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9月初，兩名數(shù)學(xué)家借助計算機的力量，宣布他們終于解開了困擾了數(shù)學(xué)家65年之久的42的立方和之謎（詳見：《42之謎終于被破解了！》）。當(dāng)時他們表示接下來他們最感興趣的是數(shù)字3的非平凡解，但一個月不到，他們就找到想要的答案。而在更早的時候，另外兩名數(shù)學(xué)家證明了一個跟有理數(shù)有關(guān)的猜想（詳見：《困擾數(shù)學(xué)家近80年的無理數(shù)難題被證明了》）。我們很高興看到這些數(shù)學(xué)進展，但同時又不免想起有些已經(jīng)存在了數(shù)百年的數(shù)學(xué)問題，至今仍在挑戰(zhàn)著人類的智慧。有的問題看起來很簡單，但要證明它們卻難如登天。下面，我們就要來看看幾個這樣的數(shù)學(xué)難題。π和e是數(shù)學(xué)中最為人所知的兩個常數(shù)，但是當(dāng)把它們加起來時，卻成了一個難倒眾人的問題。這個謎題與實代數(shù)數(shù)有關(guān)。一個實數(shù)如果是某個系數(shù)為整數(shù)的多項式的根，那么我們可以說這個實數(shù)是代數(shù)數(shù)。例如x2-6是有著整數(shù)系數(shù)的多項式，因為1和-6都是整數(shù)。x2-6 = 0的根是x = ±√6，這意味著√6和-√6都是代數(shù)數(shù)。所有有理數(shù)，以及有理數(shù)的根，都是代數(shù)數(shù)的。因此你可能會覺得，“大多數(shù)”實數(shù)都是代數(shù)數(shù)。然而結(jié)果卻恰恰相反，“代數(shù)數(shù)”的反義詞是“超越數(shù)”，事實證明幾乎所有實數(shù)都是超越數(shù)。在這里，“幾乎所有”是有數(shù)學(xué)含義的，那么哪些是代數(shù)數(shù)，哪些又是超越數(shù)？π是一個已經(jīng)存在了很久的實數(shù)，e大約在17世紀(jì)才為人所知。對于這樣兩個熟悉的數(shù)字，你可能會以為我們知曉與它們有關(guān)的任何基本問題。事實是，我們知道π和e都是超越數(shù)的，但卻不知道π + e是代數(shù)數(shù)還是超越數(shù)。同樣，我們不知道πe、π/e以及其他這兩個數(shù)之間的簡單組合是什么數(shù)。所以在數(shù)學(xué)中，還有著這樣一些我們已經(jīng)知曉了數(shù)百年甚至上千年的數(shù)字，蘊含著一些令人難以捉摸的基本問題。這是另一個寫起來容易但解起來很困難的問題。你所要知道的一切就是有理數(shù)的定義。有理數(shù)是可以被寫成p/q形式的數(shù)字，其中p和q都為整數(shù)。所以42、11/3，都是有理數(shù)；π和√2是無理數(shù)。這是一個非?；镜男再|(zhì)，因此你或許會認(rèn)為我們可以很輕易地判斷出一個數(shù)字是否是有理數(shù)。然而讓我們來認(rèn)識一下歐拉常數(shù)——γ。這是一個實數(shù)，約等于0.5772，下圖中的方程表示的就是γ的閉型。 
用文字來表達就是：“γ是調(diào)和級數(shù)與自然對數(shù)之差的極限。”所以說它是兩個已經(jīng)被理解得很好的數(shù)學(xué)對象的組合，它還可以用其他簡潔的閉型表達，出現(xiàn)在數(shù)百個公式中。
但不知為何，我們偏偏不知道γ是否是有理數(shù)。我們對它的計算已經(jīng)達到數(shù)千億位數(shù)，但是仍然無法證明它的有理性。一種理論認(rèn)為，γ是無理數(shù)。與上一個問題中的π+ e很像的是，這是另一個我們無法回答關(guān)于一個熟悉數(shù)字的基本屬性。○ 圖片來源：JJ Harrison / Wikimedia Commons數(shù)學(xué)中的一類廣泛的問題，叫做球體填充問題。無論是在純數(shù)學(xué)還是實際應(yīng)用中都存在這些問題。在數(shù)學(xué)中它所涉及的問題是將球體堆積在給定的空間內(nèi)，而在現(xiàn)實生活中的一個例子是雜貨店里高高堆起的水果。這類問題的某一些已經(jīng)有了完整的解決方案，而一些簡單的問題卻讓我們困惑不解，比如吻接數(shù)問題。
當(dāng)一堆球聚集在某個區(qū)域時，每個球都有一個吻接數(shù)，它表示的是與這個球接觸到的其他球的數(shù)量。如果與某個球相鄰的球體有6個，那么它的吻接數(shù)就是6。一堆球會有一個平均的吻接數(shù)，這個數(shù)字有助于我們用數(shù)學(xué)方法來描述這種情況。但是，一個與吻接數(shù)有關(guān)的基本問題，至今仍然沒有得到解答。首先，我們先要對維度作出一些說明。維度在數(shù)學(xué)中具有特定的含義：它們是獨立的坐標(biāo)軸。x軸和y軸表示坐標(biāo)平面的兩個維度。所以每當(dāng)科幻電影中的角色說他們要去往一個不同的維度時，這些話在數(shù)學(xué)上是沒有意義的，因為你無法“去往x軸”。我們知道，一維是一條直線，二維是一個平面。對于這些較低的維度數(shù)值來說，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明這些維度中的球體可能存在的最大吻接數(shù)。在一維直線上是2——左右兩邊各一個。三維空間的確切吻接數(shù)直到上世紀(jì)50年代才得到證明。三維之外的吻接數(shù)問題幾乎沒有得到解決。數(shù)學(xué)家們現(xiàn)在已慢慢地將可能性縮減到相當(dāng)窄的范圍——最多24個維度，其中一些維度的吻接數(shù)是已知的。對于較大的數(shù)或一般形式，這個問題的開放性還很大。在獲得完整解決方案的道路上存在好幾個重大的障礙，其中包括計算能力上的限制。因此，預(yù)計在未來幾年，這一問題將能逐步取得進展。解結(jié)問題中的最簡單版本已經(jīng)得到了解決，但還沒能得到全面的解決。
這個問題與紐結(jié)理論有關(guān)，它的想法是試著運用正規(guī)的數(shù)學(xué)方法（例如證明）來打結(jié)（比如系鞋帶）。例如，你可能知道如何打一個“方型扭結(jié)”和“外平行結(jié)”。它們的打結(jié)步驟一樣，只要將方型扭結(jié)的其中一個結(jié)朝相反的方向打就能得到一個外平行結(jié)。但是你能證明這些結(jié)是不同的嗎？紐結(jié)理論便可以。○ 方型扭結(jié)（上）與外平行結(jié)（下）。| 圖片來源：Wikimedia Commons扭結(jié)理論學(xué)家要處理的一個重大問題是研究一種算法，以確定一些混亂的糾纏是否是真正的扭結(jié)，還是說它可以解除糾纏。好消息是，數(shù)學(xué)家已經(jīng)在過去的20年里成功編寫出了這樣的算法。
解結(jié)問題仍然是計算性的。它是一種NP（非確定性多項式）類問題，但我們卻不知道它是否是一種P類問題。這意味著目前的情況是，我們已知這些算法能夠處理具有任何復(fù)雜性的解結(jié)問題，但當(dāng)它們變得越來越復(fù)雜時，處理這個問題的時間就會長到不可思議。如果有人能提出一種算法，可以在所謂的多項式時間內(nèi)解開任何一個結(jié)，那么解結(jié)問題就能得到徹底的解決。另外，如果有人可以證明這是不可能的，那么這意味著解結(jié)問題所面臨的浩大的計算強度問題就是無可避免的。19世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）發(fā)現(xiàn)無窮大是存在不同大小的，他證明了一些無限集合中所含有的元素比其他的無限集合更多。最小的無限集合可以用??表示，這是自然數(shù)集合的大小，可以寫成|?| =??。接下來是一些常見的比??更大的無限集合，比如康托爾證明了實數(shù)集比??更大，即|?| >??。但是實數(shù)集也并非那么大，這只是無限大的開始。數(shù)學(xué)家們還在不斷地發(fā)現(xiàn)越來越大的無窮大，或者我們可以稱之為大基數(shù)。這是一個純數(shù)學(xué)過程，如果有人說“我想到了基數(shù)的定義，我可以證明這個基數(shù)比所有已知的基數(shù)都大”，那么，如果他的證明是正確的，那這就會是已知最大的基數(shù)。直到有人想出一個更大的。整個20世紀(jì)，大基數(shù)的疆域在不斷向前推進，現(xiàn)在的維基百科里甚至有一個“基數(shù)”詞條，里面有許多著名的基數(shù)都是以康托爾的名字命名的。那么，這一切會終結(jié)嗎？答案幾乎是肯定的，盡管它會變得非常復(fù)雜。從某種意義上說，龐大的基數(shù)等級的頂端就在眼前。一些已被證明的定理對可能存在的基數(shù)提供了某種上限。但未知的問題仍有很多，最新的一些基數(shù)直到2019年才確定下來。未來幾十年，我們很可能會發(fā)現(xiàn)更多基數(shù)。希望我們最終能獲得一張所涵蓋了有大基數(shù)的列表。
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