培優(yōu)題目講解《牛吃草問題》考驗?zāi)愕乃季S，有趣的經(jīng)典奧數(shù)題目。

大家好我是小梁老師，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)牛吃草問題，這類問題相信很多同學(xué)都聽說過，但是會做嗎？這類問題解題時有固定的計算方法。

牛吃草問題最先見于牛頓所著的《普通算術(shù)》一書中，所以人們習(xí)慣上稱這類問題為牛頓問題。

牛吃草問題解答分三步：

1.計算新草生長(或枯萎)的速度；

2.計算草地上原有的草；

3.解答問題。

問題有兩種：第一種是知道牛數(shù)，求吃的天數(shù)；第二種是知道吃的天數(shù)求牛數(shù)。

難題點撥①

牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速地生長，這個牧場上的牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：這個牧場上的牧草可供25頭牛吃多少天?

解題分析：因為牧場上的牧草每天不停地勻速生長，所以要正確地解答此題，必須搞清楚兩點：(1)牧場上原來的草量;(2)每天生長的草量

如果設(shè)每頭牛每天的吃草量為“1”，那么根據(jù)題中的條件可以知道，10頭牛20天的吃草量是10×20＝200，15頭牛10天的吃草量是15×10＝150，同樣一片牧草地，20天的草量是200，10天的草量是150，這樣就可以求出牧草每天的生長量是(200-150)÷(20-10)＝5，牧場上原來的存草量是200-5×20＝100

因為每頭牛每天的吃草量是“1”，所以這個牧場上每天生長的牧草

可供1頭牛吃5天，或供5頭牛吃1天。

如果我們讓25頭牛中的5頭牛吃每天新長出的牧草，讓剩下的20牛吃牧場上原來的存草，那么這片牧草可供25頭牛吃100÷20＝5(天)。

解：

10頭牛20天的吃草量是:10×20＝200

15頭牛10天的吃草量是:15×10＝150

牧場上牧草每天的生長量是:(200-150)÷(20-10)＝5

牧場上原來的存草量是:200-5×20＝100

這片牧草可供25頭牛吃的天數(shù)是:100÷(25-5)＝5(天)

答：這個牧場上的牧草可供25頭牛吃5天。

練習(xí)題：

1、有一個牧場上長滿了牧草，這片牧草每天勻速地生長，牧場上的牧草可供27頭牛吃6天，可供23頭牛吃9天。問:可供21頭牛吃幾天?

難題點撥②

有一水池，池底不斷有泉水涌出，每小時涌出的水量相等。如果用12臺抽水機3小時可以抽完，如果用5臺抽水機10小時可以抽完。如果要2小時把水抽完，需多少臺抽水機?

分析并解答：將每臺抽水機每小時的抽水量看作“1”，那么：

12臺抽水機3小時的抽水量是：12×3＝36

5臺抽水機10小時的抽水量是：5×10＝50

池底每小時涌出的水量是：(50-36)÷(10-3)＝2

池中原來的水量是:36-2×3＝30

用2臺抽水機抽池底涌出的水，用余下的抽水機抽水池中原來的水。

如果要2小時把水抽完，需要抽水機:30÷2+2＝17(臺)

答：如果要2小時把水抽完，需17臺抽水機。

練習(xí)題：

1、有一眼水井，井中持續(xù)不斷地涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3合抽水機40分鐘可以將井中的水抽完，如果用5臺抽水機20分鐘可以將井中的水抽完。如果要在10分鐘內(nèi)將井中的水抽完，需要多少臺抽水機?

難題點撥③

個牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速地生長。這些牧草可供16只羊吃20天，或者可供20只羊吃15天?，F(xiàn)在牧場上有12只羊吃牧草，5天后，又增加了12只羊，還要多少天可以將牧場上的牧草吃完?

分析并解答：將每只羊每天的吃草量看作“1”，那么

16只羊20天的吃草量是:16×20＝320

20只羊15天的吃草量是:20×15＝300

牧草每天的生長量是:(320-300)÷(20-15)＝4

牧場上原有的草量是:320-4×20＝240

讓4只羊吃牧場上每天新生長的牧草，讓剩下的12-4＝8(只)羊吃牧場上原有的牧草

5天后，牧場還剩下的牧草量是:240-8×5＝200

增加12只羊后，剩下的牧草還可以吃的天數(shù)是:200÷(8+12)＝10(天)

答：還要10天可以將牧場上的牧草吃完。

練習(xí)題：

1、一個牧場上長滿了牧草，牧草每天都勻速地生長。這些牧草可供8只羊吃30天，或者可供20只羊吃10天?，F(xiàn)在牧場上有10只羊，10天后，又增加了12只羊，還要多少天可以將牧場上的牧草吃完?

難題點撥④

自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結(jié)果男孩用5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問:該扶梯共有多少級臺階?

分析并解答：與“牛吃草”相比較，原草量變成了“外露扶梯合階數(shù)”，“牛數(shù)”變成“走的速度”。上樓的速度分為兩部分：一部分是人的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5＝100(級)，女孩6分鐘走了15×6＝90(級)，女孩比男孩少走100-90＝10(級)，多用了6-5＝1(分)。說明電梯1分鐘走10級。

(20×5-15×6)+(6-5)＝10(級)

則扶梯的合階數(shù)為：20×5+10×5＝150(級)

或10×6+15×6＝150(級)。

答：該扶梯共有150級臺階。

練習(xí)題：

1、自動扶梯以均勻速度行駛著，小王和小文要乘扶梯上樓。已知小王每分鐘走25級臺階，小文每分鐘走20級臺階，結(jié)果小王用5分鐘，小文用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多少級臺階?

本節(jié)課練習(xí)題答案如下：

難題點撥1

1.將每頭牛每天的吃草量看作“1”，那么:

27頭牛6天的吃草量是:27×6＝162

23頭牛9天的吃草量是:23×9＝207

牧場上牧草每天的生長量是:

(207-162)÷(9-6)＝15

牧場上原有的草量是:162-15×6＝72

這片牧草可供21頭牛吃的天數(shù)是:

72÷(21-15)＝12(天)

難題點撥2

1.將每臺抽水機每分鐘的抽水量看作“1”，

那么：

3臺抽水機40分鐘的抽水量是:3×40＝120

5臺抽水機20分鐘的抽水量是:5×20＝100

井中每分鐘涌出的水量是:

(120-100)÷(40-20)＝1

井中原有的水量是:120-1×40＝80

如果要在10分鐘內(nèi)將井中的水抽完，需要抽水機:80÷10+1＝9(臺)

難題點撥3

1.將每只羊每天的吃草量看作“1”，那么：

8只羊30天的吃草量是:8×30＝240

20只羊10天的吃草量是:20×10＝200

牧草每天的生長量是:(240-200)÷(30-10)＝2

牧場上原有的草量是:240-30×2＝180

10只羊吃了10天后還剩下的牧草量是:

180-10×(10-2)＝100

又增加了12只羊，剩下的牧草還可以吃的天數(shù)是:100÷(10-2+12)＝5(天)