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      一、緣起：不同年級同一道題的思考

      人教版教材四年級下冊“三角形”單元的一道習題（圖1）和六年級下冊“整理與復習”單元的數學思考中的一道習題（圖2）引起了筆者的思考。

     1. 同一道題在教材上出現兩次，何解？

      知識點相同：這兩道習題雖然出現在不同年級的教材上，但是涉及的知識點是同一個，就是求多邊形的內角和，用公式計算：多邊形內角和=180°×（邊數-2）。兩道習題都是借助統計表的形式，將圖形、邊數、內角和編排在一起，根據多邊形與三角形的關系，算出四邊形、五邊形、六邊形的內角和，繼而擴展到其他多邊形的內角和。

     要求有差別：四下的習題要求是“畫一畫，算一算，你發(fā)現了什么？”，六下的第三個問題是“一個n邊形的內角和是多少度？”。從中我們可以發(fā)現，前者的要求相對低一些，對于大部分學生來說只需要推算出六邊形、七邊形的內角和，對于思維程度較高的學生，還可以擴展到八邊形、九邊形……的內角和，最后能夠表述出一般規(guī)律。而后者需要學生把其中的規(guī)律抽象成含有字母的表達式，即：多邊形的內角和=180°×（n-2），這個從具體到抽象的程度相對高一些。

       從知識層面來說，這道習題雖然在不同的年級，但是需要理解并掌握的知識點是同一個，只是對學生的能力要求稍微有所區(qū)別。

      2. 整合在同一年級進行教學，可否？

     人教版教材是將“探索四邊形內角和”與“探索多邊形內角和”分開安排，而蘇教版教材將“多邊形內角和”作為一個獨立的、完整的課時來安排，這是一節(jié)“探索規(guī)律”的拓展課。這節(jié)課的知識目標：探索并發(fā)現多邊形內角和與它的邊數之間的關系，并能表示出所發(fā)現的規(guī)律”，能力目標：積累一些探索和發(fā)現數學規(guī)律的經驗，培養(yǎng)動手操作能力和合情推理能力”。

       我們可以看到，教材分四個層次展開教學活動：①提出問題，明確活動的目標。由三角形的內角和是180°，直接提問“四邊形、五邊形、……的內角和呢”。②明確方法，引導轉化的方法。教材以四邊形分成兩個三角形，將未知轉化成了已知，引導學生討論，把五邊形、六邊形也分成幾個三角形，明確了分割多邊形的方法。③觀察表格，發(fā)現規(guī)律。再任意畫一些多邊形，計算它們的內角和，并列表整理所獲得的數據，觀察表格，發(fā)現計算多邊形內角和的基本方法，獲得一般性的規(guī)律。

      二、重組：選擇教學內容

    （一）基于認知起點，揭示學習內容

      認知心理學的代表人物奧蘇伯爾曾說過：影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么，教師應根據學生的原有知識進行教學。通過前測，學生基本都已經知道“四邊形的內角和是360°”，而且大部分學生能夠獨立驗證。所以，筆者把這節(jié)課的內容確定為“研究多邊形的內角和”

      1. 揭示課題，明確研究方向

師：同學們，今天我們一起來研究“多邊形的內角和”。關于多邊形，你已經知道了哪些知識？

     生：三角形、四邊形、五邊形、六邊形……都是多邊形。

     生：三角形的內角和是180°。

生：長方形的內角和是360°。

     師：對“多邊形的內角和”你還有什么問題想問的？

      生：五邊形的內角和是幾度？

      生：六邊形的內角和是幾度？

      生：一百邊形的內角和是多少度？

      師：是呀，要解決這么復雜問題，我們可以從簡單的圖形開始研究，慢慢找出規(guī)律。

      2.對比研究，從特殊到一般

       師：（出示課件）我們之前做過一個小調查，老師選擇了一些同學的研究成

果。他們的研究過程有什么相同之處和不同之處？

       生：①和②是長方形和正方形，它們的四個角都是90°。③、④、⑤都是普通的四邊形。

師：我們在研究“四邊形內角和”時不能只研究長方形、正方形這些特殊的四邊形，還要研究其他一般的四邊形。

       開門見山，揭示本節(jié)課學習的內容是“多邊形的內角和”，以談話的方式了解學生對多邊形、內角和等知識的認知。同時，讓學生明確“要想得到一百邊形（復雜）的內角和，要先從簡單的圖形開始研究，滲透“化繁為簡”的思想。然后，利用學生的前測結果，通過對比，讓學生明白“不能只研究特殊的四邊形，還要研究其他一般的四邊形”。這不僅為后面研究“其他多邊形的內角和”指明了研究的方法，而且滲透了“從特殊到一般”的思想——也是貫穿整節(jié)課的數學思想。

    （二）設置認知沖突，明確“轉化”策略

      學生的數學學習過程是一個認知不斷產生、化解和發(fā)展的過程?！墩撜Z》里“不憤不啟，不悱不發(fā)”中的“憤”和“悱”就非常精確地刻畫了認知沖突產生時學習者的狀態(tài)。在教學時應利用學生的認知上的沖突，激發(fā)學生主動思考和建構，讓學生體會到“測量相加”、“剪拼”的方法，可能存在誤差，從而聚焦到“分成三角形”的方法，明確“轉化”的策略。

       1. 利用誤差，體會嚴謹

     師：這三位同學得到的“四邊形內角和不是360°”，他們的問題可能出在哪？

      生：邊沒有畫直。

      生：測量時不夠準確。

     師：也就是說，我們用測量這種方法時，很可能會存在誤差，導致我們不能正確得到多邊形的內角和。

      2.引導“轉化”，明確方法

      師：觀察這四位同學的研究過程，他們有什么相同之處？

      生：都是把一個四邊形分成了兩個三角形，一個三角形的內角和是180°，

兩個就是180°×2=360°。

      師：雖然這些四邊形的形狀不同，但都是把“四邊形分成了兩個三角形”。

      師：有一位同學分成了4個三角形，你們覺得可以嗎？

     生：不可以，分成4個三角形，內角和就變成180°×4=720°了。

      生：可以，因為中間4個角不是四邊形的內角，所以還要減去一個周角，也就是180°×4-360°=360°。

      師：把四邊形分成四個三角形時，要注意減去中間的周角。

      通過第一個認知沖突——測量結果不相同，使學生體會到測量是有一定局限性的，很難得到準確結果，這顯然不是解決問題的主要方法，這時學生自然而然會對既有經驗進行整合與重組，從而想到把四邊形分成兩個三角形的方法。通過第二個認知沖突——把四邊形分成兩個三角形和四個三角形，讓學生感受到將四邊形轉化成三角形的方法并不是唯一的，還可以分成四個三角形，但是要減去一個周角，為后面探究“五邊形、六邊形內角和”的活動提供經驗與方法的支撐。

   （三）捕捉思維動態(tài)，經歷推導過程

     這節(jié)課主要引導學生通過觀察、操作、歸納、類比等具體的活動，讓學生經歷由特殊到一般的學習過程，發(fā)現多邊形的內角和與多邊形邊數之間的關系，得到一般規(guī)律。本節(jié)課的探究規(guī)律，對四年級的學生而言具有一定的挑戰(zhàn)性。首先，這一知識點在目前的初中數學教材還作為例題教學，內容本身具有一定的難度。其次，四年級的學生在發(fā)現規(guī)律、表達規(guī)律的意識和能力上還比較欠缺。所以，筆者在接下去的環(huán)節(jié)中，設計“合作探索五邊形、六邊形內角和”、猜測并驗證發(fā)現的環(huán)節(jié)，其目的是通過小步前進，搭建促進學生認知發(fā)展的“腳手架”，在次過程中，要注意捕捉學生的思維動態(tài)，經歷推導規(guī)律的全過程，體驗數學的嚴謹性和挑戰(zhàn)性。

     1. 逐步探索，感悟規(guī)律

     師：我們接著來研究五邊形、六邊形的內角和。同桌合作，完成實驗研究單。

      師：先來交流五邊形內角和的方法。

      生：從一個頂點出發(fā)向其他頂點連線，把五邊形分成了3個三角形，所以五

邊形的內角和是180°×3=540°。

      生：還可以在五邊形里找一個點，從這個點出發(fā)連接每個頂點，將五邊形分

成5個三角形，用180°×5，還要減去360°，因為多算了中間哪個周角。

      ……

      師：我們已經研究了四邊形、五邊形、六邊形的內角和問題，比較每次得到的結果，你有什么發(fā)現？

生：我發(fā)現多邊形的邊數越多，它的內角和就越大。

生：我們發(fā)現多邊形的劃分出的三角形個數比邊數少2。

       師：這個規(guī)律你怎么觀察到的？

      生：上下看的，四邊形分成了2個三角形，4-2=2；五邊形分成了3個三角形，5-2=3；六邊形分成了4個三角形，6-2=4，……以此類推，邊數-2=三角形的個數。所以多邊形的內角和=（邊數-2）×180°。

       生：我們來觀察第二種計算方法，就可以發(fā)現多邊形的內角和=邊數×180°-360°。

       2.溝通方法，驗證規(guī)律

      師：這兩種方法之間有什么聯系嗎？

      生：這兩種方法其實一樣的，我們可以用乘法分配律來說明：

（邊數-2）×180°=邊數×180°-360°

       師：這個規(guī)律是否適用所有的多邊形呢？我們還需要來驗證。每位同學舉一個例子來說明。

 生：七邊形的內角和=（7-2）×180°=900°。

 生：八邊形的內角和=（8-2）×180°=1080°。

       ……

  生：一百邊形的內角和=（100-2）×180°=17640°。

       本環(huán)節(jié)通過學生自主探究，將五邊形、六邊形轉化為多個三角形，逐步發(fā)現邊數與三角形個數之間的關系，積累了豐富的數學獲得經驗。然后，利用乘法分配律溝通兩種分法得到的計算方法，引導學生盡可能多而全面的舉例，這樣得到的結論可靠性就強一些。同時重視學生用規(guī)范的數學語言進行表述，重視板書規(guī)范嚴密的推導過程，有利于學生觀察、歸納，讓學生理解和明晰計算方法的由來。這樣的數學活動過程，不僅能鍛煉學生的數學歸納概括能力，同時幫助學生積累了如何研究問題的經驗。

    （四）引導深度思考，培養(yǎng)推理能力

      學生的推理能力主要表現在能通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并進一步尋求證據，給出證明或舉出反例，能清晰、條理地表達思考過程，做到言之有理、落筆有據?！罢n標2011版”指出：推理能力的發(fā)展應貫穿于整個數學學習過程中。

      1. “發(fā)現怎么算”，歸納推理

在探究“五邊形、六邊形內角和”之后，學生能初步感知多邊形內角和的計算方法，通過舉例驗證得到一般規(guī)律，這是一個從特殊到一般的歸納推理過程。推理的過程如上，不再贅述。

       2. “知道為什么這么算”，演繹推理一般情況下，歸納推理能夠得到一個大家都公認的結論，在我們小學階段更多的是歸納推理占據主導地位，如小學數學的各種概念、計算法則、公式等，絕大多數都是通過豐富的具體實例，逐步抽象、概括出來的。但是如果能挖掘結果的本質，揭示其內在原因，不僅可以使學生知其然，還能知其所以然。多邊形內角和為什么是“（邊數-2）×180°”，這的確是一個具有高階思維含量的問題，教師該如何引導學生進行深度思考呢？

       師：為什么劃分成的三角形個數比邊數少2？

生：當我從A點出發(fā)來劃分三角形的時候，A點只能和C、D相連，不能和A旁邊的B、E兩個點相連。所以連線的條數應該是“邊數-3”，但是三角形的個數又比分割線多1，比如五邊形的分割線是2條，分成了3個三角形。所以三角形的個數應該是“邊數-2”。

       生：比如五邊形分出的三角形,從A點出發(fā)，除了A點兩側的兩條邊組成的三角形是重復的，還剩下3條邊，各對應一個三角形，所以能分成（邊數-2）個三角形。

想一想