 1111 1111，來(lái)論證一下它的正確性

1 - 1 正確的分析圖

我們可以看到 1 - 1 其實(shí)實(shí)際上就是 1 + (-1)，對(duì) -1 進(jìn)行上面的取反 + 1 后變?yōu)?1111 1111, 然后與 1 進(jìn)行加法運(yùn)算，得到的結(jié)果是九位的1 0000 0000，結(jié)果發(fā)生了溢出，計(jì)算機(jī)會(huì)直接忽略掉溢出位，也就是直接拋掉 最高位 1 ，變?yōu)?code>0000 0000。也就是 0，結(jié)果正確，所以1111 1111表示的就是 -1 。

所以負(fù)數(shù)的二進(jìn)制表示就是先求其補(bǔ)數(shù)，補(bǔ)數(shù)的求解過程就是對(duì)原始數(shù)值的二進(jìn)制數(shù)各位取反，然后將結(jié)果 + 1，

當(dāng)然，結(jié)果不為 0 的運(yùn)算同樣也可以通過補(bǔ)數(shù)求得正確的結(jié)果。不過，有一點(diǎn)需要注意，當(dāng)運(yùn)算結(jié)果為負(fù)的時(shí)候，計(jì)算結(jié)果的值也是以補(bǔ)數(shù)的形式出現(xiàn)的，比如 3 - 5 這個(gè)運(yùn)算，來(lái)看一下解析過程

3 - 5 的解析過程

3 - 5 的運(yùn)算，我們按著上面的思路來(lái)過一遍，計(jì)算出來(lái)的結(jié)果是 1111 1110，我們知道，這個(gè)數(shù)值肯定表示負(fù)數(shù)，但是負(fù)數(shù)無(wú)法直接用十進(jìn)制表示，需要對(duì)其取反+ 1，算出來(lái)的結(jié)果是 2，因?yàn)?code>1111 1110的高位是 1，所以最終的結(jié)果是 -2。

編程語(yǔ)言的數(shù)據(jù)類型中，有的可以處理負(fù)數(shù)，有的不可以。比如 C語(yǔ)言中不能處理負(fù)數(shù)的 unsigned short類型，也有能處理負(fù)數(shù)的short類型 ，都是兩個(gè)字節(jié)的變量，它們都有 2 的十六次冪種值，但是取值范圍不一樣，short 類型的取值范圍是 -32768 - 32767 ， unsigned short 的取值范圍是 0 - 65536。

仔細(xì)思考一下補(bǔ)數(shù)的機(jī)制，就能明白 -32768 比 32767 多一個(gè)數(shù)的原因了，最高位是 0 的正數(shù)有 0 ~ 32767 共 32768 個(gè)，其中包括0。最高位是 1 的負(fù)數(shù)，有 -1 ~ -32768 共 32768 個(gè)，其中不包含0。0 雖然既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但是考慮到其符號(hào)位，就將其歸為了正數(shù)。

算數(shù)右移和邏輯右移的區(qū)別

在了解完補(bǔ)數(shù)后，我們重新考慮一下右移這個(gè)議題，右移在移位后空出來(lái)的最高位有兩種情況 0 和 1。當(dāng)二進(jìn)制數(shù)的值表示圖形模式而非數(shù)值時(shí)，移位后需要在最高位補(bǔ)0，類似于霓虹燈向右平移的效果，這就被稱為邏輯右移。

邏輯右移示意圖

將二進(jìn)制數(shù)作為帶符號(hào)的數(shù)值進(jìn)行右移運(yùn)算時(shí)，移位后需要在最高位填充移位前符號(hào)位的值( 0 或 1)。這就被稱為算數(shù)右移。如果數(shù)值使用補(bǔ)數(shù)表示的負(fù)數(shù)值，那么右移后在空出來(lái)的最高位補(bǔ) 1，就可以正確的表示1/2,1/4,1/8等的數(shù)值運(yùn)算。如果是正數(shù)，那么直接在空出來(lái)的位置補(bǔ) 0 即可。

下面來(lái)看一個(gè)右移的例子。將 -4 右移兩位，來(lái)各自看一下移位示意圖

邏輯右移和算數(shù)右移示意圖

如上圖所示，在邏輯右移的情況下， -4 右移兩位會(huì)變成 63， 顯然不是它的 1/4，所以不能使用邏輯右移，那么算數(shù)右移的情況下，右移兩位會(huì)變?yōu)?code>-1，顯然是它的 1/4，故而采用算數(shù)右移。

那么我們可以得出來(lái)一個(gè)結(jié)論：左移時(shí)，無(wú)論是圖形還是數(shù)值，移位后，只需要將低位補(bǔ) 0 即可；右移時(shí)，需要根據(jù)情況判斷是邏輯右移還是算數(shù)右移。

下面介紹一下符號(hào)擴(kuò)展：將數(shù)據(jù)進(jìn)行符號(hào)擴(kuò)展是為了產(chǎn)生一個(gè)位數(shù)加倍、但數(shù)值大小不變的結(jié)果，以滿足有些指令對(duì)操作數(shù)位數(shù)的要求，例如倍長(zhǎng)于除數(shù)的被除數(shù)，再如將數(shù)據(jù)位數(shù)加長(zhǎng)以減少計(jì)算過程中的誤差。

以8位二進(jìn)制為例，符號(hào)擴(kuò)展就是指在保持值不變的前提下將其轉(zhuǎn)換成為16位和32位的二進(jìn)制數(shù)。將0111 1111這個(gè)正的 8位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成為 16位二進(jìn)制數(shù)時(shí)，很容易就能夠得出0000 0000 0111 1111這個(gè)正確的結(jié)果，但是像1111 1111這樣的補(bǔ)數(shù)來(lái)表示的數(shù)值，該如何處理？直接將其表示成為1111 1111 1111 1111就可以了。也就是說，不管正數(shù)還是補(bǔ)數(shù)表示的負(fù)數(shù)，只需要將 0 和 1 填充高位即可。

邏輯運(yùn)算的竅門

掌握邏輯和運(yùn)算的區(qū)別是：將二進(jìn)制數(shù)表示的信息作為四則運(yùn)算的數(shù)值來(lái)處理就是算數(shù)，像圖形那樣，將數(shù)值處理為單純的0和1的羅列就是邏輯

計(jì)算機(jī)能夠處理的運(yùn)算，大體可分為邏輯運(yùn)算和算數(shù)運(yùn)算，算數(shù)運(yùn)算指的是加減乘除四則運(yùn)算；邏輯運(yùn)算指的是對(duì)二進(jìn)制各個(gè)數(shù)位的 0 和 1分別進(jìn)行處理的運(yùn)算，包括邏輯非(NOT運(yùn)算)、邏輯與(AND運(yùn)算)、邏輯或(OR運(yùn)算)和邏輯異或(XOR運(yùn)算)四種。

·邏輯非指的是將 0 變成 1，1 變成 0 的取反操作·邏輯與指的是'兩個(gè)都是 1 時(shí)，運(yùn)算結(jié)果才是 1，其他情況下是 0'·邏輯或指的是'至少有一方是 1 時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為 1，其他情況下運(yùn)算結(jié)果都是 0'·邏輯異或指的是 '其中一方是 1，另一方是 0時(shí)運(yùn)算結(jié)果才是 1，其他情況下是 0'

與或非異或真值表

掌握邏輯運(yùn)算的竅門，就是要摒棄二進(jìn)制數(shù)表示數(shù)值這一個(gè)想法。大家不要把二進(jìn)制數(shù)表示的值當(dāng)作數(shù)值，應(yīng)該把它看成是 開關(guān)上的 ON/OFF。

文章參考：

《程序是怎樣跑起來(lái)的》

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