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文章轉自：初中數(shù)學綜合題的教與學；作者：劉護靈 開篇：學問學問，就是邊學邊問，邊問邊學。沒有問題，或者提不出問題，或者害怕提出新問題，或者只會短時間的按照已有的模式套路解決已有的問題，而不能解決暫時無套路的新問題，正是應試教育的悲哀，也是為考而教的不足，泯滅的可能是學生個人甚至民族的創(chuàng)造力。
有些社會補習機構把數(shù)學解題學習異化為“記模型”“練模型”“套模型”的應試訓練，表面上可以對付平時的考試（因為平時的考試出題時沒有像出中高考題需要數(shù)位專家長達1月以上的出新題的過程），由此帶來學生的思維固化?；诖耍P者在2016年申報了一個課題《在科雅育人的理念下培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新思維》，在2018年結題，但是研究并未結束。本公眾號當時就為這個課題而建設?，F(xiàn)在繼續(xù)開展這個課題的研究。
出發(fā)點：數(shù)學教學離不開解題教學。但解題教學要在解決問題中實現(xiàn)數(shù)學育人的功能。 “a + m·b”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點． 當m值為1 時，即可轉化為“a + b”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理．而當 m 取任意不為1 的正數(shù)時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路．此類問題的處理通常以動點 P 所在圖像的不同來分類，一般分為 2 類研究． 即點 P 在直線上運動( 胡不歸) 和點 P 在圓( 阿氏圓) 上 運動． 先來看看何為“阿氏圓”． （阿波羅尼斯（約前 ２６２～約前 １９０），古希臘人，數(shù)學家．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，阿波羅尼斯圓即來源于其中的幾何問題．） 這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓
令人好奇的問題1：如何在ggb或幾何畫板中，直接作出阿氏圓？一個是代數(shù)法（先建系），一個幾何法（圓截取）那么如何證明這個點P的軌跡是一個圓？ 對于初中學生，需要用兩次角平分線定理，但學生可能理解上有一定的困難。 對于高中學生，可以建系利用解析幾何的方法來證明。
所以這個內(nèi)容是放在高中才學的，但是現(xiàn)在部分省市有時中考也考阿氏圓（其實不應該啊）。
例1:如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP、BP，求AP+1/2BP的最小值.(1)嘗試解決:為了解決這個問題，下面給出解題思路:當A、P、D三點共線時，AP+PD最小，即最小值為AD的長根號下37.反思1：在CB上取點D，使CD=1這個是怎么想到的？本質(zhì)是什么？實際上，構造△PCD∽△BCP，把1/2BP轉化為PD是關鍵所在.(2)自主探索:在“問題提出”的條件不變的情況下，(3)拓展延伸:已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD上一點，求2PA+PB的最小值——.
套路總結
（看看，本來沒有套路，研究的人多了，總結出套路來了。） （總結出套路沒什么不對，解析幾何的“建，設，限，代，化”不是也是套路嗎？根據(jù)皮連生教授廣義教與學的理論，學習解題步驟就是掌握一種高級規(guī)則） 阿氏圓基本解法：構造相似
后續(xù)：阿氏圓的問題是不是應該放在高中更加合適？結論：
1.到兩定點的距離之商為定值的點的軌跡是阿波羅尼斯圓。2.到兩定點的距離之和為定值(比這兩點之間的距離要大)的點的軌跡是橢圓。3.到兩定點的距離之差為定值(比這兩點之間的距離要小)的點的軌跡是雙曲線。4.到兩定點的距離之積為定值的點的軌跡是卡西尼卵形線。聲明：如存圖片/音視頻/作者/來源等使用或標注有誤，請隨時聯(lián)系微信ABC-shuxue處理。
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