-01-拉馬努金恒等式2016年4月8日在英國上映了一部名叫《知無涯者》的電影。電影講述了印度數(shù)學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（1887.12.22~1920.4.26）， 短暫而傳奇的一生。拉馬努金出生貧寒，沒有受過專門的數(shù)學訓練，但天資聰穎，完全靠自學。直到1913年，得到英國數(shù)學家哈代的賞識，他的數(shù)學才華大放異彩。但他不同于傳統(tǒng)意義上數(shù)學家，他的成果往往是憑直覺得到，只有結(jié)論，而沒有證明。他短暫的一生發(fā)現(xiàn)了3900條數(shù)學公式和命題，許多結(jié)果完全是新穎的、原始的和非傳統(tǒng)的，但被后續(xù)證明他的結(jié)論都是正確的。 本文要介紹的這個恒等式，就是拉馬努金流傳最廣的成果之一。先看這個恒等式的一邊： 我相信大多數(shù)人能按照這個式子的規(guī)律接著寫下去，但會發(fā)現(xiàn)這是無窮盡的，并且很好奇這個式子的結(jié)果到底是多少？ 拉馬努金說，這個式子的結(jié)果等于3。 他對形如上式的無窮二次根式，進行深入研究得到這個結(jié)果，并且將此發(fā)表在《印度數(shù)學會刊》上征集證明，數(shù)月內(nèi)無人能應(yīng)。 -02-拉馬努金恒等式的數(shù)學邏輯下面我們以今天中學生的認知來看其中的數(shù)學邏輯： 3=√9。。。。。一層根號 =√1+8 =√1+2x4 =√1+2√16。。。。二層根號 =√1+2√1+15 =√1+2√1+3x5 =√1+2√1+3√25。。三層根號 =√1+2√1+3√1+24 =√1+2√1+3√1+4x6 =√1+2√1+3√1+4√36。四層根號 。。。。。。 由此不難發(fā)現(xiàn)：將3拆分后，含n層根號時，3= √1+2√1+。。。n√（n+2）2 。。。n層根號 驗證一下，n=10時（由外向內(nèi)數(shù)，含10層根號），壯觀景象： 第10層根號里的數(shù)： 122=144； 第9層根號里的數(shù)： 112=121； 第8層根號里的數(shù)： 102=100； 。。。 第3層根號里的數(shù)： 52=25； 第2層根號里的數(shù)： 42=144； 第1層根號里的數(shù)： 32=9； √9=3 理所當然是個恒等式。 -03-拉馬努金恒等式的數(shù)學證明問題來了，正整數(shù)3可以象這樣用二次根式進行無窮拆分，那么其他正整數(shù)呢？他是怎么想到了呢？ 平方差公式是初中代數(shù)中的最基本的公式之一： a2-1=(a-1)(a+1)； 變形得 a2=1+(a-1)(a+1)； 即 a=√1+(a-1)(a+1)。 建立一個關(guān)于a的函數(shù)： F（a）=a=√1+(a-1)(a+1)，則 F（a+1）=a+1 =√1+(a+1-1)(a+1+1) =√1+a(a+2) =√1+aF(a+2)， F（a+2）=a+2 =√1+(a+2-1)(a+2+1) =√1+(a+1)(a+3) =√1+(a+1)F(a+3), F（a+3）=a+3 =√1+(a+3-1)(a+3+1) =√1+(a+2)(a+4) =√1+(a+2)F(a+4)， ... F（a+n）=a+n =√1+(a+n-1)(a+n+1) =√1+(a+n-1)F(a+n+1)， ... 通過層層嵌套，得到 F(a)=√1+(a-1)F(a+1) =√1+(a-1)√1+aF(a+2) =√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)F(a+3) ... =√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)√1+(a+2)√1+。。。 即 其中，a為正整數(shù)。 當a=2時，得到 當a=3時，得到 當a=4時，得到 由此，可以把任意一個正整數(shù)，用二次根式有規(guī)律地無窮展開。 所以拉馬努金恒等式，更一般的形式是： -04-結(jié)語利用平方差公式和函數(shù)嵌套（復合函數(shù)）的思想，可以來說明他的正確性。雖然初中不提函數(shù)嵌套（復合函數(shù)）這種說法，但“整體思想”已經(jīng)具備其雛形，所以上述證明過程，數(shù)學程度稍好的同學也可以看懂。 拉馬努金沒有受過正規(guī)的高等數(shù)學教育，但他靠自學沉湎于數(shù)論，尤其鐘愛涉及π、質(zhì)數(shù)等數(shù)學常數(shù)的求和公式和整數(shù)分拆。特別是他對數(shù)的直覺（數(shù)感）常常令人稱奇，以至于亦師亦友的哈代感嘆說：“我們學習數(shù)學，拉馬努金則發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造了數(shù)學?！?/p> |
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