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皮耶·德·費(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．據(jù)說費(fèi)馬在提出“費(fèi)馬大定理”時(shí)，在筆記本上寫道：我已經(jīng)想到了一個(gè)絕妙的證明方法，但是這個(gè)地方不夠?qū)懀揖筒粚懥税??？吹贸瞿莻€(gè)時(shí)候紙確實(shí)挺貴的，然后，直到1995年，才由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明出，而距離費(fèi)馬逝世，已經(jīng)過去了330年．
果然，數(shù)學(xué)搞得好的都是裝x的一把好手．
言歸正傳，今天的問題不是費(fèi)馬提出來的，是他解決的，故而叫費(fèi)馬點(diǎn)．
在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC最小． 
【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據(jù)有：兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動(dòng)點(diǎn)軌跡求最值等．
其實(shí)理論還是上面的理論，本題難點(diǎn)在于有3條線段，我們需要對這三條線段作一些位置上的變化，如果能變換成在一條直線上，問題就能解決了！
若點(diǎn)P滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，則PA+PB+PC值最小，P點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．
（1）如何作三角形的費(fèi)馬點(diǎn)？（是什么）（2）為什么是這個(gè)點(diǎn)？（為什么）（3）費(fèi)馬點(diǎn)怎么考？（怎么辦）
（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點(diǎn)為P，點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．（到這一步其實(shí)就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點(diǎn)P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結(jié)論： （1）∠BPD=60°； （2）連接AP，AP平分∠DPE．
有這兩個(gè)結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
原來在“手拉手全等”就已經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識！
但是在這里有個(gè)小小的要求，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖成立的一個(gè)必要條件是∠BAC<>
此時(shí)CD與BE交點(diǎn)P點(diǎn)還是我們的費(fèi)馬點(diǎn)嗎？
不不不，這時(shí)候就不是了，顯然P點(diǎn)到A、B、C距離之和大于A點(diǎn)到A、B、C距離之和．
所以咧？是的，你想得沒錯(cuò)，此時(shí)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)就是A點(diǎn)！當(dāng)然這種情況不會(huì)考的，就不多說了．
為什么P點(diǎn)滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就會(huì)最小呢？
歸根結(jié)底，還是要重組這里3條線段：PA、PB、PC的位置，而重組的方法是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！
在上圖3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．類似的手拉手，在圖4中有3組，可得：AF=BE=CD． 巧的嘞，它們仨的長度居然一樣長！
更巧的是，其長度便是我們要求的PA+PB+PC的最小值，這一點(diǎn)是可以猜想得到的，畢竟最小值這個(gè)結(jié)果，應(yīng)該也是個(gè)特別的值！
接下來才是真正的證明：
考慮到∠APB=120°，∴∠APE=60°，則可以AP為邊，在PE邊取點(diǎn)Q使得PQ=AP，則△APQ是等邊三角形．
△APQ、△ACE均為等邊三角形，且共頂點(diǎn)A，故△APC≌△AQE，PC=QE．
以上兩步分別轉(zhuǎn)化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．沒有對比就沒有差別，我們換個(gè)P點(diǎn)位置，如下右圖，同樣可以構(gòu)造等邊△APQ，同樣有△APC≌△AQE，轉(zhuǎn)化PA=PQ，PC=QE，顯然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．
還剩下第3個(gè)問題！
如果說費(fèi)馬點(diǎn)以前還算是課外的拓展內(nèi)容，那現(xiàn)在，已經(jīng)有人把它搬上了中考舞臺(tái)！
直接考，要不然還能怎么考？
問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA+PC=PE． 問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4倍根號2，點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是______． 
【分析】本題的問題背景實(shí)際上是提示了解題思路，構(gòu)造60°的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)然如果已經(jīng)了解了費(fèi)馬點(diǎn)問題，直接來解決就好了！
如圖，以MG為邊作等邊△MGH，連接NH，則NH的值即為所求的點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值．（此處不再證明） 
過點(diǎn)H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點(diǎn)， 根據(jù)∠NMG=75°，∠GMH=60°， 可得∠HMQ=45°， ∴△MHQ是等腰直角三角形， ∴MQ=HQ=4， ∴NH=2倍根號29． 
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．
【分析】如圖，以AD為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．至于點(diǎn)P的位置？這不重要！ 如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，BD2=BH2+DH2即可得出結(jié)果．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為______．
【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．
分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，
易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 過F作FH⊥BC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值．
來源：有一點(diǎn)數(shù)學(xué)，作者：劉岳，如存圖片/音視頻/作者/來源等使用或標(biāo)注有誤，請隨時(shí)聯(lián)系微信ABC-shuxue處理。 |
